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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数(是虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则3.已知向量,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.4.已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,则实数a=()A. B. C.2 D.﹣25.已知复数,则()A. B. C. D.6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积()A. B. C. D.7.下图是民航部门统计的某年春运期间,六个城市售出的往返机票的平均价格(单位元),以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图,以下叙述不正确的是()A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B.天津的往返机票平均价格变化最大C.上海和广州的往返机票平均价格基本相当D.相比于上一年同期,其中四个城市的往返机票平均价格在增加8.设集合(为实数集),,,则()A. B. C. D.9.若,则()A. B. C. D.10.已知数列中,,(),则等于()A. B. C. D.211.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件12.据国家统计局发布的数据,2019年11月全国CPI(居民消费价格指数),同比上涨4.5%,CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨,猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI一篮子商品权重,根据该图,下列结论错误的是()A.CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住B.CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C.猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知关于空间两条不同直线m、n,两个不同平面、,有下列四个命题:①若且,则;②若且,则;③若且,则;④若,且,则.其中正确命题的序号为______.14.点到直线的距离为________15.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、,其中为左焦点.点为两曲线在第一象限的交点,、分别为曲线、的离心率,若是以为底边的等腰三角形,则的取值范围为________.16.设函数,若在上的最大值为,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知曲线的参数方程为为参数,曲线的参数方程为为参数).(1)求与的普通方程;(2)若与相交于,两点,且,求的值.18.(12分)在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若点的极坐标为,,求的值.19.(12分)某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖.如图,该弓形所在的圆是以为直径的圆,且米,景观湖边界与平行且它们间的距离为米.开发商计划从点出发建一座景观桥(假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行),桥面在湖面上的部分记作.设.(1)用表示线段并确定的范围;(2)为了使小区居民可以充分地欣赏湖景,所以要将的长度设计到最长,求的最大值.20.(12分)已知函数,.(1)求函数的极值;(2)当时,求证:.21.(12分)在数列中,已知,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,证明:.22.(10分)已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;(2)已知点,直线与曲线交于、两点,求.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
将整理成的形式,得到复数所对应的的点,从而可选出所在象限.【详解】解:,所以所对应的点为在第一象限.故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算,考查了复数对应的坐标.易错点是误把当成进行计算.2.C【解析】
在A中,与相交或平行;在B中,或;在C中,由线面垂直的判定定理得;在D中,与平行或.【详解】设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则:在A中,若,,则与相交或平行,故A错误;在B中,若,,则或,故B错误;在C中,若,,则由线面垂直的判定定理得,故C正确;在D中,若,,则与平行或,故D错误.故选C.【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.3.A【解析】
投影即为,利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为,由题意,得,,所以,向量在向量方向上的投影为.故选:A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.4.D【解析】
化简z=(1+2i)(1+ai)=,再根据z∈R求解.【详解】因为z=(1+2i)(1+ai)=,又因为z∈R,所以,解得a=-2.故选:D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念,还考查了运算求解的能力,属于基础题.5.B【解析】
利用复数除法、加法运算,化简求得,再求得【详解】,故.故选:B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算,考查复数的模,属于基础题.6.C【解析】
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.【详解】解:几何体的直观图如图,是正方体的一部分,P−ABC,正方体的棱长为2,
该几何体的表面积:.故选C.【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积,判断几何体的形状是解题的关键.7.D【解析】
根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析,由此得出叙述不正确的选项.【详解】对于A选项,根据折线图可知深圳的变化幅度最小,根据条形图可知北京的平均价格最高,所以A选项叙述正确.对于B选项,根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大,所以B选项叙述正确.对于C选项,根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当,所以C选项叙述正确.对于D选项,根据折线图可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五个城市的往返机票平均价格在增加,故D选项叙述错误.故选:D【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析,属于基础题.8.A【解析】
根据集合交集与补集运算,即可求得.【详解】集合,,所以所以故选:A【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.9.D【解析】
直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果.【详解】∵,∴,故选D【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,同角三角函数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.10.A【解析】
分别代值计算可得,观察可得数列是以3为周期的周期数列,问题得以解决.【详解】解:∵,(),
,
,
,
,
…,
∴数列是以3为周期的周期数列,
,
,
故选:A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用:求数列中的项,考查运算能力,属于基础题.11.A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可;【详解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,二倍角正切公式的应用是解决本题的关键,属于基础题.12.D【解析】
A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.食品占19.9%,再看第二个图,分清2.5%是在CPI一篮子商品中,还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.【详解】A.CPI一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的,故正确.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%,故错误.故选:D【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.③④【解析】
由直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断.【详解】①若且,的位置关系是平行、相交或异面,①错;②若且,则或者,②错;③若,设过的平面与交于直线,则,又,则,∴,③正确;④若,且,由线面垂直的定义知,④正确.故答案为:③④.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义,考查空间线面间的位置关系,掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础.14.2【解析】
直接根据点到直线的距离公式即可求出。【详解】依据点到直线的距离公式,点到直线的距离为。【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用。15.【解析】
设,由椭圆和双曲线的定义得到,根据是以为底边的等腰三角形,得到,从而有,根据,得到,再利用导数法求的范围.【详解】设,由椭圆的定义得,由双曲线的定义得,所以,因为是以为底边的等腰三角形,所以,即,因为,所以,因为,所以,所以,即,而,因为,所以在上递增,所以.故答案为:【点睛】本题主要考查椭圆,双曲线的定义和几何性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.16.【解析】
求出函数的导数,由在上,可得在上单调递增,则函数最大值为,即可求出参数的值.【详解】解:定义域为,在上单调递增,故在上的最大值为故答案为:【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),(2)0【解析】
(1)分别把两曲线参数方程中的参数消去,即可得到普通方程;(2)把直线的参数方程代入的普通方程,化为关于的一元二次方程,再由根与系数的关系及此时的几何意义求解.【详解】(1)由曲线的参数方程为为参数),消去参数,可得;由曲线的参数方程为为参数),消去参数,可得,即.(2)把为参数)代入,得.,..解得:,即,满足△..【点睛】本题考查参数方程化普通方程,特别是直线参数方程中参数的几何意义的应用,是中档题.18.(1)曲线的直角坐标方程为即,直线的普通方程为;(2).【解析】
(1)利用代入法消去参数方程中的参数,可得直线的普通方程,极坐标方程两边同乘以利用即可得曲线的直角坐标方程;(2)直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,根据直线参数方程的几何意义,利用韦达定理可得结果.【详解】(1)由,得,所以曲线的直角坐标方程为,即,直线的普通方程为.(2)将直线的参数方程代入并化简、整理,得.因为直线与曲线交于,两点.所以,解得.由根与系数的关系,得,.因为点的直角坐标为,在直线上.所以,解得,此时满足.且,故..【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程,利用关系式,等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化,这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题.19.(1),;(2)米.【解析】
(1)过点作于点再在中利用正弦定理求解,再根据求解,进而求得.再根据确定的范围即可.(2)根据(1)有,再设,求导分析函数的单调性与最值即可.【详解】解:过点作于点则,在中,,,由正弦定理得:,,,,,因为,化简得,令,,且,因为,故令即,记,当时,单调递增;当时,单调递减,又,当时,取最大值,此时,的最大值为米.【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.20.(1)的极小值为,无极大值.(2)见解析.【解析】
(1)对求导,确定函数单调性,得到函数极值.(2)构造函数,证明恒成立,得到,,得证.【详解】(1)由题意知,,令,得,令,得.则在上单调递减,在上单调递增,所以的极小值为,无极大值.(2)当时,要证,即证.令,则,令,得,令,得,则在上单调递减,在上单调递增,所以当时,,所以,即.因为时,,所以当时,,所以当时,不等式成立.【点睛】本题考查了函数的单调性,极值,不等式的证明,构造函数是解题的关键.21.(1);(2)见解析.【解析】
(1)由已知变形得到,从而是等差数列,然后利用等差数列的通项公式计算即可;(2)先求出数列的通项,再利用裂项相消法求出即可.【详解】(1)由已知,,即,又,则数列是以1为首项3为公差的等差数列,所以,即.(2)因为,则,所以,又是递增数列,所以,综上,.【点睛】本题考查由递推公式求数列通项公式、裂项相消法求数列的和,考查学生的
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