考研数学三（解答题）专项练习试卷1（共90题）

考研数学三（解答题）专项练习试卷1（共9套）（共90题）考研数学三（解答题）专项练习试卷第1套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设y=sin3x，求y(n)．标准答案：于是知识点解析：用三角函数积化和差公式，可将sin3x化成形如sinax与cosbx的函数之和差，并用(sinax)(n)及(cosbx)(n)的公式．2、设且f(x)处处可导，求f[g(x)]的导数．标准答案：若已求得g’(x)，则由复合函数求导法得故只需求g’(x)．当x≠0时，当x=0时，按定义有因此，知识点解析：暂无解析3、设f(x)在(一∞，+∞)上二阶导数连续，1)确定a使g(x)在(一∞，+∞)上连续；2)证明对以上确定的a，g(x)在(一∞，+∞)上有连续一阶导数．标准答案：a=f’(0)知识点解析：暂无解析4、设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)。试求(1)先取出的零件是一等品的概率p；(2)在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q。标准答案：记A=(取的是第1箱)，B1={从该箱中先取出的是一等品}，B2={从该箱后取出的是一等品}。知识点解析：本题主要考查全概率公式。引记号时，注意避免用诸如“A={取的是第1箱中的一等品}”(2个事件用1个字母表示)、“B={取一个箱子}”(不是随机事件)这类说法。解中P(B1B2|A)=可以从P(B1B2|A)=P(B2|AB1)P(B1|A)这种推广的乘法公式得到，也可直接用古典概型求出(后者更简便些)。5、设f(x，y)在点O(0，0)的某邻域U内连续，且试讨论f(0，0)是否为f(x，y)的极值?是极大值还是极小值?标准答案：由知识点解析：暂无解析6、求微分方程x2y’+xy=y2满足初始条件y(1)=1的特解．标准答案：由x2y’+xy=y2得两边积分得因为y(1)=1，所以C=一1，再把u==Cx2得原方程的特解为y=知识点解析：暂无解析7、求微分方程xy’+y=xex满足y(1)=1的特解．标准答案：由通解公式得当x=1，y=1时，得C=1，所以特解为知识点解析：暂无解析8、设向量组α1，…，αn为两两正交的非零向量组，证明：α1，…，αn线性无关，举例说明逆命题不成立．标准答案：令k1α1+…+knαn=0，由α1，…，αn两两正交及(α1，k1α1+…+knαn)=0，得k1(α1，α1)=0，而(α1，α1)=|α1|2＞0，于是k1=0，同理可证k2=…=kn=0，故α1，…，αn线性无关．令显然α1，α2线性无关，但α1，α2不正交．知识点解析：暂无解析设总体X的概率密度为其中θ(0＜θ＜1)未知，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，是样本均值．9、求参数θ的矩估计量；标准答案：先求E(X)得到矩估计方程，即将E(X)用样本均值替换即得θ的矩估计量知识点解析：暂无解析10、判断是否为θ2的无偏估计量，并说明理由．标准答案：通过计算判断是否等于为此先计算E(X2)，进而求出故知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第2套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、已知齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系为考ξ1=[1，0，1，1]T，ξ2=[2，1，0，－1]T，ξ3=[0，2，1，－1]T，添加两个方程后组成齐次线性方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．标准答案：方程组(Ⅰ)的通解为k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3=代入添加的两个方程，得得解：η1=[2，－3，0]T，η2=[0，1，－1]T，故方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1=2ξ1－3ξ2=[－4，－3，2，5]T，ξ2=ξ2－ξ3=[2，－1，－1，0]T．知识点解析：暂无解析2、求和n=0，1，2，3，…标准答案：于是当n≥2时得递推公式应用这一递推公式，当n为偶数时，就有当n为奇数时，就有其中(Ⅱ)由于所以，令则有这说明Jn与In有相同公式．知识点解析：暂无解析3、大炮以仰角α、初速vo发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线．标准答案：知识点解析：暂无解析4、计算标准答案：知识点解析：暂无解析5、设函数z＝z(x，y)由方程xy＋yz＋zx＝1确定，求标准答案：知识点解析：暂无解析6、计算I＝ydxdy，其中D由曲线＝1及x轴和y轴围成，其中a＞0，b＞0．标准答案：知识点解析：暂无解析7、设随机变量X服从(0，1)上的均匀分布，求下列函数的密度函数：(Ⅰ)Y1=ex；(Ⅱ)Y2=一2lnX；(Ⅲ)Y3=；(Ⅳ)Y4=X．标准答案：依题意，X的概率密度为fX(x)=(Ⅰ)y=ex在(0，1)内是x的单调可导函数，其反函数x=h(y)=lny的定义域为(1，e)，x=h’(y)=≠0，用公式(2．16)即得Y的概率密度为(Ⅱ)y=一2lnx在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=的定义域为(0，+∞)，h’(y)=一[1691*]≠0，根据公式(2．16)，Y3的概率密度为(Ⅲ)y=在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=的定义域为(1，+∞)，当y＞1时，其导数h’(y)=，应用公式(2．16)，Y3的概率密度为(Ⅳ)y=x2在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)=的定义域亦为(0，1)，且h’(y)=≠0．应用公式(2．16)，Y4的概率密度为知识点解析：暂无解析8、判别级数的敛散性．标准答案：由泰勒公式，收敛，故原级数发散．知识点解析：这是交错级数，但不易判别|un|≥|un+1|，因此不能使用莱布尼茨判别法．为了能确定一般项的级别，需使用泰勒公式．一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)．已知X和Y的联合分布函数为9、问X与Y是否相互独立?标准答案：解一设X，Y的分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则故当x≥0，y≥0时，有FX(x)FY(y)=(1－e－0.5x)(1－e－0.5y)=1－e－0.5x－e-0.5y+e－0.5(x+y)=F(x，y)．而当x＞0或y＜0时，有Fx(x)FY(y)=0=F(x，y)，所以对任意x，y，均有F(x，y)=Fx(x)FY(y)，则X与Y独立．解二先求出(X，Y)的联合概率密度函数f(x，y)及边缘密度fX(x)，fY(y)．当x≥0，y≥0时，有于是有因而同理，可求得易验证对x≥0，y≥0，均有f(x，y)=fX(x)fY(y)．对x<0或y<0，也有f(x，y)=fX(x)·fY(y)=0，故对任意x，y均有f(x，y)=fX(x)fY(y)，由命题3．3．5．1(1)知，X与Y相互独立．注：命题3．3．5．1(1)对任意二维随机变量(X，Y)，有X，Y相互独立对任意x，y，有F(x，y)=FX(x)FY(y)；X，Y相互独立对任意x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)．知识点解析：暂无解析10、求两个部件的寿命都超过100小时的概α．标准答案：解一α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1)(因X，Y相互独立)=[1－P(X≤0．1)][1－P(Y≤0．1)]=[1－FX(0．1)][1－FY(0．1)]=e0.05·e0.05=e－0.1．解二因X，Y相互独立，故解三由上题的解一知，X，Y相互独立，且均服从参数为λ=0．5的指数分布．利用命题3．2．3．2(4)即得α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1)=e－λx．eλx=(e－0.5×0.1)2=e－0.5×2e－0.1．上述三种求法都用到了X，Y的独立性．下述两种算法可以不用．解四由得所求概率为解五利用下述结论求之．对任意(x1，y1)，(x2，y2)，x12，y12，有P(x12，y12)=F(x2，y2)－F(x1，y2)－Fx2，y1)+F(x1，y1)．于是α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(0．1－0.05)－(1－e－0.05)+1－e－0.05－e-0.05+e－0.1=e－0.1．注：命题3．2．3．2(4)若X服从参数为λ的指数分布，其中λ>0，a>0，则P(X>a)=e－λa，P(X－λa．知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第3套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、标准答案：令f(t)=et，由微分中值定理，知识点解析：暂无解析2、设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+α1x2)2+(x2+x2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数。试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型。标准答案：由题设条件知，对任意的x1，x2，…，xn，有f(x1，x2，…，xn)≥0其中等号成立当且仅当方程组(*)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即所以，当1+(一1)n+1a1，a2…an≠0时，对于任意的不全为零的x1，x2，…，xn，有f(x1，x2，…，xn)＞0，即当a1a2…，an≠(一1)n时，二次型，为正定二次型。知识点解析：本题综合考查二次型的正定性、齐次方程组仅有零解的条件、行列式的展开法则等知识及其灵活应用。注意，本题将f正定归结为齐次方程组(*)仅有零解，是求解的关键。本题f是平方和，所以也可以考虑用标准形来作：若矩阵就可将f化成规范形f=y12+y22+…+yn2。因此，由|A|≠0，就可得a1a2…an≠(一1)n，此时，f正定。3、设，求y’；标准答案：两边取对数，得两边同时对x求导，得知识点解析：暂无解析4、设二阶常系数线性微分方程y’’+αy’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．标准答案：将y=e2x+(1+x)ex代入方程可得(4+2α+β)e2x+(3+2α+β一γ)ex+(1+α+β)xex=0，因e2x，ex与xex线性无关(证明见评注)，故于是所求方程是y’’一3y’+2y=一ex，因特征方程为λ2一3λ+2=0即特征根为λ1=2，λ2=1，则对应齐次微分方程的通解为C1e2x+C2e2x，由所给特解y=ex+(1+x)ex可见非齐次方程有一个特解为y*=xex．综合即得所求通解为y=C1e2x+C2ex+xex．知识点解析：暂无解析5、计算标准答案：知识点解析：暂无解析6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、证明：标准答案：一方面，有知识点解析：暂无解析8、若随机变量序列X1，X2，…，Xn，…满足条件证明：{Xn}服从大数定律．标准答案：由切比雪夫不等式，对任意的ε＞0有故{Xn}服从大数定律．知识点解析：暂无解析设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．9、求(U，V)的概率分布；标准答案：易知U，V的可能取值均为1，2，因X，y独立且同分布，故P(U=1，V=1)=P(max(X，Y)=1，min(X，Y)=1)=P(X=1，Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=4／9，P(U=1，V=2)=P(max(X，Y)=1，min(X，Y)=2)=P()=0．P(U=2，V=1)=P(max(X，Y)=2，min(X，Y)=1)=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)=P(X=2)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=2)=2／9+2／9=4／9．P(U=2，V=2)=P(max(X，Y)=2，min(X，Y)=2)=P(X=2，Y=2)=P(X=2)P(Y=2)=1／9．于是(U，V)的概率分布为知识点解析：暂无解析10、求U与V的协方差cov(U，V)．标准答案：下用同一表格法先求出E(U)，E(V)及E(UV)．由所以E(U)=1×(4／9)+2×(5／9)=14／9，E(V)=1×(8／9)+2×(1／9)=10／9，E(UV)=1×(4／9)+2×(4／9)+4×(1／9)=16／9，故cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=16／9－(14／9)×(10／9)=4／81．知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第4套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、求下列函数的导数y’：标准答案：知识点解析：暂无解析2、讨论方程2x2一9x2+12x—a=0实根的情况．标准答案：令f(x)=2x3一9x2+12x一a，讨论方程2x3一9x2+12x一a=0实根的情况，即是讨论函数f(x)零点的情况．显然，所以，应求函数f(x)=2x3一9x2+12x一a的极值，并讨论极值的符号．由f’(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)得驻点为x1=1，x2=2，又f"(x)=12x一18，f"(1)＜0，f"(2)＞0，得x1=1为极大值点，极大值为f(1)=5一a；x2=2为极小值点，极小值为f(2)=4一a．(1)当极大值f(1)=5一a＞0，极小值f(2)=4一a＜0，即4＜a＜5时，f(x)=2x3—9x2+12x—a有三个不同的零点，即方程2x3—9x2+12x—a=0有三个不同的实根．(2)当极大值f(1)=5一a=0或极小值f(2)=4一a=0，即a=5或a=4时，f(x)=2x3—9x2+12x—a有两个不同的零点，即方程2x3一9x2+12x一a=0有两个不同的实根．(3)当极大值f(1)=5一a＜0或极小值f(2)=4一a＞0，即a＞5或a＜4时，f(x)=2x3—9x2+12x一a有一个零点，即方程2x3一9x2+12x一a=0有一个实根．知识点解析：暂无解析3、设函数f(x)在(－∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和fˊˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．证明：fˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．标准答案：存在正常数M0，M2，使得对x∈(－∞，+∞)，恒有｜f(x)｜≤M0，｜fˊˊ(x)｜≤M2．由泰勒公式，有f(x+1)=f(x)+fˊ(x)+fˊˊ(ξ)，其中ξ介于x与x+1之间，整理得fˊ(x)=f(x+1)－f(x)－fˊˊ(ξ)，所以｜fˊ(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+｜fˊˊ(ξ)｜≤2M0+故函数fˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．知识点解析：暂无解析4、设＝2，求a，b的值．标准答案：则a＝2，b＋1＝2，即a＝2，b＝1．知识点解析：暂无解析5、当a，b取何值时．方程组，有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有(Ⅰ)当a≠0，且b≠3时，方程组有唯一解(，1，0)T．(1I)当a=0时，b方程组均无解．(11I)当a≠0，b=3时，方程组有无穷多解(，1，0)T+k(0，一3，2)T．知识点解析：暂无解析6、解齐次方程组标准答案：对系数矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵由n-r(A)=4-2=2，基础解系由2个向量组成，每个解中有2个自由变量．令x2=1，x4=0，解得x3=0，x1=2；令x2=0，x4=2，解得x3=15，x1=-22．于是得到η1=(2，1，0，0)T，η2=(-22，0，15，2)T，通解是k1η1+k2η2．知识点解析：暂无解析7、乘有20位旅客的民航送客车自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)．标准答案：引入随机变量Xi=则X=X1+X2+…+X10，由知识点解析：暂无解析8、设X，Y相互独立同分布，均服从几何分布P{X=k}=qk-1p，k=1，2，…，求E(max{X，Y})．标准答案：知识点解析：暂无解析已知是矩阵的一个特征向量．9、试确定参数a，b及特征向量ξ所对应的特征值；标准答案：设ξ是属于特征值λ0的特征向量，由定义得到解之得λ0=－1，a=－3，b=0．知识点解析：暂无解析10、问A能否相似于对角矩阵?并说明理由．标准答案：因为故A的特征值为λ1=λ2=λ3=－1．因所以秩(E－A)=2，从而A的属于三重特征根λ=－1的线性无关的特征向量只有n－秩(－E－A)=3－2=1个，由命题2．5．3．2(3)知，A不能相似对角化．注：命题2．5．3．2(3)n阶矩阵A可相似对角化的另一充要条件是A的ni重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数ni，即n－秩(λiE－A)=ni，亦即秩(riE－A)=n－ni，其中ni为特征值λi的重数，从而将A是否可相似对角化的问题转化为特征矩阵riE－A的秩的计算问题．知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第5套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设f(x)在[0，1]上有定义，且exf(x)与e-f(x)在[0，1]上单调增加．证明：f(x)在[0，1]上连续．标准答案：对任意的x∈[0，1]，因为ex(x)与e-f(x)在[0，1]上单调增加，令x→x0，由夹逼定理得f(x0+0)=f(x0)，故f(x0一0)=f(x0+0)=f(x0)，即f(x)在x=x0处连续，由x0的任意性得f(x)在[0，1]上连续．知识点解析：暂无解析2、标准答案：知识点解析：暂无解析3、设k为常数，方程在(0，+∞)内恰有一根，求k的取值范围．标准答案：令x∈(0，+∞)(1)若k＞0，由所以原方程在(0，+∞)内恰有一个实根；(2)若k=0，所以原方程也恰有一个实根；(3)若k＜0，知识点解析：暂无解析4、证明曲线上任一点的切线的横截距与纵截距之和为2．标准答案：对两边关于x求导得，切线方程为Y－y＝(X－x)，令Y＝0得X＝x＋；令X＝0得Y＝y＋，则X＋Y＝x＋2＋y＝＝2．知识点解析：暂无解析5、设昆虫产k个卵的概率为，又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为p，若卵的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有L条的概率是多少?标准答案：设A=｛下一代有L条｝，Bk=｛产k个卵｝，k=L，L+1，…，则知识点解析：暂无解析6、设f(x)在[a，b]上满足｜f’’(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)内取到最小值．证明：｜f’(a)｜＋｜f’(b)｜≤2(b－a)．标准答案：因为f(x)在(a，b)内取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)为f(x)在[a，b]上的最小值，从而f’(c)＝0．由微分中值定理得其中ξ∈(a,c)，η∈(c,b)，两式取绝对值得两式相加得｜f’(a)｜＋｜f’(b)｜≤2(b－a)．知识点解析：暂无解析7、设L：y=e—x(x≥0)．(1)求由y=e—x、x轴、y轴及x=a(a＞0)所围成平面区域绕x轴一周而得的旋转体的体积V(a)．(2)设V(c)=，求c．标准答案：知识点解析：暂无解析设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，在X=x(0＜x＜1)的条件下，随机变量Y在区间(0，x)上服从均匀分布．求：8、随机变量X和Y的联合概率密度；标准答案：X的概率密度为因在X=x(0＜x＜1)条件下，Y在区间(0，x)上服从均匀分布，故Y的条件密度fY|X(y|x)为当0＜y＜x＜1时，X和Y的联合概率密度为f(x，y)=fX(x)fY|X(y|x)=1／x，在其他点(x，y)处，有f(x，y)=0，即知识点解析：暂无解析9、Y的概率密度；标准答案：当0＜y＜1时，如图3．3．2．3所示，Y的概率密度为当y≤0或y≥1时，fY(y)=0．因此知识点解析：暂无解析10、概率P(X+Y＞1)．标准答案：所求概率为知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第6套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、计算反常二重积分，D是第一象限内，且位于曲线y=4x2和y=9x2之间的区域。标准答案：由题意知，积分区域，则知识点解析：暂无解析2、（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，6）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得f（b）—f（A）=f’（ξ）（b—a）。（Ⅱ）证明：若函数f（x）在x=0处连续，在（0，δ）（δ＞0）内可导，且f’（x）=A，则f+’（0）存在，且f+’（0）=A。标准答案：（Ⅰ）作辅助函数φ（x）=f（x）一f（a）一（x—a），易验证φ（x）满足：φ（a）=φ（b）；φ（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且根据罗尔定理，可得在（a，b）内至少有一点ξ，使φ’（ξ）=0，即所以f（b）—f（A）=f’（ξ）（b—a）。（Ⅱ）任取x0∈（0，δ），则函数f（x）满足在闭区间[0，x0]上连续，开区间（0，x0）内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在故f+’（0）存在，且f+’（0）=A。知识点解析：暂无解析3、设y=y(x)是由sin(xy)=确定的隐函数，求y’(0)和y"(0)的值．标准答案：在方程中令x=0可得，0=故y(0)=e2．将方程两边对x求导数，得将x=0，y(0)=e2代入①式，有即y’(0)=e—e4．将①式两边再对x求导数，得一sin(xy).(y+xy’)2+cos(xy).(2y’+xy")=将x=0，y(0)=e2和y’(0)=e—e4代入上式，有故y"(0)=e3(3e3一4)．知识点解析：暂无解析4、将函数在点x0=1处展开成幂级数，并求f(n)(1)．标准答案：将f(x)视为即可．因为利用公式(5．14)，并以代替其中的x，则有于是由于f(x)的幂级数所以知识点解析：暂无解析5、设A=当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC—CA=B，并求所有矩阵C。标准答案：该方程组是四元非齐次线性方程组，如果C存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得当a=—1，b=0时，线性方程组有解，即存在C，使AC—CA=B。此时增广矩阵变换为（其中c1，c2为任意常数）。知识点解析：暂无解析6、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)．从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n(n＞2)．令的数学期望．标准答案：令Y1=X1+Xn+i(i=1，2，…，，2)，则Y1，Y2，…，Yn为正态总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本，=(n一1)S2，其中S2为样本Y1，Y2，…，Yn的方差，而E(S2)=2σ2，所以统计量U=的数学期望为E(U)=E[(n一1)S2]=2(n一1)σ2．知识点解析：暂无解析7、判别下列级数的敛散性：标准答案：知识点解析：暂无解析8、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)．从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n(n＞2)．令求统计量的数学期望．标准答案：令Yi=Xi+Xn+i(i=1，2，…，n)，则Y1，Y2，…，Yn为正态总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本，(n一1)S2，其中S2为样本Y1，Y2，…，Yn的方差，而E(S2)=2σ2，所以统计量U=的数学期望为E(U)=E[(n一1)S2]一2(n一1)σ2．知识点解析：暂无解析设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别为α1=[－1，－1，1]T，α2=[1，－2，－1]T．9、求A的属于特征值3的特征向量；标准答案：设A的属于特征值3的特征向量为α3=[x1，x2，x3]T．因实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交，故α1Tα3=0，α2Tα3=0，即[x1，x2，x3]T为下列齐次方程组的非零解：由得到基础解系为ξ=[1，0，1]T．因此α的属于特征值3的特征向量为α3=k[1，0，1]T(k为任意非零常数)．知识点解析：暂无解析10、求矩阵A．标准答案：解一令矩阵则P-1AP=diag(1，2，3)，即A=Pdiag(1，2，3)P-1，易求得故解二由于α1，α2，ξ两两正交，为求正交矩阵Q只需将其单位化，即因此可取正交矩阵Q代替可逆矩阵P，即则有Q-1AQ=QTAQ=diag(1，2，3)，A=Pdiag(1，2，3)P-1=Qdiag(1，2，3)Q-1=Qdiag(1，2，3)QT=解二比解一虽然多了单位化的步骤，但免去了求逆的计算(因Q为正交矩阵，有Q-1=QT)．知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第7套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、求证：当x＞0时，不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．标准答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，则有f(x)在[0，+∞)三阶可导且f(0)=0，f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0，于是f"(x)当x≥0时单调增加，又f"(0)=0，所以当x＞0时f"(x)＞f"(0)=0．从而f’(x)当x≥0时单调增加，又f’(0)=0，故当x＞0时f’(x)＞f’(0)=0．因此f(x)当x≥0时单调增加，又f(0)=0，所以当x＞0时f(x)＞f(0)=0．原不等式得证．知识点解析：暂无解析2、设z＝z(χ，y)由方程χ2－6χy＋10y2－2yz－z2＋18＝0确定的函数，求z＝z(χ，y)的极值点和极值．标准答案：点(9，3)为z＝z(χ，y)的极小值点，极小值为z(9，3)＝3；点(－9，－3)为z＝z(χ，y)的极大值点，极大值为z(－9，－3)＝－3．知识点解析：暂无解析3、设f(x)＝求f(x)并讨论其连续性．标准答案：当x＞0时，f’(x)＝，当x＜0时，f’(x)＝cosx，由f’－＝＝1，f’＋(0)＝＝1，得f’(0)＝1，则容易验证f’(x)＝1＝f’(0)，所以f’(x)连续．知识点解析：暂无解析4、计算其中D是由圆心在点(a，a)、半径为a且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域．标准答案：区域D如图4．35，区域D的上边界是方程为(x－a)2+(y－a)2=a2的下半圆上的一段弧，它的方程为下边界方程为y=0，故区域D可表示为知识点解析：暂无解析5、设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其中λ＞0，μ＞0是常数，引入随机变量求E(Z)和D(Z)．标准答案：由于Z为0—1分布，故E(Z)=P{Z=1}，D(Z)=P{Z=1}.P{Z=0}．而知识点解析：暂无解析6、设随机变量X～E(λ)，令求P(X+Y=0)及FY(y)．标准答案：P(X+Y=0)=P(Y=－X)=P(｜X｜＞1)=P(X＞1)+P(X＜－1)=P(X＞1)=1－P(X≤1)=1－FX(1)=e－λFY(y)=P(Y≤y)=P(Y≤y，｜X｜≤1)+P(Y≤y，｜X｜＞1)=P(X≤Y，｜X｜≤1)+P(－X≤y，X＞1)+P(－X≤Y，X＜－1)=P(X≤Y，0＜X≤1)+P(X≥－y，X＞1)当y＜－1时，FY(y)=P(X＞－y)=eλy；当－1≤y<0时，FY(y)=P(X＞1)=e－λ；当0≤y≤1时，FY(y)=P(X≤Y)+P(X＞1)=1－e－λy+e－λ；当y＞1时，FY(y)=P(0＜X≤1)+P(X＞1)=1，故知识点解析：暂无解析7、设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn为取自正态总体X的简单随机样本，且，求E(X1Sn2)．标准答案：由于X1，X2，…，Xn相互独立且同分布，故E(X1Sn2)=E(X2Sn2)=…=E(XnSn2)．知识点解析：暂无解析8、求幂级数的和函数S(x)及其极值．标准答案：令得唯一驻点x=0，当x＜0时，S′(x)＞0，当x>0时，S′(x)＜0，则x=0为S(x)的极大值点，极大值为S(0)=1．知识点解析：暂无解析某保险公司对多年来的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20％，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数．[附表]设Φ(x)是标准正态分布函数．9、写出X的概率分布；标准答案：设事件A={被抽查到被盗索赔户}，则p=p(A)=0．2．由题意知，X～B(100，0．2)．因此，分布律P(X=k)=C100k0．2k0．8100-k(k=0，1，…，100)．知识点解析：暂无解析10、利用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值．标准答案：E(X)=np=20，D(X)=np(1－p)=16．根据棣莫弗一拉普拉斯定理知，则知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第8套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设u＝a＋b－2c，v＝－a－3b＋C，试用n、b、c来表示2u－3v．标准答案：2u－3v＝2(a＋b－2c)－3(－a－3b＋c)＝5a＋11b－7c．知识点解析：暂无解析2、求下列积分标准答案：(1)本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好u和dv．=－cotx.ln(sinx)+∫(csc2x－1)dx=－cotx.ln(sinx)－cotx－x+C．(2)本题考查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方．(3)因x=－[(1－x)－1]，从而可用凑微分法．(4)本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数，偶函数在对称区间上积分性质简化计算，本题还用到了华里士公式．(5)此题计算量大些，考虑用分部积分法．然后分部积分，留arccosx，移到d后面，即(6)由于(x－lnx)ˊ≠1－lnx，分子分母同时除以xˊ得I=，注意到(7)一般会想到如下解法：用牛顿—莱布尼茨公式，令t=tanx，则x=arctant，dx=，则这当然是错的，错在哪里呢?因为当t∈[－1，0]时，x=arctant之值不落在原积分区间上．事实上，补救的办法是将积分区间拆开，知识点解析：暂无解析3、已知A=，A*是A的伴随矩阵，求A*的特征值与特征向量．标准答案：因为A==B-E，而r(B)=1，且有｜λE-B｜=λ3-6λ2，所以矩阵B的特征值是6，0，0．故矩阵A的特征值是5，-1，-1．又行列式｜A｜=5，因此A*的特征值是1，-5，-5．矩阵曰属于λ=6的特征向量是α1=(1，1，1)T，属于λ=0的特征向量是α2=(-1，1，0)T和α3=(-1，0，1)T．因此A*属于λ=1的特征向量是k1α1(k1≠0)，属于λ=-5的特征向量是k2α2+k3α3(k2，k3不全为0)．知识点解析：暂无解析4、标准答案：知识点解析：暂无解析5、设PQ为抛物线y＝的弦，它在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．标准答案：令P(a，)，因为y＝关于y轴对称，不妨设a＞0．y’(a)＝，过P点的法线方程为y－(x－a)，设Q(b，)，因为Q在法线上，所以(b－a)，解得b＝－a－．PQ的长度的平方为L(a)＝(b－a)2＋(b2－a2)]2＝4a2(1＋)3，由L’(a)＝8a(1＋＝0得a＝为唯一驻点，从而为最小点，故PQ的最小距离为．知识点解析：暂无解析6、求函数f(x，y)=xy(a一x—y)的极值．标准答案：知识点解析：暂无解析7、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，其均值和方差分别为X与S2，且X～B(1，p)，0＜P＜1．(I)试求：X的概率分布；(Ⅱ)证明：标准答案：(I)由于X～B(1，P)，故X的概率分布为其中，因为Xi取值0或1，故Xi2=Xi．知识点解析：暂无解析8、设η1，，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k1，…，ks为实数，满足k2+k2+…+ks=1。证明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程组的解。标准答案：由于η1，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，故有Aηi=b（i=1，…，s）。因为k1+k2+…+ks=1，所以Ax=A（k1η1+k2η2+…+ksηs）=k1Aη1+k2Aη2+…+ksAηs=b（k1+…+ks）=b，由此可见x也是方程组的解。知识点解析：暂无解析设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．9、求(U，V)的概率分布；标准答案：易知U，V的可能取值均为1，2，因X，y独立且同分布，故P(U=1，V=1)=P(max(X，Y)=1，min(X，Y)=1)=P(X=1，Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=4／9，P(U=1，V=2)=P(max(X，Y)=1，min(X，Y)=2)=P()=0．P(U=2，V=1)=P(max(X，Y)=2，min(X，Y)=1)=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)=P(X=2)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=2)=2／9+2／9=4／9．P(U=2，V=2)=P(max(X，Y)=2，min(X，Y)=2)=P(X=2，Y=2)=P(X=2)P(Y=2)=1／9．于是(U，V)的概率分布为知识点解析：暂无解析10、求U与V的协方差cov(U，V)．标准答案：下用同一表格法先求出E(U)，E(V)及E(UV)．由所以E(U)=1×(4／9)+2×(5／9)=14／9，E(V)=1×(8／9)+2×(1／9)=10／9，E(UV)=1×(4／9)+2×(4／9)+4×(1／9)=16／9，故cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=16／9－(14／9)×(10／9)=4／81．知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第9套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、已知矩阵且矩阵X满足AXA＋BXB＝AXB＋BXA＋E，求矩阵X．标准答案：(A－B)X(A－B)＝EX＝(A－B)-1(A－B)-1＝知识点解析：暂无解析2、设f（x）=∫—1xt|t|dt（x≥一1），求曲线y=f（x）与x轴所围封闭图形的面积。标准答案：因为t|t|为奇函数，可知其原函数f（x）=∫—1xt|t|dt=∫—10|t|t|dt+∫0xt|t|dt为偶函数，因此由f（—1）=0，得f（1）=0，即y=f（x）与x轴有交点（—1，0），（1，0）。又由f’（x）=x|x|，可知x＜0时，f’（x）＜0，故f（x）单调减少，从而f（x）＜f（—1）=0（—1＜x≤0）；当x＞0