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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知甲盒子中有个红球,个蓝球,乙盒子中有个红球,个蓝球,同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换,(a)交换后,从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.(b)交换后,乙盒子中含有红球的个数记为.则()A. B.C. D.2.已知集合,则全集则下列结论正确的是()A. B. C. D.3.已知集合,则集合真子集的个数为()A.3 B.4 C.7 D.84.函数在上的大致图象是()A. B.C. D.5.甲乙丙丁四人中,甲说:我年纪最大,乙说:我年纪最大,丙说:乙年纪最大,丁说:我不是年纪最大的,若这四人中只有一个人说的是真话,则年纪最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁6.设是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使(为坐标原点),且,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.7.设,,,则()A. B. C. D.8.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数,且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都小于的概率为()A. B. C. D.9.下列判断错误的是()A.若随机变量服从正态分布,则B.已知直线平面,直线平面,则“”是“”的充分不必要条件C.若随机变量服从二项分布:,则D.是的充分不必要条件10.已知集合,,则集合子集的个数为()A. B. C. D.11.运行如图程序,则输出的S的值为()A.0 B.1 C.2018 D.201712.已知四棱锥中,平面,底面是边长为2的正方形,,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知圆柱的上下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形,则该圆柱的体积为____14.若x,y满足,则的最小值为________.15.设数列的前项和为,且对任意正整数,都有,则___16.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体),观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(1)若,试讨论的单调性;(2)若,实数为方程的两不等实根,求证:.18.(12分)随着互联网金融的不断发展,很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品,如蚂蚁金服旗下的“余额宝”,腾讯旗下的“财富通”,京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况,随机抽取1200名使用理财产品的市民,按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表:分组频数(单位:名)使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”30使用其他理财产品50合计1200已知这1200名市民中,使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.(1)求频数分布表中,的值;(2)已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为,“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中,从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人,然后从这7人中随机选取2人,假设这2人中每个人理财的资金有10000元,这2名市民2018年理财的利息总和为,求的分布列及数学期望.注:平均年化收益率,也就是我们所熟知的利息,理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品,一年可以获得3元利息.19.(12分)已知椭圆的短轴长为,离心率,其右焦点为.(1)求椭圆的方程;(2)过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和,求的取值范围.20.(12分)已知.(1)若的解集为,求的值;(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)新高考,取消文理科,实行“”,成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况,随机调查50人(把年龄在称为中青年,年龄在称为中老年),并把调查结果制成下表:年龄(岁)频数515101055了解4126521(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率;(2)请根据上表完成下面列联表,是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查,记选中的3人中了解新高考的人数为,求的分布列以及.22.(10分)每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”.(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率;(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】分析:首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数,对应的事件有哪些结果,从而得到对应的概率的大小,再者就是对随机变量的值要分清,对应的概率要算对,利用公式求得其期望.详解:根据题意有,如果交换一个球,有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球,红球的个数就会出现三种情况;如果交换的是两个球,有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝,对应的红球的个数就是五种情况,所以分析可以求得,故选A.点睛:该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题,在解题的过程中,需要对其对应的事件弄明白,对应的概率会算,以及变量的可取值会分析是多少,利用期望公式求得结果.2.D【解析】
化简集合,根据对数函数的性质,化简集合,按照集合交集、并集、补集定义,逐项判断,即可求出结论.【详解】由,则,故,由知,,因此,,,,故选:D【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系,求解不等式是解题的关键,属于基础题.3.C【解析】
解出集合,再由含有个元素的集合,其真子集的个数为个可得答案.【详解】解:由,得所以集合的真子集个数为个.故选:C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用,含有个元素的集合,其真子集的个数为个,属于基础题.4.D【解析】
讨论的取值范围,然后对函数进行求导,利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时,,则,所以函数在上单调递增,令,则,根据三角函数的性质,当时,,故切线的斜率变小,当时,,故切线的斜率变大,可排除A、B;当时,,则,所以函数在上单调递增,令,,当时,,故切线的斜率变大,当时,,故切线的斜率变小,可排除C,故选:D【点睛】本题考查了识别函数的图像,考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义,属于中档题.5.C【解析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话,结合其他人的说法,看是否只有一个说的是真话,即可求得年纪最大者,即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话,则年纪最大的是甲,那么乙说谎,丙也说谎,而丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故甲说的不是真话,年纪最大的不是甲;②假设乙说的是真话,则年纪最大的是乙,那么甲说谎,丙说真话,丁也说真话,而已知只有一个人说的是真话,故乙说谎,年纪最大的也不是乙;③假设丙说的是真话,则年纪最大的是乙,所以乙说真话,甲说谎,丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故丙在说谎,年纪最大的也不是乙;④假设丁说的是真话,则年纪最大的不是丁,而已知只有一个人说的是真话,那么甲也说谎,说明甲也不是年纪最大的,同时乙也说谎,说明乙也不是年纪最大的,年纪最大的只有一人,所以只有丙才是年纪最大的,故假设成立,年纪最大的是丙.综上所述,年纪最大的是丙故选:C.【点睛】本题考查合情推理,解题时可从一种情形出发,推理出矛盾的结论,说明这种情形不会发生,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.6.D【解析】
利用向量运算可得,即,由为的中位线,得到,所以,再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取的中点,则由得,即;在中,为的中位线,所以,所以;由双曲线定义知,且,所以,解得,故选:D【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质,难度一般.7.A【解析】
先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,再由中间值1可得三者的大小关系.【详解】,,,因此,故选:A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.8.C【解析】
由几何概型的概率计算,知每次生成一个实数小于1的概率为,结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.故选:C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率,考查学生基本的计算能力,是一道容易题.9.D【解析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识,依次对四个选项加以分析判断,进而可求解.【详解】对于选项,若随机变量服从正态分布,根据正态分布曲线的对称性,有,故选项正确,不符合题意;对于选项,已知直线平面,直线平面,则当时一定有,充分性成立,而当时,不一定有,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要条件,故选项正确,不符合题意;对于选项,若随机变量服从二项分布:,则,故选项正确,不符合题意;对于选项,,仅当时有,当时,不成立,故充分性不成立;若,仅当时有,当时,不成立,故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确,符合题意.故选:D【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识,考查理解辨析能力与运算求解能力,属于基础题.10.B【解析】
首先求出,再根据含有个元素的集合有个子集,计算可得.【详解】解:,,,子集的个数为.故选:.【点睛】考查列举法、描述法的定义,以及交集的运算,集合子集个数的计算公式,属于基础题.11.D【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得第一次:,不满足条件;第二次:,不满足条件;第三次:,不满足条件;第四次:,不满足条件;第五次:,不满足条件;第六次:,满足条件,退出循环.输出1.选D.12.B【解析】
由题意建立空间直角坐标系,表示出各点坐标后,利用即可得解.【详解】平面,底面是边长为2的正方形,如图建立空间直角坐标系,由题意:,,,,,为的中点,.,,,异面直线与所成角的余弦值为即为.故选:B.【点睛】本题考查了空间向量的应用,考查了空间想象能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由轴截面是正方形,易求底面半径和高,则圆柱的体积易求.【详解】解:因为轴截面是正方形,且面积是36,所以圆柱的底面直径和高都是6故答案为:【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法,是基础题.14.5【解析】
先作出可行域,再做直线,平移,找到使直线在y轴上截距最小的点,代入即得。【详解】作出不等式组表示的平面区域,如图,令,则,作出直线,平移直线,由图可得,当直线经过C点时,直线在y轴上的截距最小,由,可得,因此的最小值为.故答案为:4【点睛】本题考查不含参数的线性规划问题,是基础题。15.【解析】
利用行列式定义,得到与的关系,赋值,即可求出结果。【详解】由,令,得,解得。【点睛】本题主要考查行列式定义的应用。16.【解析】总事件数为,目标事件:当第一颗骰子为1,2,4,6,具体事件有,共8种;当第一颗骰子为3,6,则第二颗骰子随便都可以,则有种;所以目标事件共20中,所以。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)答案不唯一,具体见解析(2)证明见解析【解析】
(1)根据题意得,分与讨论即可得到函数的单调性;(2)根据题意构造函数,得,参变分离得,分析不等式,即转化为,设,再构造函数,利用导数得单调性,进而得证.【详解】(1)依题意,当时,,①当时,恒成立,此时在定义域上单调递增;②当时,若,;若,;故此时的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)方法1:由得令,则,依题意有,即,要证,只需证(不妨设),即证,令,设,则,在单调递减,即,从而有.方法2:由得令,则,当时,时,故在上单调递增,在上单调递减,不妨设,则,要证,只需证,易知,故只需证,即证令,(),则==,(也可代入后再求导)在上单调递减,,故对于时,总有.由此得【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,属于难题.18.(1);(2)680元.【解析】
(1)根据题意,列方程,然后求解即可(2)根据题意,计算出10000元使用“余额宝”的利息为(元)和10000元使用“财富通”的利息为(元),得到所有可能的取值为560(元),700(元),840(元),然后根据所有可能的取值,计算出相应的概率,并列出的分布列表,然后求解数学期望即可【详解】(1)据题意,得,所以.(2)据,得这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人,使用“财富通”的有3人.10000元使用“余额宝”的利息为(元).10000元使用“财富通”的利息为(元).所有可能的取值为560(元),700(元),840(元).,,.的分布列为560700840所以(元).【点睛】本题考查频数分布表以及分布列和数学期望问题,属于基础题19.(1);(2).【解析】
(1)由已知短轴长求出,离心率求出关系,结合,即可求解;(2)当直线的斜率都存在时,不妨设直线的方程为,直线与椭圆方程联立,利用相交弦长公式求出,斜率为,求出,得到关于的表达式,根据表达式的特点用“”判别式法求出范围,当有一斜率不存在时,另一条斜率为,根据弦长公式,求出,即可求出结论.【详解】(1)由得,又由得,则,故椭圆的方程为.(2)由(1)知,①当直线的斜率都存在时,由对称性不妨设直线的方程为,由,,设,则,则,由椭圆对称性可设直线的斜率为,则,.令,则,当时,,当时,由得,所以,即,且.②当直线的斜率其中一条不存在时,根据对称性不妨设设直线的方程为,斜率不存在,则,,此时.若设的方程为,斜率不存在,则,综上可知的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系,注意根与系数关系、弦长公式、函数最值、椭圆性质的合理应用,意在考查逻辑推理、计算求解能力,属于难题.20.(1);(2)【解析】
(1)利用两边平方法解含有绝对值的不等式,再根据根与系数的关系求出的值;(2)利用绝对值不等式求出的最小值,把不等式化为只含有的不等式,求出不等式解集即可.【详解】(1)不等式,即两边平方整理得由题意知和是方程的两个实数根即,解得(2)因为所以要使不等式恒成立,只需当时,,解
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