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文档简介
2024-2025学年广东省梅州市蕉岭中学高三下学期4月阶段测试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根,则实数的取值范围为()A. B. C. D.2.已知向量,满足||=1,||=2,且与的夹角为120°,则=()A. B. C. D.3.如果实数满足条件,那么的最大值为()A. B. C. D.4.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称 B.关于点对称C.周期为 D.在上是增函数5.已知实数,则的大小关系是()A. B. C. D.6.()A. B. C.1 D.7.已知等差数列的公差为-2,前项和为,若,,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为,则的最大值为()A.5 B.11 C.20 D.258.地球上的风能取之不尽,用之不竭.风能是淸洁能源,也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电,近10年来,全球风力发电累计装机容量连年攀升,中国更是发展迅猛,2014年累计装机容量就突破了,达到,中国的风力发电技术也日臻成熟,在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据所给信息,正确的统计结论是()A.截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B.10年来全球新增装机容量连年攀升C.10年来中国新增装机容量平均超过D.截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过9.已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.210.已知正方体的棱长为2,点在线段上,且,平面经过点,则正方体被平面截得的截面面积为()A. B. C. D.11.小张家订了一份报纸,送报人可能在早上之间把报送到小张家,小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件:“小张在离开家前能得到报纸”,设送报人到达的时间为,小张离开家的时间为,看成平面中的点,则用几何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.12.在中,为边上的中线,为的中点,且,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知点是直线上的一点,将直线绕点逆时针方向旋转角,所得直线方程是,若将它继续旋转角,所得直线方程是,则直线的方程是______.14.对定义在上的函数,如果同时满足以下两个条件:(1)对任意的总有;(2)当,,时,总有成立.则称函数称为G函数.若是定义在上G函数,则实数a的取值范围为________.15.已知向量,,若向量与向量平行,则实数___________.16.在△ABC中,a=3,,B=2A,则cosA=_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设的内角、、的对边长分别为、、.设为的面积,满足.(1)求;(2)若,求的最大值.18.(12分)已知函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若存在满足不等式,求实数的取值范围.19.(12分)如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,为棱的中点,为棱上任意一点,且不与点、点重合..(1)求证:平面平面;(2)是否存在点使得平面与平面所成的角的余弦值为?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.20.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点.(1)求异面直线AP,BM所成角的余弦值;(2)点N在线段AD上,且AN=λ,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求λ的值.21.(12分)已知变换将平面上的点,分别变换为点,.设变换对应的矩阵为.(1)求矩阵;(2)求矩阵的特征值.22.(10分)已知,,分别为内角,,的对边,若同时满足下列四个条件中的三个:①;②;③;④.(1)满足有解三角形的序号组合有哪些?(2)在(1)所有组合中任选一组,并求对应的面积.(若所选条件出现多种可能,则按计算的第一种可能计分)
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
令,则,由图象分析可知在上有两个不同的根,再利用一元二次方程根的分布即可解决.【详解】令,则,如图与顶多只有3个不同交点,要使关于的方程有六个不相等的实数根,则有两个不同的根,设由根的分布可知,,解得.故选:B.本题考查复合方程根的个数问题,涉及到一元二次方程根的分布,考查学生转化与化归和数形结合的思想,是一道中档题.2.D【解析】
先计算,然后将进行平方,,可得结果.【详解】由题意可得:∴∴则.故选:D.本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算,属基础题。3.B【解析】
解:当直线过点时,最大,故选B4.D【解析】
当时,,∴f(x)不关于直线对称;当时,,∴f(x)关于点对称;f(x)得周期,当时,,∴f(x)在上是增函数.本题选择D选项.5.B【解析】
根据,利用指数函数对数函数的单调性即可得出.【详解】解:∵,∴,,.∴.故选:B.本题考查了指数函数对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.A【解析】
利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式,结合复数的模长公式可求得结果.【详解】,,因此,.故选:A.本题考查复数模长的计算,同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用,考查计算能力,属于基础题.7.D【解析】
由公差d=-2可知数列单调递减,再由余弦定理结合通项可求得首项,即可求出前n项和,从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2,可知数列单调递减,则,,中最大,最小,又,,为三角形的三边长,且最大内角为,由余弦定理得,设首项为,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前项和.故的最大值为.故选:D本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查求前n项和的最值问题,同时还考查了余弦定理的应用.8.D【解析】
先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量,再结合数据研究单调性、平均值以及占比,即可作出选择.【详解】年份2009201020112012201320142015201620172018累计装机容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中国累计装机装机容量逐年递增,A错误;全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势,B错误;经计算,10年来中国新增装机容量平均每年为,选项C错误;截止到2015年中国累计装机容量,全球累计装机容量,占比为,选项D正确.故选:D本题考查条形图,考查基本分析求解能力,属基础题.9.B【解析】
求出圆心,代入渐近线方程,找到的关系,即可求解.【详解】解:,一条渐近线,故选:B利用的关系求双曲线的离心率,是基础题.10.B【解析】
先根据平面的基本性质确定平面,然后利用面面平行的性质定理,得到截面的形状再求解.【详解】如图所示:确定一个平面,因为平面平面,所以,同理,所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四边形故选:B本题主要考查平面的基本性质,面面平行的性质定理及截面面积的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.11.D【解析】
这是几何概型,画出图形,利用面积比即可求解.【详解】解:事件发生,需满足,即事件应位于五边形内,作图如下:故选:D考查几何概型,是基础题.12.A【解析】
根据向量的线性运算可得,利用及,计算即可.【详解】因为,所以,所以,故选:A本题主要考查了向量的线性运算,向量数量积的运算,向量数量积的性质,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
求出点坐标,由于直线与直线垂直,得出直线的斜率为,再由点斜式写出直线的方程.【详解】由于直线可看成直线先绕点逆时针方向旋转角,再继续旋转角得到,则直线与直线垂直,即直线的斜率为所以直线的方程为,即故答案为:本题主要考查了求直线的方程,涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系,属于中档题.14.【解析】
由不等式恒成立问题采用分离变量最值法:对任意的恒成立,解得,又在,恒成立,即,所以,从而可得.【详解】因为是定义在上G函数,所以对任意的总有,则对任意的恒成立,解得,当时,又因为,,时,总有成立,即恒成立,即恒成立,又此时的最小值为,即恒成立,又因为解得.故答案为:本题是一道函数新定义题目,考查了不等式恒成立求参数的取值范围,考查了学生分析理解能力,属于中档题.15.【解析】
由题可得,因为向量与向量平行,所以,解得.16.【解析】
由已知利用正弦定理,二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解.【详解】解:∵a=3,,B=2A,∴由正弦定理可得:,∴cosA.故答案为.本题主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【解析】
(1)根据条件形式选择,然后利用余弦定理和正弦定理化简,即可求出;(2)由(1)求出角,利用正弦定理和消元思想,可分别用角的三角函数值表示出,即可得到,再利用三角恒等变换,化简为,即可求出最大值.【详解】(1)∵,即,∴变形得:,整理得:,又,∴;(2)∵,∴,由正弦定理知,,∴,当且仅当时取最大值.故的最大值为.本题主要考查正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的应用,以及利用三角恒等变换求函数的最值,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于基础题18.(Ⅰ)或.(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)分类讨论解绝对值不等式得到答案.(Ⅱ)讨论和两种情况,得到函数单调性,得到只需,代入计算得到答案.【详解】(Ⅰ)当时,不等式为,变形为或或,解集为或.(Ⅱ)当时,,由此可知在单调递减,在单调递增,当时,同样得到在单调递减,在单调递增,所以,存在满足不等式,只需,即,解得.本题考查了解绝对值不等式,不等式存在性问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.(1)证明见解析(2)存在,为中点【解析】
(1)证明面,即证明平面平面;(2)以为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,建立空间直角坐标系.利用向量方法得,解得,所以为中点.【详解】(1)由于为中点,.又,故,所以为直角三角形且,即.又因为面,面面,面面,故面,又面,所以面面.(2)由(1)知面,又四边形为矩形,则两两垂直.以为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,建立空间直角坐标系.则,设,则,设平面的法向量为,则有,令,则,则平面的一个法向量为,同理可得平面的一个法向量为,设平面与平面所成角为,则由题意可得,解得,所以点为中点.本题主要考查空间几何位置关系的证明,考查空间二面角的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.(1).(2)1【解析】
(1)先根据题意建立空间直角坐标系,求得向量和向量的坐标,再利用线线角的向量方法求解.(2,由AN=λ,设N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则=(-1,λ-1,-2),再求得平面PBC的一个法向量,利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,由|cos〈,〉|===求解.【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,且AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因为∠BAD=90°,所以PA,AB,AD两两互相垂直.分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).又因为M为PC的中点,所以M(1,1,2).所以=(-1,1,2),=(0,0,4),所以cos〈,〉===,所以异面直线AP,BM所成角的余弦值为.(2)因为AN=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则=(-1,λ-1,-2),=(0,2,0),=(2,0,-4).设平面PBC的法向量为=(x,y,z),则即令x=2,解得y=0,z=1,所以=(2,0,1)是平面PBC的一个法向量.因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,所以|cos〈,〉|===,解得λ=1∈[0,4],所以λ的值为1.本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角,线面角的求法及应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.21.(1)(2)1或6【解析】
(1)设,根据变换可得关于的方程,解方程即可得到答案;(2)求出特征多项式,再解方程,即可得答案;【详解】(1)设,则,,即,解得,则.(2)设矩阵的特征多项式为,可得,令,可得或.本题考查矩阵的求解、矩阵的特征值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力.22.(1)①,③,④或②,③,④;(2).【解析】
(1)由①可求得的值,由②可求出角的值,结合题意得出,推出矛盾,可得
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