考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷5（共268题）

考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷5（共9套）（共268题）考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设x1，x2，x3，x4是来自总体X～N(1，2)的简单随机样本，且k(Xi一4)2服从χ2(n)分布，则常数k和x2分布的自由度n分别为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由正态分布的性质可知故选C．2、设随机变量X～N(0，1)和Y～N(0，2)，并且相互独立，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：X+Y～N(0，3)，故选C．3、设X1，X2，…，Xn是来自总体X～N(μ，σ2)的样本，则μ2+σ2的矩法估计量为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：μ2+σ2=E2(X)+D(X)=E(X2)．故选D．4、设X1，X2，…，Xn是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ为未知，则下列估计量不是θ的无偏估计的为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：经计算有E(T1)=θ，E(T3)=θ，E(T4)=θ，E(T2)=2θ≠θ．故选B．5、设必为θ2的()．A、无偏估计B、一致估计C、有效估计D、有偏估计标准答案：D知识点解析：由+θ2≠θ2．故选D．6、已知一批零件的长度X(单位为cm)服从正态总体N(μ，1)，从中随机抽取16个零件，测得其长度的平均值为40cm，则μ的置信度为0．95的置信区间是(注：标准正态分布函数值Ф(1．96)=0．975，Ф(1．645)=0．95)()．A、(39．51，40．49)B、(39．59，40．41)C、(一∞，39．95)D、(40．49，+∞)标准答案：A知识点解析：单正态总体N(μ，σ2)，在σ2已知时，μ的置信区间为，μ1—α/2表示标准正态分布的下1一=40，σ=1，n=16，μ0．975=1．96代入即得．故选A．7、设总体X～N(μ，σ2)，其中σ2已知，若已知样本容量和置信度1—α均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度()．A、变长B、变短C、不变D、不能确定标准答案：C知识点解析：此时μ的置信区间为．从而其长度L=分位数，显然L与样本值的变化无关．故选C．8、设总体X服从正态分布N(0，σ2)，X1，X2，…，X10是来自X的简单随机样本，统计量Y=(1＜i＜10)服从F分布，则i等于()．A、4B、2C、3D、5标准答案：B知识点解析：即i=2．故选B．9、设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，为使D=(Xi+1一Xi)2成为总体方差的无偏估计量，则应选k为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：Xi+1一Xi～N(0，2σ2)，于是E(Xi+1一Xi)2=D(Xi+1一Xi)+E2(Xi+1一Xi)=2σ2．E(D)=(Xi+1—Xi)2=2(n一1)σ2k．要D为σ2的无偏估计，即E(D)=σ2，故k=．故选C．10、设总体X～N(μ，σ2)，μ未知，则σ2的置信度为1一α的置信区间为(注：(n)等均为上分位数记号)()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因μ未知，应选取枢轴量，从而σ2的置信度为1一α的置信区间为选项(B)．故选B．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)11、设X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，其分布函数记为F(x)，密度函数记为f(x)，并且F(x)严格单调，f(x)连续，根据中心极限定理，当n充分大时，F(Xi)近似服从__________分布，参数为__________．标准答案：正态，知识点解析：易知F(Xi)，i=1，2，…，n相互独立同分布，且其分布为[0，1]上的均匀分布，故E[F(Xi)]=．12、设随机变量X～F(n，n)，则P(X＞1)=__________．标准答案：知识点解析：13、设总体X～N(0，σ2)，X1，X2，X3为取自X的样本，则Y=服从的分布为__________．标准答案：F(1，1)知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)14、设连续型随机变量X的密度函数为(1)常数a，b，c的值；(2)Y=eX的数学期望与方差．标准答案：(1)由∫—∞+∞f(x)dx=1，即∫02axdx+∫24(cx+b)dx=1，得2a+2b+6c=1，①由E(X)=∫02ax2dx+∫24(cx+b)xdx=2，得知识点解析：暂无解析15、设(X，Y)的概率分布为已知Cov(X，Y)=一，其中F(x，y)表示X与Y的联合分布函数．求常数a，b，c的值．标准答案：知识点解析：暂无解析16、在线段[0，1]上任取n个点，试求其中最远两点的距离的数学期望．标准答案：设Xi为在[0，1]中任取的第i个点的坐标，i=1，2，…，，2．则X1，X2，…，Xn独立同分布，且都服从(0，1)上的均匀分布，即其分布函数为则最远两点的距离为X=X(n)一X(1)，从而E(X)=E[X((n))]一E[X(1)]．知识点解析：暂无解析17、设随机变量X与Y相互独立，且均服从[0，2]上的均匀分布，令U=｜X—Y｜，试求D(U)．标准答案：如图3—13所示，易知X与Y的联合密度为f(x，y)=其中区域B={(x，y)｜0≤x，y≤2}．知识点解析：暂无解析18、设某种商品每周的需求量X是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利润500元．若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位仅获利润300元．为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量．标准答案：X的概率密度函数为f(x)=令Ma表示“进货量为a单位时，商店所获利润”，则于是期望利润为(Ma为X的函数，记为g(X))E(Ma)=E[g(X)]=∫—∞+∞g(x)f(x)dx知识点解析：暂无解析19、检查员逐个地检查某产品，每次花10秒钟检查一个，但也可能有的产品需要再花10秒钟重复检查一次，假设每个产品需要重复检查的概率为0．5，求在8小时内检查员检查的产品个数多于1900个的概率是多少?标准答案：设Xi表示“检查第i个产品花费的时间”(单位为秒)，即i=1，2，…，1900．易知X1，X2，…，Xn相互独立且同分布，X=为检查1900个产品所花费的时间，且E(Xi)=10×0．5+20×0．5=15，D(Xi)=E(Xi2)一E2(Xi)=25．由林德伯格一列维中心极限定理得≈Ф(1．376)≈0．91559．所以在8小时内检查员检查的产品个数多于1900个的概率为0．91559．知识点解析：暂无解析20、假设随机变量X1，X2，…，X5独立同服从正态分布N(0，22)，且Y=aX12+b(2X2+3X3)2+c(4X4一5X5)2．问常数a，b，c取何值时随机变量Y服从χ2分布?自由度为多少?标准答案：由正态分布的线性性质得2X2+3X3～N(0，52)，4X4—5X5～N(0，164)，知识点解析：暂无解析21、设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn为取自正态总体X的简单随机样本，且，求E(X1Sn2)．标准答案：由于X1，X2，…，Xn相互独立且同分布，故E(X1Sn2)=E(X2Sn2)=…=E(XnSn2)．知识点解析：暂无解析22、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，其中总体X有密度标准答案：知识点解析：暂无解析23、设总体X服从指数分布，其密度函数为f(x)=其中λ＞0是未知参数，X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本．(1)求λ的最大似然估计量；(2)求的最大似然估计量；(3)判断的最大似然估计的无偏性；标准答案：知识点解析：暂无解析24、设总体X的分布律为其中0＜θ＜l，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本．(1)求θ的最大似然估计量；(2)判断的无偏性和一致性．标准答案：(1)总体X的分布律可以表示为P(X=k)=C2k+1(1一θ)k—1θ3—k，k=1，2，3．似然函数L(x1，x2，…，xn；θ)=P(X=x1)P(X=x2)．…．P(X=xn)知识点解析：暂无解析25、设总体x的概率密度函数为f(x，θ)=，一∞＜x＜+∞，其中θ＞0是未知参数，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设总体X～N(0，σ2)，X1，X2，…，X9为来自X的简单随机样本，试确定σ的值，使得概率P(1＜．标准答案：知识点解析：暂无解析27、设总体X的数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，X1，X2，…，Xn为取自总体X的简单随机样本，的相关系数，i≠j，i，j=1，2，…，n．标准答案：知识点解析：暂无解析28、设总体X的密度函数为f(x，θ)=其中θ＞0为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，Yn={Xi}．(1)证明：都是θ的无偏估计量；(2)比较这两个估计量，哪一个更有效?标准答案：知识点解析：暂无解析29、设总体X的密度函数为f(x)=其中θ＞0，θ，μ为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自X的样本．(1)求μ，σ的矩估计；(2)求μ，σ的最大似然估计．标准答案：(1)因为E(X)=μ+θ，E(X2)=μ2+2θ(μ+θ)，于是，令知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设A，B，C为随机事件，A发生必导致B与C最多一个发生，则有A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：B与C最多有一个发生就是B与C不可能同时发生，即BC==Ω，故选(C)．2、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1=｛掷第一次出现正面｝，A2=｛掷第二次出现正面｝，A3=｛正、反面各出现一次｝，A4=｛正面出现两次｝，则A、A1，A2，A3相互独立．B、A2，A3，A4相互独立．C、A1，A2，A3两两独立．D、A2，A3，A4两两独立．标准答案：C知识点解析：试验的样本空间有4个样本点，即Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，显然A1A4，A2A4且A3与A4互不相容，依古典型概率公式，有P(A1)=P(A2)=P(A3)=，P(A4)=，P(A1A2)=P(A1A3)=P(A2A3)=，P(A3A4)=0．计算可见P(A1A2)=P(A1)P(A2)，P(A1A3)=P(A1)P(A3)，P(A2A3)=P(A2)P(A3)，P(A3A4)=0，P(A1A2A3)=0．因此，A1，A2，A3两两独立但不相互独立，而A2，A3，A4中由于A3与A4不独立，从而不是两两独立，更不可能相互独立，综上分析，应选(C)．3、设随机变量X的概率密度为f(x)，则下列函数中一定可以作为概率密度的是A、f(2x)．B、2f(x)．C、｜f(一x)｜．D、f(｜x｜)．标准答案：C知识点解析：根据概率密度的充要条件逐一判断．对于(A)：∫－∞＋∞f(2x)dx=≠1，故(A)不对．对于(B)：∫－∞＋∞2f(x)dx=2∫－∞＋∞f(x)dx=2≠1，故(B)不对．对于(C)：｜f(一x)｜=f(一x)≥0，且∫－∞＋∞｜f(－x)｜dx=∫－∞＋∞f(－x)dx=－∫＋∞－∞f(t)dt=∫－∞＋∞f(t)dt=1，故(C)满足概率密度的充要条件，选(C)．对于(D)：∫－∞＋∞f(｜x｜)dx=∫－∞0f(－x)dx＋∫0＋∞f(x)dx=－∫＋∞0f(t)dt＋∫0＋∞f(x)dx=2∫0＋∞f(x)dx，由于2∫0＋∞f(x)dx不一定等于1，故不选．4、设随机变量X服从正态分布，其概率密度函数f(x)在x=1处有驻点，且f(1)=1，则X服从分布A、N(1，1)．B、C、D、N(0，1)．标准答案：B知识点解析：正态分布N(μ，σ2)的概率密度函数为f(x)=，－∞＜x＜＋∞：由于f(x)的驻点是x=μ，且f(μ)=，所以X～，故选(B)．5、设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，Xn。A、有相同期望和方差．B、服从同一离散型分布．C、服从同一均匀分布．D、服从同一连续型分布．标准答案：C知识点解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X1，X2，…，Xn独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在，显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在，选项(A)不成立，因为X1，X2，…，Xn有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维-林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维-林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立．6、设Xn表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由于Xn～，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有=φ(x)．故选(C)．7、假设总体X的方差DX存在，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，S2，则EX2的矩估计量是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：按定义，EX2的矩估计量是，由于s2=，所以为EX2的矩估计量，选(D)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)8、重复独立掷两个均匀的骰子，则两个骰子的点数之和为4的结果出现在它们点数之和为7的结果之前的概率为________．标准答案：知识点解析：设A表示“点数之和4出现在点数之和7之前”；B表示“第一次试验出现点数之和4”；C表示“第一次试验出现点数之和7”；D表示“第一次试验没出现点数之和4与点数之和7”，则B，C，D构成一个完备事件组，且A=A(B+C+D)，易知，总样本数为62=36，P(B)=(因B中有3个样本点：(1，3)，(2，2)，(3，1))，P(C)=(因C中有6个样本点)，P(D)=，且P(A｜B)=1，P(A｜C)=0，P(A｜D)=P(A)．由全概率公式，得P(A)=P(B)P(A｜B)+P(C)P(A｜C)+P(D)P(A｜D)=P(B)+P(D)P(A)=，所以，P(A)=．9、设随机变量X服从正态分布N(μ，22)，已知3P{X≥1．5}=2P{X＜1．5}，则{｜X一1｜≤2}=________．标准答案：0.6826知识点解析：求正态分布随机变量X在某一范围内取值的概率，要知道分布参数μ与σ，题设中已知σ=2，需先求出μ，由于10、已知某零件的横截面是一个圆，对横截面的直径进行测量，其值在区间(1，2)上服从均匀分布，则横截面面积的数学期望为________，方差为________．标准答案：知识点解析：设横截面的直径为X，则X在区间(1，2)上服从均匀分布，概率密度为fX(x)=．设横截面的面积为S，则S=，根据随机变量的数学期望的性质与方差的计算公式，可得E(S)=．由于D(S)=E(S2)一[E(S)]2，而E(S2)=，由随机变量函数的数学期望的定义式(4．4)可知，随机变量Z=g(X)=X4的数学期望为E(X4)=∫－∞＋∞x4fX(x)dx=∫12x4dx=，于是E(S2)=．故D(S2)=E(S2)一[E(S)]2=．11、设试验成功的概率为，现独立重复地试验直到成功两次为止，则所需进行的试验次数的数学期望为________．标准答案：知识点解析：设X表示试验成功两次时所进行的试验次数，Y表示第一次试验成功所进行的试验次数，Z表示从第一次成功之后到第二次成功所进行的试验次数，则X=Y+Z，且Y与Z都服从同一几何分布，其概率分布为P{Y=k}=P{Z=k}=(k=1，2，…)，从而有E(Y)=E(Z)=，于是E(X)=E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)=．12、设随机变量X1，…，Xn相互独立同分布，EXi=μ，DXi=8(i=1，2，…，n)，则概率P{μ一4＜＜μ+4}≥________，其中．标准答案：知识点解析：由于X1，…，Xn相互独立同分布，因此有，应用切比雪夫不等式，有13、设(2，1，5，2，1，3，1)是来自总体X的简单随机样本值，则总体X的经验分布函数Fn(x)=________．标准答案：知识点解析：将各观测值按从小到大的顺序排列，得1，1，1，2，2，3，5，则经验分布函数为14、设总体X的密度函数f(x)=，S2分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差，则；ES2=________．标准答案：知识点解析：由于，ES2=DX，由题设有EX=∫－∞＋∞xf(x)dx=∫－11x｜x｜dx=0．DX=EX2－(EX)2=∫－∞＋∞x2f(x)dx=∫－11x2｜x｜dx=2∫01x3dx=，所以．三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)15、某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面部是正面．(Ⅰ)如果他随机取一枚抛出，结果出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为多少；(Ⅱ)如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为多少．标准答案：两小题都是求条件概率，因此需用贝叶斯公式，设B=“取出的硬币是均匀的”，Ai=“第i次抛出的结果是正面”，i=1，2，则(Ⅰ)所求概率为P(B｜A1)，(Ⅱ)所求概率为P(BA1A2)．(Ⅰ)由贝叶斯公式得P(B｜A1)=．(Ⅱ)由贝叶斯公式得P(B｜A1A2)=．知识点解析：暂无解析设随机变量X的概率密度为f(x)=，试求：16、常数C；标准答案：由1=∫－∞＋∞f(x)dx=2∫044Cxdx=8C．知识点解析：暂无解析17、概率P｛＜x＜1｝；标准答案：．知识点解析：暂无解析18、X的分布函数．标准答案：分布函数F(x)=∫－∞xf(t)dt，由于f(x)是分段函数，该积分在不同的区间上被积函数的表达式各不相同，因此积分要分段进行，要注意的是不管x处于哪一个子区间，积分的下限总是“一∞”，积分∫－∞xf(t)dt由(一∞，x)的各个子区间上的积分相加而得．当x≤0时，F(x)=∫－∞xf(t)dt=∫－∞x0dt=0；当0＜x≤2时，F(x)=∫－∞xf(t)dt=∫－∞00dt+；当x＞2时：F(x)=∫－∞xf(t)dt=∫－∞00dt+∫02dt+∫2x0dt=1，因此F(x)=知识点解析：暂无解析19、设某地段在一个月内发生交通事故的次数X服从泊松分布，其中重大事故所占比例为α(0＜α＜1)，据统计资料，该地段在一个月内发生8次交通事故是发生10次交通事故概率的2．5倍，求该地段在一年内最多有一个月发生重大交通事故的概率(假定各月发生交通事故情况互不影响并设α=0．05)．标准答案：先确定X的分布参数λ，由于P｛X=8｝=2．5P｛X=10｝，即=36，λ=6(负根舍去)．我们可以计算出Y服从参数为λα的泊松分布，即P{Y=m}=e－0．3(m=0，1，2，…)．一个月内无重大交通事故的概率p=P{Y=0}=e－0．3．一年内最多有一个月发生重大交通事故就是一年内至少有11个月无重大交通事故，其概率为P{Z=11}+P{z=12}=C1211e－3．3(1一e－0．3)+e－3．6=0．142．知识点解析：此题首先应该计算一个月内该地段发生重大交通事故次数Y的概率分布，据此可求出概率p=P{Y=0}，如果用Z表示一年内无重大交通事故的月份数，显然各个月是否有重大交通事故互不影响，因此Z服从二项分布B(12，p)．20、设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，已知条件概率密度fX｜Y(x｜y)=．试求：(I)常数A和B；(Ⅱ)fX(x)和fY(y)；(Ⅲ)f(x，y)．标准答案：(Ⅲ)f(x，y)=fX｜Y(x｜y)．fY(y)=．知识点解析：(Ⅰ)由性质∫－∞＋∞fX｜Y(x｜y)dx=1可以定出常数A，也可以更简单地把看成形式．(Ⅱ)由于，从而将x，y的函数分离．(Ⅲ)由f(x，y)=fX｜Y(x｜y)．fY(y)即可求得f(x，y)．21、设随机变量Yi(i=1，2，3)相互独立，并且服服从参数为P的0-1分布，令Xk=求随机变量(X1，X2)的联合概率分布．标准答案：易见随机变量(X1，X2)是离散型的，它的全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，现在要计算出取各相应值的概率，注意到事件Y1，Y2，Y3相互独立且服从同参数P的0-1分布，因此它们的和Y1+Y2+Y3Y服从二项分布B(3，P)，于是P{X1=0，X2=0}=P{Y1+Y2+Y3≠1，Y1+Y2+Y3≠2}=P{Y=0}+P{Y=3}=q3+P3，(q1一p)P{X1=0，X11}=P{Y1+Y2+Y3≠1，Y1+Y2+Y3=2}=P{Y=2}=3p2q，P{X1=1，X2=0}=P{Y1+Y2+Y3=1，Y1+Y2+Y3≠2}=P{Y=1}=3pq2，P{X1=1，X2=1}=P{Y1Y2+Y3=1，Y1+Y2+Y3=2}=P{}=0．由上计算可知(X1，X2)的联合概率分布为知识点解析：暂无解析22、已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为的0-1分布，即P{X=0}=P{X=1}=，定义随机变量Z=求Z的分布；(X，Z)的联合分布；并问X与Z是否独立．标准答案：由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得Z及(X，Z)的分布，进而判断X、Z是否独立．由题设知(X，Y)～，则Z(X，Z)的分布为由此可知Z服从参数ρ=的0-1分布；(X，Z)的联合概率分布为因P{X=i，Z=j}==P{X=i}P{Z=j}(i，j=0，1)，故X与Z独立．知识点解析：暂无解析假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=一1}=，求：23、Z=XY的概率密度fZ(z)；标准答案：依题意P{Y=一1}=，X～N(0，1)且X与Y相互独立，于是Z=XY的分布函数为FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y=一1}P{XY≤z｜Y=一1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=1}=P{Y=一1}P{一X≤z｜Y=一1}+P{Y=1}P{X≤z｜Y=1}=P{Y=一1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z}即Z=XY服从标准正态分布，其概率密度为fZ(z)=φ(z)=．知识点解析：由于Y为离散型随机变量，X与Y独立，因此应用全概率公式可得分布函数，进而求得概率密度．24、V=｜X—Y｜的概率密度fV(ν)．标准答案：由于V=｜X—Y｜只取非负值，因此当ν＜0时，其分布函数FV(ν)=P{｜X—Y｜≤ν}=0；当ν≥0时，FV(ν)=P{一ν≤X—Y≤ν}=P{Y=一1}P{一ν≤X—Y≤ν｜y=一1}+P{Y=1}P{一ν≤X一Y≤ν｜y=1}综上计算可得FV(ν)=由于FV(ν)是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此V的概率密度为fZ(z)=知识点解析：暂无解析假设随机变量X的密度函数f(x)=ce－λ｜x｜(λ＞0，一∞＜x＜+∞)，Y=｜X｜．25、求常数c及EX，DX；标准答案：应用∫－∞＋∞f(x)dx=1求c；应用公式及充要条件解答其他问题．由于∫－∞＋∞f(x)dx=1，所以c∫－∞＋∞e－λ｜x｜dx=2c∫0＋∞e－λxdx=．又f(x)是偶函数，且反常积分∫－∞＋∞xf(x)dx收敛，所以EX=∫－∞＋∞xf(x)dx=0，DX=DX2=∫－∞＋∞x2f(x)dx=2．∫0＋∞x2e－λxdx=(应用指数分布某些结果)．知识点解析：暂无解析26、问X与Y是否相关?为什么?标准答案：由于f(x)是偶函数，故EXY=EX｜X｜=∫－∞＋∞x｜x｜f(x)dx=0，而EX=0，所以EXY=EX．EY，故X与Y不相关．知识点解析：暂无解析27、问X与Y是否独立?为什么?标准答案：下面我们应用事件关系证明X与Y=｜X｜不独立，因为{｜X｜≤1}{X≤1}，又P{｜X｜≤1}=∫－11f(x)dx≠0，P{X≤1}=∫－∞1f(x)dx≠1，所以{｜X｜≤1}与{X≤1}不独立(包含关系不独立)，故X与Y=｜X｜不独立．知识点解析：暂无解析28、(Ⅰ)设X与Y相互独立，且X～N(5，15)，Y～χ2(5)，求概率P{X一5＞}；(Ⅱ)设总体X～N(2．5，62)，X1，X2，X3，X4，X5是来自X的简单随机样本，求概率P{(1．3＜＜3．5)∩(6．3＜S2＜9．6)}．标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)因与S2相互独立，故有P=P{(1．3＜＜3．5)∩(6．3＜S2＜9．6)}=P{1．3＜＜3．5}P{6．3＜S2＜9．6}，而～N(2．5，62／5)，即有P{6．3＜S2＜9．6}==P｛0．7＜χ2(4)＜1．067｝=P{χ2(4)＞0．7}一P{χ2(4)＞1．067}=0．95—0．90=0．05．于是所求概率为P=0．3179×0．05=0．0159．知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A，B，C三个事件两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是()．A、A与BC独立B、AB与A∪C独立C、AB与AC独立D、A+B与A+C独立标准答案：A知识点解析：由命题3．1．4．4和A，B，C两两独立知，A，B，C相互独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．对于选项(A)，因A与BC独立，且B与C独立，故P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)．仅(A)入选．注：命题3．1．4．4A，B，C相互独立的充分必要条件是A，B，C两两独立，且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．2、设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且0＜P(C)＜1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由命题3．1．4．5知，多个事件相互独立有下述性质：对于相互独立的随机事件A，B，C，它们中不含相同事件的任何部分事件组经运算(和，差，积，逆)后所得到的事件都分别与其他另一部分事件C或其求逆事件C都是相互独立的，因而不相互独立的事件仅为仅(B)入选．注：命题3．1．4．5在相互独立的随机事件A1，…An中，不含相同事件的事件组经某种运算(和、差、积、逆等)后所得到的事件与其他部分的事件或它们的运算结果都是相互独立的．3、设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x)=aF1(x)=bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取()．A、a=3／5，b=－2／5B、a=2／3，b=2／3C、a=－1／1，b=3／1D、a=1／2，b=－3／2标准答案：A知识点解析：解一由命题3．2．1．3知，仅(A)入选．因a=3／5＞0，－b=(－1)(－2／5)=2／5＞0，且a+(－b)=3／5－(－2／5)=1．解二利用分布函数的性质有因而得到对比以上四个选项，只有(A)中的a，b之值满足a－b=1．仅(A)入选．注：命题3．2．1．3若F1(x)，F2(x)，…，Fn(x)均是分布函数，则也为分布函数，其中常数ai≥0，且4、假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min(X，2)的分布函数()．A、是连续函数B、至少有两个间断点C、是阶梯函数D、恰好有一个间断点标准答案：D知识点解析：解一首先由分布函数的定义求出分布函数FY(y)，然后判断．FY(y)=P(Y≤y)=P(min(X，2)≤y)=1－P(min(X，2)＞y)=1－P(X＞y，2＞y)．当y＜2时，当y≥2时，P(X＞y，2＞y)=P(X>Y，)=P()=0，因而FY(y)=1－P(X＞y，2＞y)=1－0=1．又y≤0时，FY(y)=0，故可见，FY(y)在y=2处有一个间断点．仅(D)入选．解二设X的概率密度、分布函数分别为f(x)，F(x)，则因当x＜2时，Y=X，而X服从指数分布，其分布函数为而当y≥2时，由式③知，事件(Y≤y)为必然事件，故FY(y)=P(Y≤y)=P(Ω)=1．因而因故FY(y)在y=0处连续，但因而FY(y)在y=2处不连续．于是仅(D)入选．5、设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，Xn()．A、有相同的数学期望B、有相同的方差C、服从同一指数分布D、服从同一离散型分布标准答案：C知识点解析：列维-林德伯格中心极限定理成立的条件之一是X1，X2，…，Xn具有相同的、有限的数学期望和非零方差，而选项(A)、(B)不能保证同分布，可排除．选项(D)虽然服从同一离散型分布，但不能保证E(Xi)与D(Xi)均存在，也应排除．仅(C)入选．6、设X1，X2，…，Xn，…是独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为λ(λ＞1)的指数分布，记Φ(x)为标准正态分布函数，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由于随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且服从参数为λ的指数分布，因此E(Xi)=1／λ，D(Xi)=1／λ2(i=1，2，…，n)．由列维-林德伯格中心极限定理知，当n→∞时，随机变量的极限分布为标准正态分布，即仅(C)入选．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)7、现有三个箱子，第一个箱子中有4个黑球、1个白球，第二个箱子中有3个黑球、3个白球，第三个箱子中有3个黑球、5个白球．现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率等于__________．已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为____________．标准答案：知识点解析：设{取第i个箱子的事件)=Ai(i=1，2，3)，则A1，A2，A3为一完备事件组．设事件B={取出的球是白球}．由全概率公式得到该球为白球的概率等于P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)由贝叶斯公式得到该球属于第二个箱子的概率为8、设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤1／2)出现的次数，则P(Y=2)=____________．标准答案：9／64知识点解析：先求出事件A={X≤1／2)的概率则Y～B(n，p)=B(3，1／4)．因而，由命题3．2．3．2(1)得到P(Y=2)=C32(1／4)2(3／4)3-2=9／64．注：命题3．2．3．2(1)若离散型随机变量X～B(n，p)，则P(X=k)=Cnkpk(1－p)n-k(k=0，1，2，…，n)．9、若随机变量X服从均值为2，方差为σ2的正态分布，且P(2＜X＜4)=0．3，则P(X<0)=____________．标准答案：0．2知识点解析：解一由X～N(2，σ2)知，则因而故解二因X服从均值为2的正态分布，其概率密度曲线关于直线x=2对称，则P(X＜0)+P(0＜X＜2)+P(2＜X＜4)+P(X＞4)=1．由P(X＞4)=P(X＜0)，P(0＜X＜2)=P(2＜X＜4)(对称性)，得到2P(X＜0)+2P(2＜X＜4)=1，P(X＜0)=[1－2P(2＜X＜4)]／2=(1－0．6)／2=0．2．10、设随机变量X的概率密度为若k使得P(X≥k)=2／3，则k的取值范围是__________．标准答案：1≤k≤3知识点解析：解一由P(X≥k)=1－P(X＜k)=2／3得到P(X＜k)=1／3．这样就与分布函数完全对应起来了．再利用概率密度f(x)的定义就可算出有关结果．当k＜1时，当1≤k≤3时，当3＜k≤6时，于是欲使P(X≥k)=2／3，即使P(X＜k)=1／3，k的取值范围为[1，3]．解二作出f(x)的图形，如图3．2．4．1所示．因概率P(X≥k)在几何意义上表示x≥k时f(x)与x轴所围成的面积，而当1≤k≤3时，概率密度曲线与X轴围成的面积为即P(X≥k)=2／3，故1≤k≤3．11、在天平上重复称量一重为a的物品．假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布N(a，0．22)．若以表示n次称量结果的算术平均值，则为使n的最小值不小于自然数___________．标准答案：n≥16知识点解析：解一设各次称量物品的重量为X，由题设有X～N(a，0．22)，则因而于是即则即n＞15．366，故所求的自然数为n≥16．解二设第i次称量结果为随机变量Xi，则Xi～N(a，0．22)．又设则且依题意有由列维-林德伯格中心极限定理得到因而反查标准正态分布表得到Φ(1．96)=0．975，故即n≥15．36，所以n的最小值应不小于自然数16．注：3．2．3．2(5)若X服从标准正态分布，其分布函数为Φ(x)，则P(|x|≤a)=2Φ(a)=1，Φ(0)=0．5．12、假设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量则方差D(Y)=__________．标准答案：8／9知识点解析：解一为求E(Y)，E(Y2)，先利用命题3．2．3．2(3)求出P(Y=1)P(Y=－1)．设X的密度为fX(x)，则P(Y=1)=P(X>0)=P(02的分布律分别为故E(Y)=(－1)×(1／3)+1×(2／3)=1／3，E(Y2)=0+1×1=1，D(Y)=E(Y2)－[E(Y)]2=1－(1／3)2=8／9．解二由题设有则而P(X=0)=0，故E(Y)=1P(X=1)+0P(Y=0)+(－1)P(Y=－1)=1P(X>0)+0P(X=0)+(－1)P(X<0)=2／3－1／3=1／3，E(Y2)=12P(Y=1)+02P(Y=0)+(－1)2P(Y=－1)=12P(X>0)+02P(X=0)+(－1)2P(X<0)=2／3+1／3=1．故D(Y)=E(Y2)－[E(Y)]2=1－(1／3)2=8／9．解三用随机变量方差的定义：求之.D(Y)=[1－E(Y)]2P(Y－1)+[0－E(Y)]2P(Y=0)+[－1－E(Y)]2P(Y=－1)=[1－E(Y)]2P(X>0)+[E(Y)]2P(X=0)+[－1－E(Y)]2P(X<0)=(4／9)×(2／3)+(1／9)×0+(16／9)×(1／3)=8／9．注：命题3．2．3．2(3)若X在区间[a，b]上服从均匀分布，即X～U[a，b]，则X落在子区间[c，d][a，b]上的概率为P(c≤X≤d)=(d－c)／(b－a)．13、设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为1／2，则μ=__________．标准答案：4知识点解析：解一设事件A表示二次方程y2+4y+X=0无实根，则△=42－4X=16－4X＜0，即A={16－4X＜0}={X＞4}．由题设有P(A)=P(X＞4)=1／2．而X服从正态分布N(μ，σ2)，具有性质P(X≥μ)=P(X≤μ)=1／2，故μ=4．解二因故即μ=4．14、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22)，X3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3则D(Y)=___________．标准答案：46知识点解析：依题设有D(X1)=(b－a)2／12，D(X2)=σ2=4，D(X3)=λ=3，又因X1，X2，X3相互独立，故D(Y)=D(X1－2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=46．15、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0．4，则X2的数学期望E(X2___________．标准答案：18．4知识点解析：因X～B(10，0．4)，故E(X)=np=10×0．4=4，D(X)=npq=10×0．4×(1－0．4)=2．4．于是E(X2)=D(X)+[E(X)]2=18．4．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，在X=x(0＜x＜1)的条件下，随机变量Y在区间(0，x)上服从均匀分布．求：16、随机变量X和Y的联合概率密度；标准答案：X的概率密度为因在X=x(0＜x＜1)条件下，Y在区间(0，x)上服从均匀分布，故Y的条件密度fY|X(y|x)为当0＜y＜x＜1时，X和Y的联合概率密度为f(x，y)=fX(x)fY|X(y|x)=1／x，在其他点(x，y)处，有f(x，y)=0，即知识点解析：暂无解析17、Y的概率密度；标准答案：当0＜y＜1时，如图3．3．2．3所示，Y的概率密度为当y≤0或y≥1时，fY(y)=0．因此知识点解析：暂无解析18、概率P(X+Y＞1)．标准答案：所求概率为知识点解析：暂无解析一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)．已知X和Y的联合分布函数为19、问X与Y是否相互独立?标准答案：解一设X，Y的分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则故当x≥0，y≥0时，有FX(x)FY(y)=(1－e－0.5x)(1－e－0.5y)=1－e－0.5x－e-0.5y+e－0.5(x+y)=F(x，y)．而当x＞0或y＜0时，有Fx(x)FY(y)=0=F(x，y)，所以对任意x，y，均有F(x，y)=Fx(x)FY(y)，则X与Y独立．解二先求出(X，Y)的联合概率密度函数f(x，y)及边缘密度fX(x)，fY(y)．当x≥0，y≥0时，有于是有因而同理，可求得易验证对x≥0，y≥0，均有f(x，y)=fX(x)fY(y)．对x<0或y<0，也有f(x，y)=fX(x)·fY(y)=0，故对任意x，y均有f(x，y)=fX(x)fY(y)，由命题3．3．5．1(1)知，X与Y相互独立．注：命题3．3．5．1(1)对任意二维随机变量(X，Y)，有X，Y相互独立对任意x，y，有F(x，y)=FX(x)FY(y)；X，Y相互独立对任意x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)．知识点解析：暂无解析20、求两个部件的寿命都超过100小时的概α．标准答案：解一α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1)(因X，Y相互独立)=[1－P(X≤0．1)][1－P(Y≤0．1)]=[1－FX(0．1)][1－FY(0．1)]=e0.05·e0.05=e－0.1．解二因X，Y相互独立，故解三由上题的解一知，X，Y相互独立，且均服从参数为λ=0．5的指数分布．利用命题3．2．3．2(4)即得α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1)=e－λx．eλx=(e－0.5×0.1)2=e－0.5×2e－0.1．上述三种求法都用到了X，Y的独立性．下述两种算法可以不用．解四由得所求概率为解五利用下述结论求之．对任意(x1，y1)，(x2，y2)，x12，y12，有P(x12，y12)=F(x2，y2)－F(x1，y2)－Fx2，y1)+F(x1，y1)．于是α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(0．1－0.05)－(1－e－0.05)+1－e－0.05－e-0.05+e－0.1=e－0.1．注：命题3．2．3．2(4)若X服从参数为λ的指数分布，其中λ>0，a>0，则P(X>a)=e－λa，P(X－λa．知识点解析：暂无解析21、设随机变量X和Y的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量Z=X+Y的方差．标准答案：解一令G={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≥1}(见图3．4．2．1)．由题设知(X，Y)在G上服从均匀分布．由定义3．3．4．1及SG=1／2，得到其概率密度f(x，y)为注意到G及D关于y=x对称，有利用这些性质及命题3．4．2．1，得到故D(Z)=D(X+Y)=E[(X+Y)2]－[E(x+y)]2=11／6－16／9=1／18．解二下用求不相互独立的两个随机变量X与Y之和Z=X+Y的卷积公式(3．3．3．1)式求出其概率密度f(z)．为此改写f(x，y)．由在xOz平面上f取正值的区域为0≤x≤1，O≤z－x≤1，z≥1所围成的区域G1={(x，y)|0≤x≤1，0≤z－x≤1，z≥1}(见图3．4．2．2)．因而故于是D(X+Y)=D(Z)=E(Z2)－[E(Z)]2=E(X+Y)2－[E(X+Y)]2=11／6－(4／3)2=1／18．注：定义3．3．4．1设G是有界平面区域，其面积为SG，若二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为则称(X，Y)在G上服从二维均匀分布．命题3．4．2．1其中f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度.知识点解析：暂无解析设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．22、求(U，V)的概率分布；标准答案：易知U，V的可能取值均为1，2，因X，y独立且同分布，故P(U=1，V=1)=P(max(X，Y)=1，min(X，Y)=1)=P(X=1，Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=4／9，P(U=1，V=2)=P(max(X，Y)=1，min(X，Y)=2)=P()=0．P(U=2，V=1)=P(max(X，Y)=2，min(X，Y)=1)=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)=P(X=2)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=2)=2／9+2／9=4／9．P(U=2，V=2)=P(max(X，Y)=2，min(X，Y)=2)=P(X=2，Y=2)=P(X=2)P(Y=2)=1／9．于是(U，V)的概率分布为知识点解析：暂无解析23、求U与V的协方差cov(U，V)．标准答案：下用同一表格法先求出E(U)，E(V)及E(UV)．由所以E(U)=1×(4／9)+2×(5／9)=14／9，E(V)=1×(8／9)+2×(1／9)=10／9，E(UV)=1×(4／9)+2×(4／9)+4×(1／9)=16／9，故cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=16／9－(14／9)×(10／9)=4／81．知识点解析：暂无解析24、设A，B是二随机事件，随机变量试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立．标准答案：只需证明cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=0，即P(AB)=P(A)P(B)．记P(A)=p1，P(B)=p2，P(AB)=p12．由数学期望的定义得E(X)=1×P(A)+(－1)×P()=2p1－1．同理可得E(Y)=2p2－1．下面求E(XY)．由于XY只有两个可能取值1和一1，而故所以E(XY)=1×P(XY=1)+(－1)×P(XY=－1)=4p12－2p1－2p2+1．于是cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=4p12－4p1p2．因此，cov(X，Y)=0当且仅当p12=p1p2，即当且仅当P(AB)=P(A)P(B)．这就证明了X和Y不相关当且仅当事件A和B相互独立．知识点解析：暂无解析25、一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布．商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调节供应，这时每单位商品获利润500元．试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值．标准答案：设Z表示商店每周所得的利润，先建立利润与X，Y之间的函数关系：而X与Y的概率密度均为．又X与Y独立，则又由于G1={(x，y)|X≥y}，G2={(x，y)|y>x}，Z和φ(x，y)均为分段函数，需将积分分区域G1与G2求之，归结为计算两个分段函数之积的二重积分：知识点解析：暂无解析某保险公司对多年来的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20％，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数．[附表]设Φ(x)是标准正态分布函数．26、写出X的概率分布；标准答案：设事件A={被抽查到被盗索赔户}，则p=p(A)=0．2．由题意知，X～B(100，0．2)．因此，分布律P(X=k)=C100k0．2k0．8100-k(k=0，1，…，100)．知识点解析：暂无解析27、利用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值．标准答案：E(X)=np=20，D(X)=np(1－p)=16．根据棣莫弗一拉普拉斯定理知，则知识点解析：暂无解析28、设X1，X2，…，Xn来自正态总体X的简单随机样本，且Y1=(X1+X2+…+X6)／6，Y2=(X7+X8+X9)／3，证明统计量Z服从自由度为2的t分布．标准答案：设X～N(μ，σ2)．由其样本均值Y1～N(μ，σ2／6)，样本均值Y2～N(μ，σ2／3)，则Y1－Y2～N(μ－μ，σ2／6+σ2／3)=N(0，σ2／2)，于是因由命题3．6．1．1(3)知Y2与S2独立，且因Y2与S2独立，Y1与S2独立，故Y1－Y2与S2独立，从而与2S2／σ2独立．于是由t分布的典型模式知，即统计量Z服从自由度为2的t分布．注：命题3．6．1．1(3)设X1，X2，…，Xn为来自正态总体N(μ，σ2)的样本，与S2分别为样本均值与样本方差，则与S2相互独立，且知识点解析：暂无解析设总体X的概率密度为其中θ(0＜θ＜1)未知，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，是样本均值．29、求参数θ的矩估计量；标准答案：先求E(X)得到矩估计方程，即将E(X)用样本均值替换即得θ的矩估计量知识点解析：暂无解析30、判断是否为θ2的无偏估计量，并说明理由．标准答案：通过计算判断是否等于为此先计算E(X2)，进而求出故知识点解析：暂无解析31、设总体X的概率分布为其中θ(0＜θ＜1／2)是未知参数．利用总体的样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值．标准答案：E(X)=0×θ2+1×2θ(1－θ)+2×θ2+3×(1－2θ)=3—4θ．由于θ=[3－E(X)]／4，θ的矩估计值为而=(3+1+3+0+3+l+2+3)／8=2，故θ的矩估计值为知识点解析：暂无解析32、设总体X的概率分布为其中θ(0＜θ＜1／2)是未知参数．利用总体的样本值：3，1，3，0，3，1，2，3．求θ的最大似然估计值．标准答案：对于给定的样本值，似然函数为L(θ)=P(X1=3)P(X2=1)P(X3=3)P(X4=0)P(X5=3)P(X6=1)P(X7=2)P(X8=3)=P(X=0)EP(X=1)]2P(X=2)[P(X=3)]4=4θ6(1－θ)2(1－2θ)4．由于0＜θ＜1／e，L(θ)＞0，因而，对L(θ)取对数得lnL(θ)=ln4+6lnθ+2ln(1－θ)+4ln(1－2θ)，对θ求导数，得令解方程12θ2－14θ+3=0，得因(不合题意舍去)，故θ的最大似然估计值为知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，与S2分别是样本均值与样本方差，则A、～χ2(1)．B、～χ2(n—1)．C、～t(n一1)．D、～F(n一1，1)．标准答案：D知识点解析：根据正态总体抽样分布公式知应选D．2、设X1，…，Xn，Xn+1，…，X2n，X2n+1，…，X3n是取自正态分布总体N(μ，σ2)的一个简单随机样本(n≥2)，则一定有A、～N(0，1)．B、Si2～χ2(n一1)．C、～t(n—1)．D、F1=同分布．标准答案：D知识点解析：由于与Si2分别是取自正态总体N(μ，σ2)的一个容量为n的简单随机样本，根据正态总体的抽样分布知，对i=1，2，3，有因此选项A、(B)、(C)均不成立，应选D．进一步分析，因X1，Xn，Xn+1，X2n，X2n+1，…，X3n相互独立，因此S12，S22，S32也相互独立．又因(n一1)Si2／σ2～χ2(n一1)，所以根据F分布的典型模式可得=F1～F(n一1，n一1)．同理F2=S22／S32～F(n一1，n一1)，即F1与F2同分布．3、设Y1，Y2，…，Yn是取自总体X的一个简单随机样本，DX=σ2，是样本均值，则下列估计量的期望为σ2的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因EX2=DX+(EX)2=σ2+μ2，+μ2，所以有应选C．4、设X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，记EX=μ，DX=σ2，，DS＞0，则A、ES=σB、ES2=σ2．C、E2=μ2．D、E(X2)=EX2．标准答案：B知识点解析：从上题知ES2=σ2，应选B．进一步分析DS=ES2一(ES)2＞0→(ES)2≠ES2=σ2→ES≠σ，5、设是从总体X中取出的简单随机样本X1，…，Xn的样本均值，则是μ的矩估计，如果A、X—N(μ，σ2)．B、X服从参数为μ的指数分布．C、P{X=m}=μ(1一μ)mm—1，m=1，2，…D、X服从[0，μ]上均匀分布．标准答案：A知识点解析：若X～N(μ，σ2)，则EX=μ，μ的矩估计为，应选A．若X服从参数为μ的指数分布，则EX=；对于选项C，X服从参数为μ的几何分布，EX=，μ=2EX，于是μ的矩估计．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)6、设随机变量X1，X2，…，Xn，Y1，Y2，…，Yn相互独立，且Xi服从参数为λ的泊松分布，Yi服从参数为的指数分布，i=1，2，…，n，则当n充分大时，(Xi+Yi)近似服从___________分布，其分布参数为_________与__________．标准答案：正态，μ=E[(Xi+Yi)]=2nλ，D(Xi+Yi)=n(λ+λ2)知识点解析：X1+Y1，X2+Y2，…，Xn+Yn相互独立同分布．因EXi=DXi=λ，EYi=λ，DYi=λ2，故E(Xi+Yi)=2λ，D(Xi+Yi)=λ+λ2，当n充分大时，(Xi+Yi)近似服从正态分布，其分布参数μ=E[(Xi+Yi)]=2nλ，D(Xi+Yi)=n(λ+λ2)．7、假设随机变量X1，…，Xn相互独立，服从同参数λ的泊松分布．记Sn=Xi+n，当n充分大时，求Sn的近似分布．标准答案：由于Xi服从泊松分布，故EXi=DXi=λ，又因X1，…，Xn相互独立，所以根据独立同分布的列维．林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn一n近似服从正态分布N(nλ，nλ)，因此Sn近似服从正态分布N(nλ+n，nλ)．知识点解析：暂无解析8、假设排球运动员的平均身高(单位：厘米)为μ，标准差为4．求100名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(一1，1)内的概率．标准答案：设100名中第i名运动员身高为Xi，i=1，…，100，可以认为X1，X2，…，X100相互独立同分布，且EXi=μ，DXi=16，=0．16，应用独立同分布中心极限定理，近似服从正态分布N(μ，0．42)，于是≈2Ф(2．5)一1=0．9876．知识点解析：暂无解析9、一大袋麦种的发芽率为80％，从中任意取出500粒进行发芽试验，计算其发芽率的偏差不超过2％的概率．标准答案：设500粒麦种中发芽粒数为X，则X近似服从二项分布8(500，0．8)．由于n=500相当大，根据拉普拉斯中心极限定理X近似服从正态分布N(400，80)，于是有知识点解析：暂无解析10、有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的．规定选择正确得1分，选择错误得0分．假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过40分的概率．标准答案：设X表示100个题中他能选对的题数，则X服从二项分布B(100，0．25)，从而EX=25，DX=18．75．应用拉普拉斯中心极限定理，X近似服从正态分布N(25，18．75)，于是P{X＞40}=1—P{X≤40}=1—≈1一Ф(3．46)=0．0003．知识点解析：暂无解析11、设某种商品的合格率为90％，某单位要想给100名职工每人一件这种商品．试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以97．5％的概率保证每人都可以得到一件合格品?标准答案：设至少购买n件，n件中合格品数为X，易见X服从二项分布B(n，0．9)，且n≥100，根据拉普拉斯中心极限定理，X近似服从二项分布N(0．9n，0．09n)．依题意P{X≥100}=0．975，即0．975=P{X≥100}=．解方程=一1．96→n≈119．知识点解析：暂无解析12、设总体X服从参数为p的0—1分布，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的概率分布为________．标准答案：知识点解析：总体X的概率分布为，此概率分布也可以表示为于是样本X1，X2，…，Xn的概率分布为p(x1，x2，…，xn)=如果记xi，则样本X1，X2，…，Xn的概率分布为p(x1，x2，…，xn)=13、假设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，则统计量Y1=都服从___________分布，其分布参数分别为___________和___________．标准答案：t分布，2和n一1知识点解析：根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，Xn相互独立同服从分布N(0，1)，所以X1—X2与X32+X42相互独立，X1与Xi2也相互独立，且有X1一X1～N(0，2)，～N(0，1)，X32+X42～χ2(2)，Xi2～χ2(n一1)，即Y1与Y2都服从t分布，分布参数分别为2和n一1．14、设总体X服从正态分布N(0，σ2)，而X1，X2，…，X15是取自总体X的简单随机样本，则服从___________分布，分布参数为___________．标准答案：N(0，σ2)，f(10，5)知识点解析：根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，X15相互独立且都服从分布N(0，σ2)，所以X12+…+X12与X112+…+X152相互独立，由于～N(0，1)，因此(X12+…+X102)～χ2(10)，(X112+…+X152)～χ2(5)，15、设总体X与Y独立且都服从正态分布N(0，σ2)，已知X1，…，Xm与Y1，…，Xn是分别来自总体X与Y的简单随机样本，统计量T==___________．标准答案：知识点解析：依题意Xi～N(0，σ)，Yi～N(0，σ)且相互独立，所以U与V相互独立，由t分布典型模式知16、设X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，的数学期望为σ2，则a=___________，b=___________．标准答案：知识点解析：样本方差S2=由ES2=σ2可得a=．17、设总体X服从(a，b)上的均匀分布，X1，X2，…，Xn是取自X的简单随机样本，则未知参数a，b的矩估计量为=___________．标准答案：知识点解析：EX=σ2，解方程组三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，其均值和方差分别为与S2，且X～B(1，p)，0＜p＜1．18、试求：的概率分布；标准答案：由于X～B(1，p)，故X的概率分布为～B(n，p)．于是P{n=k}=Cnkpk(1一p)n—k，k=0，1，2，…，n，即P{}=Cikpk(1—p)n—k，k=0，1，2，…n．知识点解析：暂无解析19、证明：B=．标准答案：其中，因为Xi取值0或1，故Xi2=Xi．知识点解析：暂无解析20、设正态总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn为来自X的简单随机样本，求证：标准答案：根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，Xn相互独立与X同分布且与S2相互独立，于是又因～χ2(n—1)，且W与S2相互独立，所以知识点解析：暂无解析21、设X1，X2，…，X10是来自正态总体X～N(0，22)的简单随机样本，求常数a，b，c，d，使Q=aX2+b(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2+e(X7+X8+X9+X10)2服从χ2分布，并求自由度m．标准答案：由于Xi独立同分布，则有X1～N(0，4)，X2+X3～N(0，8)，X4+X5+X6～N(0，12)，X7+X8+X9+X10～N(0，16)．于是(X7+X8+X9+X10)相互独立都服从标准正态分布N(0，1)．由χ分布的典型模式可知(X4+X5+X6)2+(X7+X8+X9+X10)2～χ2(4)．所以，当a=时，Q服从自由度为4的χ2分布．知识点解析：暂无解析22、设总体X和Y相互独立，分别服从N(μ，σ12)，N(μ，σ22)．X1，X2，…，Xm和Y1，Y2，…，Yn是分别来自X和Y的简单随机样本，其样本均值分别为，样本方差分别为SX2，SY2．令Z=。求EZ．标准答案：由于与β也相互独立．因此．于是EZ==μ(Eα+Eβ)=μE(α+β)=μ．知识点解析：暂无解析已知X1，…，Xn是来自总体X容量为n的简单随机样本，其均值和方差分别为与S2．23、如果EX=μ，DX=σ2，试证明：Xi一(i≠j)的相关系数p=一；标准答案：由于总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明．因为X1，…，Xn相互独立且与总体X同分布，故EXi=μ，DXi=σ2，，知识点解析：暂无解析24、如果总体X服从正态分布N(0，σ2)，试证明：协方差Cov(X1，S2)=0．标准答案：由于总体X～N(0，σ2)，故EXi=0，DXi=σ2．故Cov(X1，S2)=0．知识点解析：暂无解析25、设X～N(μ，σ2)，从中抽取16个样本，S2为样本方差，μ，σ2未知，求P{≤2．039}．标准答案：查χ2分布的上分位数表，得知P{χ2(15)≥30．58}=o．01，因此P{≤30．585}=o．99，即P{≤2．039}=0．99．知识点解析：暂无解析26、设总体X～N(μ，σ2)，Y1，Y2，…，Yn(n=16)是来自X的简单随机样本，求下列概率：(Ⅰ)P{(Xi一μ)2≤2σ2}；(Ⅱ)P{≤2σ2}．标准答案：(Ⅰ)P{8≤χ2(16)≤32}=P{χ2(16)≥8}一P{χ2(16)＞32}=0．95—0．01=O．94．(Ⅱ)P{8≤χ2(15)≤32}=P{χ2(15)≥8}一P{χ2(15)＞32}≈0．90—0．005=0．895．知识点解析：暂无解析27、设X和Y都是来自正态总体N(μ，σ2)的容量为n的两个相互独立的样本均值，试确定n，使得两个样本均值之差的绝对值超过σ的概率大约为0．01．标准答案：由于相互独立，则查标准正态分布表，得=2．58，n=13．3．因此n至少应为14．知识点解析：暂无解析28、设总体X的概率分布为，其中p(0＜p＜1)是未知参数，又设x1，x2，…，xn是总体X的一组样本观测值．试求参数p的矩估计量和最大似然估计量．标准答案：矩估计=p，故p的矩估计量．最大似然估计：似然函数，知识点解析：由题设知，E(X)=p，xi，不难求出矩估计．对最大似然估计，关键是写出似然函数．由于xi取自总体xi故xi不是取0就是取1．因此，Xi的分布可表示成．29、设总体X的概率密度为f(x；α，β)=其中α和β是未知参数，利用总体X的如下样本值一0．5，0．3，一0．2，一0．6，一0．1，0．4，0．5，一0．8，求α的矩估计值和最大似然估计值．标准答案：由f(x；α，β)≥0和∫-∞+∞f(x；α，β)dx=1，得到α≥0，β≥0且α+β=1．于是(Ⅰ)求矩估计值．由于E(x)=∫-10αxdx+∫01(1—α)xdx=，(Ⅱ)求最大似然估计值．由于在给定的8个样本值中，属(一1，0)的有5个，属[0，1)的有3个，故似然函数为L(α)=(xi；α5(1一α)3，lnL(α)=5lnα+3ln(1一α)，令=0，解得α的最大似然估计值(显然这时L(α)最大)．知识点解析：暂无解析30、已知总体X服从瑞利分布，其密度函数为X1，…，Xn为取自总体X的简单随机样本，求θ的矩估计量．标准答案：记EX=μ，DX=σ2，则由等式μ=，因此参数θ的矩估计量为Xi．由于样本均值与总体X的期望相等，因此σ2，知识点解析：暂无解析31、接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行n(n≥1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为k1，k2，…，kn，试求命中率p的最大似然估计值和矩估计值．标准答案：依题意，总体X服从参数为p的几何分布，即P{X=k}=p(1一p)k—1，k=1，2，…，由于EX=．样本(k1，k2，…，kn)的似然函数L为L(k1，k2，…，kn；p)=P{X1=k1，X2=k2，…，Xn=kn}知识点解析：暂无解析32、设X服从[a，b]上的均匀分布，X1，…，Xn为简单随机样本，求a，b的最大似然估计量．标准答案：设X的样本观测值为x1，…，xn，则似然函数显然()n＞0，且b一a越小L值越大，但是{b≥xi，i=1，…，n}={b≥max(xi，…，xn)}，同理{a≤xi，i=1，…，n}={a≤(xi，…，xn)}，所以只有当b=max{xi}，a={xi}时，L才达到最大值，故a，b的最大似然估计值分别为{xi}，从而可知其最大似然估计量分别是．{Xi}．知识点解析：暂无解析33、已知总体X的密度函数为其中θ，β为未知参数，X1，…，Xn为简单随机样本，求θ和β的矩估计量．标准答案：于是有=μ—σ，盯由于μ，σ，σ2的矩估计分别为因此θ与β的矩估计量分别为知识点解析：暂无解析34、设总体X服从韦布尔分布，密度函数为其中α＞0为已知，θ＞0是未知参数，试根据来自X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，求θ的最大似然估计量．标准答案：设x1，x2，…，xn是样本X1，…，Xn的观测值，当x1＞0(i=1，2，…，n)时其似然函数为因此θ的最大似然估计值为．知识点解析：暂无解析35、设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从指数分布，概率密度为f(t)=，其中λ＞0未知．现从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预定时T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效，试求λ的最大似然估计．标准答案：考虑事件A：“试验直至时间T0为止，有k只器件失效，而有n一k只未失效”的概率．记T的分布函数为F(t)，即有一只器件在t=0时投入试验，则在时间T0以前失效的概率为P{T≤T0}=F(T0)=1一；而在时间T0未失效的概率为P{T＞T0}=1一F(T0)=．由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件A的概率为L(A)=Cnk(1一)n—k，这就是所求的似然函数．取对数得lnL(λ)=lnCnk+kln(1一)+(n一k)(一λT0)，令．于是A的最大似然估计为．知识点解析：暂无解析36、设有一批同型号产品，其次品率记为p．现有五位检验员分别从中随机抽取n件产品，检测后的次品数分别为1，2，2，3，2．(Ⅰ)若已知p=2．5％，求n的矩估计值；(Ⅱ)若已知n=100，求p的极大似然估计值；(Ⅲ)在情况(Ⅱ)下，检验员从该批产品中再随机检测100个产品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于3的概率(注：Ф()=0．76)．标准答案：记X为n件产品中的次品数，则X～B(n，p)．(Ⅰ)由=80．(Ⅱ)L==C1001(C1002)3C100310(1一p)490，lnL=ln[C1001(C1002)C1003]+10lnp+490ln(1一p)，令．(Ⅲ)在情况(Ⅱ)下，X～B(100，)，由中心极限定理知X近