考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷1（共146题）

考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷1（共5套）（共146题）考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、设A和B为任意二不相容事件，且P(A)P(B)＞0，则必有A、不相容．B、相容．C、D、标准答案：C知识点解析：因为故应选(C)．2、设A1，A2和B是任意事件，且0＜P(B)＜1，P((A1∪A2)｜B)=P(A1｜B)+P(A2｜B)，则A、P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)．B、P(A1∪A2)=P(A1｜B)+P(A2｜B)．C、P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)．D、标准答案：B知识点解析：由条件知，P(A1A2｜B)=0，但是这不能保证P(A1A2)=0和，故(A)和(D)不成立．由于P(A1｜B)+P(A2｜B)=P((A1∪A2)｜B)未必等于P(A1∪A2)，因此(B)一般也不成立．由P(B)＞0及P((A1∪A2)｜B)=P(A1｜B)+P(A2｜B)，可见选项(C)成立.3、设随机事件A与B互不相容，0＜P(A)＜1，则下列结论中一定成立的是A、A∪B=Ω．B、C、A=B．D、标准答案：B知识点解析：因AB=φ，所以A∪B=AB=Ω，应选(B)．4、下列事件中与A互不相容的事件是A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：由于，不可能事件φ与任何一个事件A都互不相容，即Aφ=φ，而综上分析，应选(D)．5、设随机事件A与B为对立事件，0＜P(A)＜1，则一定有A、0＜P(A∪B)＜1．B、0＜P(B)＜1．C、0＜P(AB)＜1．D、标准答案：B知识点解析：因A、B为对立事件，即A∪B=φ，AB=φ，，所以P(AB)=0，，且P(A)+P(B)=P(A∪B)=1．因此(A)，(C)，(D)均不成立，应选(B)．6、已知事件A发生必导致B发生，且0＜P(B)＜1，则A、0．B、C、D、1标准答案：A知识点解析：由题设知，故选(A)7、在最简单的全概率公式中，要求事件A与B必须满足的条件是A、0＜P(A)＜1，B为任意随机事件．B、A与B为互不相容事件．C、A与B为对立事件．D、A与B为相互独立事件．标准答案：A知识点解析：由于．应选(A)．8、在全概率公式中，除了要求条件B是任意随机事件及P(Ai)＞0(i=1，2，…，n)之外，我们可以将其他条件改为A、A1，…，An两两独立，但不相互独立．B、A1，…，An相互独立．C、A1，…，An两两互不相容．D、A1，…，An两两互不相容，其和包含事件B，即标准答案：D知识点解析：若A1，…，An两两互不相容，则A1B，…，AnB亦两两互不相容，且因，故P(B)=应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即应选(D)．9、同时抛掷三枚匀称的硬币，正面与反面都出现的概率为A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：设Bk表示三枚中出现的正面硬币个数，k=0，1，2，3，P．(A)为所求概率，依题意应选(D)．10、将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是A、A与B独立．B、B与C独立．C、A与C独立．D、B∪C与A独立．标准答案：B知识点解析：试验的样本空间有8个样本点，即Ω={(正，正，正)，(正，反，反)，…，(反，反，反)}．显然B与C为对立事件，且依古典型概率公式有由于即P(AB)=P(A)P(B)．因此A与B独立，类似地A与C也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此B∪C与A也独立，用排除法应选(B)．或直接计算，因此B与C不独立，亦应选(B)．11、A，B，C三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件A、A，B，C两两独立．B、P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．C、P(A一B)=1．D、P(A一B)=0．标准答案：C知识点解析：由三个事件相互独立的条件可知，(A)与(B)显然不对．由以上1)，2)，3)可知A，B，C两两独立．4)由P(ABC)≤P(B)=0→P(ABC)=0=P(A)P(B)P(C)．由以上可知，A，B，C满足四个等式，故选(C)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)12、两人相约于晚7点到8点间在某处会面，到达者等足20分钟便立即离去．设两人的到达时刻在7点到8点间都是随机且等可能的，则两人能会面的概率p=____________．标准答案：5／9知识点解析：以x，y分别表示两人到达时刻在7点后的分钟数，记事件A表示“两人能会面”，如图1．1所示，则Ω={(x，y)｜0＜x＜60，0＜y＜60}，A={(x，y)｜｜x一y｜≤20，(x，y)∈Ω}，故P=P(A)=1—402／602=5／9．13、设随机事件A，B及A∪B的概率分别为0．4，0．3和0．6，则=____________．标准答案：0.3知识点解析：14、口袋内有四个同样的球，分别标有号码1，2，3，4．每次从中任取一个球(每次取后放回去)，连续两次．如果第i次取到球上的编号记为ai，i=1，2，记事件A表示事件“a12≥4a2”，则该试验的样本空间Ω=____________；事件A=____________；概率P(A)=____________．标准答案：知识点解析：15、设事件A发生的概率是事件B发生概率的3倍，A与B都不发生的概率是A与B同时发生概率的2倍，若，则P(A一B)=____________．标准答案：知识点解析：16、设事件A与B相互独立，已知它们都不发生的概率为0．16，又知A发生B不发生的概率与B发生，4不发生的概率相等，则A与B都发生的概率是____________．标准答案：0.36知识点解析：17、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球与1个白球，第二个箱中有3个黑球与3个白球，第三个箱中有3个黑球与5个白球．现随机地选取一个箱子从中任取1个球，则这个球为白球的概率是____________；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是____________．标准答案：P(B)；知识点解析：设事件Ai=“取到第i箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，易见A1，A2，A3是一完备事件组，第一空应填P(B)，第二空为P(A2｜B)，依题意，有应用全概率公式与贝叶斯公式三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、铁路一编组站随机地编组发往三个不同地区E1，E2和E3的各2节、3节和4节车皮，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率p．标准答案：设事件A={发往同一地区的车皮恰好相邻}，Bi={发往Ei的车皮相邻}(i=1，2，3)，将发往E1，E2和E3三个不同地区的车皮统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻，总共有3!=6种不同情形，其中每种情形对应B1，B2和B3的一种排列．6种不同情形都是等可能的，如B1B2B3是其中一种可能的情形，即“发往E1的2节车皮编在最前面，发往E2的3节车皮编在中间，发往E3的4节车皮编在最后面”．由古典型概率的计算公式，有知识点解析：暂无解析19、将长为L的棒随机折成三段，求这三段能构成三角形的概率．标准答案：设事件A表示“三段构成三角形”，且第一、二段的长分别为x与y，则第三段的长为L一x一y，且Ω={(x，y)｜0＜x，y，x+y＜L}．欲使三段构成三角形，则任意两段之和必须大于第三段，即x+y＞L一x—y，x+L一x—y＞y，y+L一x一y＞x，Ω为等腰直角三角形，直角边长为L，A为图1．2阴影部分，由几何概率定义得知识点解析：暂无解析20、假设从单位正方形区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}中随机地选取一点，以该点的两个坐标x与y作为直角三角形的两条直角边，求该直角三角形的面积大于的概率P．标准答案：设事件A=“直角三角形面积大于”依题意，事件A所在区域如图1．3，则应用几何型概率公式知识点解析：暂无解析21、假设随机事件A与B相互独立，求a的值．标准答案：从应用广义加法公式知识点解析：暂无解析22、一个班内有20位同学都想去参观一个展览会，但只有3张参观票，大家同意通过这20位同学抽签决定3张票的归属．计算下列事件的概率：(I)“第二人抽到票”的概率p1；(Ⅱ)“第二人才抽到票”的概率p2；(Ⅲ)“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”的概率p3；(Ⅳ)“前两人中至少有一人抽到票”的概率p4．标准答案：设事件Ai=“第i人抽到票”，i=1，2．(I)如果是填空题，可以根据抽签公平性原理得知中签率应与抽签次序无关．直接填写p1=P(A2)=作为计算题，应写出解题步骤．根据全概率公式(Ⅱ)事件“第二人才抽到票”表示“第一人未抽到票、但第二人抽到了票”，根据乘法公式(Ⅲ)“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”表示已知事件A1发生，再考虑事件A2出现．(Ⅳ)根据加法公式与乘法公式p4=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)一P(A1A2)=P(A1)+P(A2)一P(A1)P(A2｜A1)=．知识点解析：暂无解析23、甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，现从甲袋中任取2球放入乙球，再从乙袋中取一球，求取出球是白球的概率p；如果已知从乙袋中取出的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率q．标准答案：记A=“从乙袋中取出一球为白球”，试验理解为：一次从甲袋中取出两球，记Bi=“从甲袋中取出的2球中恰有i个白球”，i=0，1，2，则B0，B1，B2是一完备事件组，A=AB0∪AB1∪／AB2，由全概率公式知识点解析：暂无解析24、三人独立地同时破译一个密码，他们每人能够译出的概率分别为求此密码能被译出的概率p．标准答案：设事件A、B、C分别表示三人各自能够译出密码，依题意A、B、C相互独立，且知识点解析：暂无解析25、甲盒内有3个白球与2个黑球，从中任取3个球放入空盒乙中，然后从乙盒内任取2个球放入空盒丙中，最后从丙盒内再任取1个球，试求：(I)从丙盒内取出的是白球的概率；(Ⅱ)若从丙盒内取到白球，当初从甲盒内取到3个白球的概率．标准答案：(I)依题意，有应用全概率公式知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A、有相同的期望．B、有相同的方差．C、有相同的分布．D、服从同参数p的0—1分布．标准答案：D知识点解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立的条件之外，还要求X1，X2，…，Xn，…同分布与期望存在，只有选项(D)同时满足后面的两个条件，应选(D)．2、设随机变量X1，…，Xn，…相互独立，记Yn=X2n一X2n-1(n≥1)，根据大数定律，当n→∞时依概率收敛到零，只要{Xn，n≥1}A、数学期望存在．B、有相同的数学期望与方差．C、服从同一离散型分布．D、服从同一连续型分布．标准答案：B知识点解析：由于Xn相互独立，所以Yn相互独立．选项(A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B)．事实上，若EXn=μ，DXn=σ2存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意ε＞0有即依概率收敛到零．3、设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，则当n→∞时以φ(x)为极限的是A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：由于X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，其期望和方差都存在，且．以φ(x)为极限，故应选(C)．4、设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，EXi=μi，DXi=2，i=1，2，…，令p=P{｜Yn＜p}，则A、{Xn：n=1，2，…}满足辛钦大数定律．B、{Xn：n=1，2，…}满足切比雪夫大数定律．C、p可以用列维一林德伯格定理近似计算．D、p可以用拉普拉斯定理近似计算．标准答案：B知识点解析：由于X1，X2，…相互独立，其期望、方差都存在，且对所有i=1，2，…，DYi=2＜l(l＞2)，因此{Xn：n=1，2，…}满足切比雪夫大数定律，应选(B)．5、设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，X与S2分别是样本均值与样本方差，则A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：根据正态总体抽样分布公式知应选(D)．6、设X1，…，Xn，Xn+1，…，x2n，X2n+1，…，X3n是取自正态分布总体N(μ，σ2)的一个简单随机样本(n≥2)，记则一定有A、B、Si2～χ2(n—1)．C、D、标准答案：D知识点解析：由于Xi与Si2分别是取自正态总体N(μ，σ2)的一个容量为n的简单随机样本，根据正态总体的抽样分布知，对i=1，2，3，有因此选项(A)、(B)、(C)均不成立，应选(D)．7、设X1，X2，…，Xn是取自总体x的一个简单随机样本，DX=σ2，是样本均值，则下列估计量的期望为σ2的是A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：应选(C)．8、设X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，记则A、ES=σ．B、ES2=σ2．C、D、标准答案：B知识点解析：从上题知ES2=σ2，应选(B)．进一步分析9、设是从总体X中取出的简单随机样本X1，…，Xn的样本均值，则是μ的矩估计，如果A、X～N(μ，σ2)．B、X服从参数为μ的指数分布．C、P{x=m}=μ(1一μ)m-1，m=1，2，…D、X服从[0，μ]上均匀分布．标准答案：A知识点解析：若X～N(μ，σ2)，则EX=μ，μ的矩估计为μ=X，应选(A)．若X服从参数为μ的指数分布，则μ的矩估计对于选项(C)，X服从参数为μ的几何分布，，μ的矩估计；对选项(D)，于是μ的矩估计二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)10、设随机变量X1，X2，…，Xn，Y1，Y2，…，Yn相互独立，且Xi服从参数为λ的泊松分布，Yi服从参数为的指数分布，i=1，2，…，n，则当n充分大时，近似服从__________分布，其分布参数为_____________与__________．标准答案：正态;知识点解析：X1+Y1，X2+Y2，…，Xn+Yn相互独立同分布．因EXi=DXi=λ，EYi=λ，DYi=λ2，故E(Xi+Yi)=2λ，D(Xi+Yi)=λ+λ2，当n充分大时，近似服从正态分布，其分布参数11、设总体X服从参数为p的0一1分布，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的概率分布为_____________。标准答案：知识点解析：总体X的概率分布为，此概率分布也可以表示为1于是样本X1，X2，…，Xn的概率分布为如果记则样本X1，X2，…，Xn的概率分布为12、假设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，则统计量Y1=都服从__________分布，其分布参数分别为_____________和___________．标准答案：服从分布N(0，1)；2和n一1知识点解析：根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，Xn相互独立同服从分布N(0，1)，所以X1一X2与X32+X42相互独立，X1与也相互独立，且有即Y1与Y2都服从t分布，分布参数分别为2和n一1．13、设总体X服从正态分布N(0，σ2)，而X1，X2，…，X15是取自总体X的简单随机样本，则服从____________分布，分布参数为___________．标准答案：服从分布N(0，σ2)；知识点解析：根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，X15相互独立且都服从分布N(0，σ2)，所以X12+…+X102与X112+…+X152相互独立，由于，因此14、设总体X与Y独立且都服从正态分布N(0，σ2)，已知X1，…，Xm与Y1，…，Yn是分别来自总体X与Y的简单随机样本，统计量服从t(n)分布，则=_____________。标准答案：知识点解析：依题意Xi～X(0，σ2)，Yi～N(0,σ2)且相互独立，所以U与V相互独立，由t分布典型模式知15、设X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本的数学期望为σ2，则a=_________，b=_______________.标准答案：知识点解析：样本方差由ES2=σ2可得16、设总体X服从(a，b)上的均匀分布，X1，X2，…，Xn是取自X的简单随机样本，则未知参数a，b的矩估计量为=___________，=__________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)17、假设随机变量X1，…，Xn相互独立，服从同参数λ的泊松分布．记当，2充分大时，求Sn的近似分布．标准答案：由于Xi服从泊松分布，故EXi=DXi=λ，又因X1，…，Xn相互独立，所以根据独立同分布的列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn一n近似服从正态分布N(nλ，nλ)，因此Sn近似服从正态分布N(nλ+n，nλ)．知识点解析：暂无解析18、假设排球运动员的平均身高(单位：厘米)为μ，标准差为4．求100名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(一1，1)内的概率．标准答案：设100名中第i名运动员身高为Xi,i=1，…，100，可以认为X1，X2，…，X100相互独立同分布，且，应用独立同分布中心极限定理，X近似服从正态分布N(μ，0．42)，于是知识点解析：暂无解析19、一大袋麦种的发芽率为80％，从中任意取出500粒进行发芽试验，计算其发芽率的偏差不超过2％的概率．标准答案：设500粒麦种中发芽粒数为X，则X近似服从二项分布B(500，0．8)．由于n=500相当大，根据拉普拉斯中心极限定理X近似服从正态分布N(400，80)，于是有知识点解析：暂无解析20、有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的．规定选择正确得1分，选择错误得0分．假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过40分的概率．标准答案：设X表示100个题中他能选对的题数，则X服从二项分布B(100，0．25)，从而EX=25，DX=18．75，应用拉普拉斯中心极限定理，X近似服从正态分布N(25，18．75)，于是知识点解析：暂无解析21、设某种商品的合格率为90％，某单位要想给100名职工每人一件这种商品．试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以97．5％的概率保证每人都可以得到一件合格品?标准答案：设至少购买n件，n件中合格品数为X，易见X服从二项分布B(n，0．9)，且n≥100，根据拉普拉斯中心极限定理，X近似服从二项分布N(0．9n，0．09n)．依题意知识点解析：暂无解析22、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，其均值和方差分别为X与S2，且X～B(1，p)，0＜P＜1．(I)试求：X的概率分布；(Ⅱ)证明：标准答案：(I)由于X～B(1，P)，故X的概率分布为其中，因为Xi取值0或1，故Xi2=Xi．知识点解析：暂无解析23、设正态总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn为来自X的简单随机样本，求证：标准答案：根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，Xn相互独立与X同分布且与S2相互独立，于是知识点解析：暂无解析24、设X1，X2，…，X10是来自正态总体X～N(0，22)的简单随机样本，求常数a，b，c，d，使Q=aX1+6(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2+d(X7+X8+X9+X10)2服从χ2分布，并求自由度m．标准答案：由于Xi独立同分布，则有X1～N(0，4)，X2+X3～N(0，8)，X4+X5+X6～N(0，12)，X7+X8+X9+X10～N(0，16)．于是相互独立都服从标准正态分布N(0，1)．由χ2分布的典型模式可知所以，当时，Q服从自由度为4的χ2分布．知识点解析：暂无解析25、设总体X和y相互独立，分别服从N(μ，σ12)，N(μ，σ22)．X1，X2，…，Xm和Y1，Y2，…，Yn是分别来自X和Y的简单随机样本，其样本均值分别为，样本方差分别为SX2，SY2．令求EZ．标准答案：由于．SX2，SY2相互独立，所以即Y与β也相互独立．因此知识点解析：暂无解析已知X1，…，Xn是来自总体X容量为n的简单随机样本，其均值和方差分别为与S2．26、如果EX=μ，DX=σ2，试证明：的相关系数标准答案：由于总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明．因为X1，…，Xn相互独立且与总体X同分布，故知识点解析：暂无解析27、如果总体X服从正态分布N(0，σ2)，试证明：协方差Cov(X1，S2)=0．标准答案：由于总体X一N(0，σ2)，故EXi=0，DXi=σ2．知识点解析：暂无解析28、设X～N(μ，σ2)，从中抽取16个样本，S2为样本方差，μ，σ2未知，求标准答案：知识点解析：暂无解析29、设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn(n=16)是来自X的简单随机样本，求下列概率：标准答案：知识点解析：暂无解析30、设456都是来自正态总体N(μ，σ2)的容量为n的两个相互独立的样本均值，试确定n，使得两个样本均值之差的绝对值超过σ的概率大约为0．01．标准答案：知识点解析：暂无解析31、设总体X的概率分布为其中p(0＜p＜1)是未知参数，又设x1，x2，…，xn是总体X的一组样本观测值．试求参数p的矩估计量和最大似然估计量．标准答案：矩估计，故的矩估计量．最大似然估计：似然函数知识点解析：暂无解析32、设总体X的概率密度为其中α和β是未知参数，利用总体X的如下样本值一0．5，0．3，一0．2，一0．6，一0．1，0．4，0．5，一0．8，求α的矩估计值和最大似然估计值．标准答案：由f(x；α，β)≥0和∫-∞+∞(x；α，β)dx=1，得到α≥0，β≥0且α+β=1．于是(Ⅱ)求最大似然估计值α2．由于在给定的8个样本值中，属(一1，0)的有5个，属[0，1)的有3个，故似然函数为知识点解析：暂无解析33、已知总体X服从瑞利分布，其密度函数为X1，…，Xn为取自总体X的简单随机样本，求θ的矩估计量并计算．标准答案：记EX=μ，DX=σ2，则知识点解析：暂无解析34、接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行n(n≥1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为k1，k2，…，kn，试求命中率p的最大似然估计值和矩估计值．标准答案：依题意，总体X服从参数为P的几何分布，即P{X=k}=p(1一p)k-1，k=1，2，…，由于，所以P的矩估计值样本(k1，k2，…，kn)的似然函数L为L(k1，k2，…，kn；p)=P{X1=k1，X2=k2，…，Xn=kn}知识点解析：暂无解析35、设X服从[a，b]上的均匀分布，X1，…，Xn为简单随机样本，求a，b的最大似然估计量．标准答案：设X的样本观测值为x1，…，xn，则似然函数显然且b一a越小L值越大，但是{b≥xi，i=1，…，n}={b≥max(xi，…，xn)}，同理{a≤xi，i=1，…，a}={a≤min(xi一，xn)}，所以只有当b=max{xi}，a=min{xi}时，L才达到最大值，故a，b的最大似然估计值分别为b=max{xi}，a=min{xi}，从而可知其最大似然估计量分别是a=min{Xi}，6=max{Xi}．知识点解析：暂无解析36、已知总体X的密度函数为其中θ，β为未知参数，X1，…，Xn为简单随机样本，求θ和β的矩估计量．标准答案：知识点解析：暂无解析37、设总体X服从韦布尔分布，密度函数为其中α＞0为已知，θ＞0是未知参数，试根据来自X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，求θ的最大似然估计量．标准答案：设x1,x2，…,xn是样本X1，…，Xn的观测值，当xi＞0(i=1，2，…，n)时其似然函数为知识点解析：暂无解析38、设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从指数分布，概率密度为其中λ＞0未知．现从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效，试求λ的最大似然估计．标准答案：考虑事件A：“试验直至时间T0为止，有k只器件失效，而有n一k只未失效”的概率．记T的分布函数为F(t)，即有一只器件在t=0时投入试验，则在时间T0以前失效的概率为P{T≤T0}=F(T0)=1一e-λT0；而在时间T0未失效的概率为P{T＞T0}=1—F(T0)=e-λT0．由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件A的概率为L(λ)=Cn(1一e-λT0)k(e-λT0)n-k，这就是所求的似然函数．取对数得lnL(λ)=lnCnk+kln(1一e-λT0)+(n一k)(一λT0)，于是A的最大似然估计为知识点解析：暂无解析39、设有一批同型号产品，其次品率记为p．现有五位检验员分别从中随机抽取n件产品，检测后的次品数分别为1，2，2，3，2．(I)若已知p=2．5％，求n的矩估计值；(Ⅱ)若已知n=100，求p的极大似然估计值；(Ⅲ)在情况(Ⅱ)下，检验员从该批产品中再随机检测100个产品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于3的概率标准答案：记X为n件产品中的次品数，则X～B(n，p).知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设随机变量X的分布函数则P{X=l}=A、0．B、C、D、1一e-1．标准答案：C知识点解析：由P{X=x}=F(x)一F(x一0)，可知故应选(C)．2、设离散型随机变量X的概率分布为P{x=i}=cpi，i=1，2，…，其中c＞0是常数，则A、B、C、p=c+1．D、0＜p＜1的任意实数．标准答案：B知识点解析：根据概率分布的性质，有cpi≥0(i=1，2，…)，且3、假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{x，2}的分布函数A、是连续函数．B、至少有两个间断点．C、是阶梯函数．D、恰好有一个间断点．标准答案：D知识点解析：由于所以Y的分布函数计算得知Fy(y)只在y=2处有一个间断点，应选(D)．4、设f(x)是连续型随机变量X的概率密度，则f(x)一定是A、可积函数．B、单调函数．C、连续函数．D、可导函数．标准答案：A知识点解析：根据概率密度的定义，f(x)满足对任何实数x，F(x)=P{x≤x}=∫-∞xf(t)dt，因此f(x)一定是可积函数，但是f(x)可以是分段函数，比如：[a，b]上的均匀分布随机变量X属连续型，而其概率密度f(x)在(一∞，+∞)内不是单调函数，且在x=a，b两点不连续，当然亦不可导，因此不能选(B)、(C)、(D)，应选(A)．5、设随机变量X的概率分布为则常数a=A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：由泊松分布知，当a(e+1)=1即时，X～P(1)，故应选(B)．6、设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则随σ的增大，概率P{｜X一μ｜＜σ}应该A、单调增大．B、单调减少．C、保持不变．D、增减不定．标准答案：C知识点解析：若X～N(μ，σ2)，则，因此该概率值与σ无关，应选(C)．7、设随机变量X服从正态分布N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记p1=P{X≤μ一4}，p2=P{Y≥μ+5}，则A、p1=p2．B、p1＞p2．C、p1＜p2．D、因μ未知，无法比较p1与p2的大小．标准答案：A知识点解析：计算得知P1=P2，应选(A)．8、设随机变量X的密度函数为fX(x)，Y=一2X+3，则Y的密度函数为A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：y=一2x+3是x的单调可导函数，其反函数根据随机变量函数的公式(2．16)，应选(B)．9、设F1(x)与F2(x)分别是随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x)=aF1(x)一bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：对任何x，为保证F(x)≥0，a与一b均应大于0，又F(+∞)=aF1(+∞)一bF2(+∞)=a一b=1，应选(A)．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、设离散型随机变量X的概率函数为P{X=i}=pi+1，i=0，1，则p=__________．标准答案：知识点解析：由于P{X=0}+P{X=1}=P+P2=1，所以P2+P一1=0．解得11、设离散型随机变量X的分布函数则随机变量的分布函数为__________．标准答案：知识点解析：由于分布函数F(x)只在x=一1，0，1处有3个间断点，因此离散型随机变量x与｜X｜的概率分布分别为12、假设X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而Y=1—X．已知P{X≤0．29}=0．75，则满足P{Y≤k}=0．25的常数k=__________．标准答案：0．71知识点解析：由于P{y≤k}=P{1一X≤k}=P{X≥1一k}=1一P{X＜1一k}=0．25，可见P{X＜1一k}=1—0．25=0．75．由P{X≤0．29}=0．75，得1一k=0．29，k=0．71．13、设f(x)=ke-x2+2x-3(一∞＜x＜∞)是一概率密度，则k=__________．标准答案：知识点解析：将f(x)=ke-x2+2x-3作变换，得将其与正态分布N(1，1／2)的密度比较，可得14、设随机变量X的概率密度为若k满足概率等式则k的取值范围是__________．标准答案：[1，3]知识点解析：当x＜0时，P{X＜x}=0，P{X≥x}=1；15、设随机变量X服从正态分布N(μ，1)，已知P{x≤3}=0．975，则P{X≤一0．92}=__________．标准答案：0．025知识点解析：由可知3一μ=1．96，μ=1．04．于是P{X≤一0．92}=φ(一0．92一μ)=φ(一1．96)=0．025．16、设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，且二次方程y2+4y+x=0无实根的概率为0．5，则μ=__________。标准答案：μ=4知识点解析：设事件A表示方程y2+4y+X=0无实根，依题意即，可知4一μ=0，μ=4．17、设F(x)是连续型随机变量X的分布函数，常数a＞0，则∫-∞+∞[F(x+a)一F(x)]dx=____________．标准答案：a知识点解析：三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)18、袋中装有大小相同的10只球，编号为0，1，2，…，9．从中任取一只，观察其号码，按“大于5”，“等于5”，“小于5”三种情况定义一个随机变量X，并写出X的分布律和分布函数．标准答案：设随机变量Y表示从10个球中任取一只，其球上的号码数，令则有P{Y=i}=0．1，i=0，1，…，9，P{X=0}=0．5，P{X=1}=0．1，P{X=2}=0．4．于是X的分布函数为知识点解析：暂无解析19、设随机变量X在(0，1)上服从均匀分布，现有一常数a，任取X的四个值，已知至少有一个大于a的概率为0．9，问a是多少?标准答案：依题意0＜a＜1且P{X＞a}=1—a，P{X≤a}=a，且a4=1—0．9=0．1，知识点解析：暂无解析20、将三封信随机地投入编号为1，2，3，4的四个邮箱，求没有信的邮箱数X的概率函数．标准答案：易见X是离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，则相应概率分别为知识点解析：暂无解析21、向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间(一∞，0]，(0，1]和(1，+∞)的概率分别为0．2，0．5和0．3，并且随机点在区间(0，1]上分布均匀．设随机点落入(一∞，0]得0分，落入(1，+∞)得1分，而落入(0，1]坐标为x的点得x分．试求得分x的分布函数F(x)．标准答案：以H1，H2，H3分别表示事件：随机点落入(一∞，0]，(0，1]和(1，+∞)，它们构成完备事件组．由条件知P(H1)=0．2，P(H2)=0．5，P(H3)=0．3．易见于是，由全概率公式即得知识点解析：暂无解析22、设随机变量X服从[a，a+2]上的均匀分布，对X进行3次独立观测，求最多有一次观测值小于a+1的概率．标准答案：设Y表示对X进行3次独立观测，其观测值小于a+1的次数，p=P{X＜a+1}=0．5，则Y～B(3，0．5)．所求概率为P{Y=0}+P{Y=1}=0．53+C310．5×0．52=0．5．知识点解析：暂无解析23、设某一设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率分别为0．1，0．2，0．3，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数X的分布函数．标准答案：X只取0，1，2，3各值，为计算概率P{X=i}，i=0，1，2，3，设Ai={第i个部件需要调整}，i=1，2，3．依题意，A1，A2，A3相互独立，且P(A1)=0．1，P(A2)=0．2，P(A3)=0．3．于是X的分布函数F(x)为知识点解析：显然X是离散型随机变量，为求X的分布函数F(x)，我们应首先求出X的分布律，即X的所有可能取值与相应概率．24、设随机变量X服从(0，1)上的均匀分布，求下列函数的密度函数：(I)Y1=eX；(Ⅱ)Y2=一2lnX；(Ⅲ)(Ⅳ)Y4=X2．标准答案：依题意，X的概率密度为(I)y=ex在(0，1)内是x的单调可导函数，其反函数x=h(y)=lny的定义域为(1，e)，用公式(2．16)即得Y的概率密度为(11)y=一2lnx在(0，1)内单调可导，其反函数的定义域为(0，+∞)，h’(y)=根据公式(2．16)，Y3的概率密度为(Ⅲ)在(0，1)内单调可导，其反函数的定义域为(1，+∞)，当y＞1时，其导数应用公式(2．16)，Y3的概率密度为(IV)y=x2在(0，1)内单调可导，其反函数的定义域亦为(0，1)，且h’(y)=应用公式(2．16)，Y4的概率密度为知识点解析：暂无解析25、设f(x)是非负随机变量的概率密度，求的概率密度．标准答案：由于X是只取非负值的随机变量，所以在(0，+∞)内是x的单调可导函数，其反函数x=h(y)=y2的定义域为(0，+∞)，h’(y)=2y≠0，根据公式(2．16)，的概率密度fY(y)为知识点解析：暂无解析26、设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，令Y=｜X｜，求Y的概率密度．标准答案：当y＜0时，P{Y≤y}=0；当y≥0时，P{Y≤y}=P{｜X｜≤y}=P{一y≤X≤y}=φ(y)一φ(一y)．于是Y的分布函数FY(y)为当Y≥0时，FY’(y)=φ(y)+φ(一y)=2φ(y)．y的概率密度fY(y)为知识点解析：暂无解析27、某个人参加跳高项目的及格选拔赛，规定一旦跳过指定高度就被认为及格而被入选，但是限制每人最多只能跳6次．若6次均未过竿，则认定其为落选．如果一位参试者在该指定高度的过竿率为0．6，求他在测试中所跳次数的概率分布．标准答案：设该人在选拔赛中跳的次数为X，显然X是一个离散型随机变量，其全部可能取值为1，2，3，4，5，6，由于各次跳跃过竿与否互不影响，因此有即X的概率分布为知识点解析：暂无解析28、设随机变量X服从参数为λ的指数分布，G(x)是区间[0，1]上均匀分布的分布函数，证明随机变量Y=G(X)的概率分布不是区间[0，1]上的均匀分布．标准答案：指数分布的分布函数与区间[0，1]上均匀分布的分布函数分别为设Y=G(X)的分布函数为H(X)，对于分布函数G(x)易见，当y＜0时，H(y)=P{Y≤y}=P{G(X)≤y}=0；当y≥1时，H(y)=P{y≤y}=P{G(x)≤y}=1；当0≤y＜1时，H(y)=P{Y≤y=P{G(X)≤y}=P{X≤y}=1一e-λy．于是Y=G(X)的分布函数因此，Y=G(X)的分布函数不是区间[0，1]上的均匀分布函数．知识点解析：暂无解析29、已知随机变量X的概率密度386(I)求分布函数F(x)；(Ⅱ)若令y=F(X)，求Y的分布函数FY(y)．标准答案：直接应用F(x)=P{X≤x}，Fy(y)=P{F(X)≤y}求解．(I)(Ⅱ)令Y=F(X)，则由0≤F(x)≤1及F(x)为x的单调不减连续函数知(如图2．1)，当y＜0时，Fy(y)=0；当y≥1时，FY(y)=1；当时，FY(y)=P{F(X)≤y}=P{F(X)≤0}+P{0＜F(X)≤y}知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是A、X2．B、X一Y．C、X+Y．D、(X，Y)．标准答案：D知识点解析：从第二章题型训练三、7(1V)的Y4=X2知，X2不服从均匀分布；应用独立和卷积公式可知，X+Y与X一Y都不服从均匀分布；由X，Y的独立性知，(X，Y)的联合密度f(x，y)=因此(X，Y)服从区域D={(x，y)10＜x＜1，0＜y＜1}上二维均匀分布，应选(D)．2、设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为FX(x)与FY(y)，则z=max{X，Y}的分布函数FZ(z)是A、max{FX(z)，FY(z)}．B、FX(z)+FY(z)一FX(z)FY(z)．C、FX(z).FY(z)．D、标准答案：C知识点解析：FZ(z)=P{max(X，Y)≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{X≤z}．P{Y≤z}=FX(z).FY(z)，应选(C)．3、设随机变量X1与X2相互独立，其分布函数分别为则X1+X2的分布函数F(x)=A、F1(x)+F2(x)．B、C、D、标准答案：D知识点解析：由题意知X1为离散型随机变量，其分布律为F(x)=P{X1+X2≤x}=P{X1=0}P{X1+X2≤x｜X1=0}+P{X1=1}P{X1+X2≤x｜X1=1}故选(D)．4、设随机变量X和Y都服从正态分布，则A、X+Y一定服从正态分布．B、X和Y不相关与独立等价．C、(X，Y)一定服从正态分布．D、(X，一Y)未必服从正态分布．标准答案：D知识点解析：(A)不成立，例如，若Y=一X，则X+Y≡0不服从正态分布．(C)不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布．(B)也不成立，因为只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时“X和Y独立”与“X和Y不相关”二者等价．故应选(D)．虽然随机变量X和一Y都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一Y)未必服从正态分布．5、已知随机变量X1与X2相互独立且有相同的分布则A、X1与X1X2独立且有相同的分布．B、X1与X1X2独立且有不同的分布．C、X1与X1X2不独立且有相同的分布．D、X1与X1X2不独立且有不同的分布．标准答案：A知识点解析：由题设知X1X2可取一1，1，且P{X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=1}+P{X1=1，X2=一1}=P{X1=一1}P{X2=1}+P{X1=1}P{X2=一1}又P{X1=一1，X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=1}=所以X1与X1X2的概率分布为从而X1与X1X2有相同的分布且相互独立，故应选(A)．6、已知随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜—1＜x＜1，一1＜y＜1}上服从均匀分布，则A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：由题设知(X，Y)的概率密度函数为由于故选(D)．7、设随机变量X和Y的联合概率分布服从G={(x，y)｜x2+y2≤r2}上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是A、随机变量X．B、随机变量X+Y．C、随机变量Y．D、Y关于X=1的条件分布．标准答案：D知识点解析：排除法．依题设，由于X，Y对称，(A)和(C)会同时成立，故应排除．或利用计算，随机变量X和Y的联合概率密度为当｜x｜＞r时，显然fX(x)=0；当｜x｜≤r时，有因此，X和Y都不服从均匀分布，即可排除(A)和(C)．而由熟知的事实知二均匀分布随机变量之和也不服从均匀分布，可见(B)也不成立，故应选(D)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、设随机变量X与Y相互独立同分布，且都服从的0一1分布，则随机变量z=max{X，Y}的分布律为____________．标准答案：知识点解析：显然Z也是离散型随机变量，只取0，1两个值，且于是Z的分布律为9、假设随机变量X与Y相互独立。且则a=____________．b=____________，Z=X+Y的分布律为____________．标准答案：知识点解析：10、从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}=_______________．标准答案：知识点解析：根据乘法公式P{X=i，Y=j}=P{X=i}P{Y=j｜X=i}，i，j=1，2，3，4，容易写出(X，Y)的联合概率分布为11、设随机变量X和Y的联合分布函数为则随机变量X的分布函数F(x)为____________．标准答案：知识点解析：分布函数F(x)是F(x，y)的边缘分布函数：F(x)=F(x，+∞)=F(x，1)，因此12、设(X，Y)～N(μ，μ2；σ2，σ；0)，则P{X＜Y}=____________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)13、袋中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，现随机地抽取两次，每次取一个，定义两个随机变量X，Y如下：试就放回与不放回两种情形，求出(X，Y)的联合分布律．标准答案：(X，Y)是二维离散型随机变量，其全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．(I)有放回抽取，由于X与Y相互独立，则P{X=i，Y=j}=P{X=i}P{Y=j}，i，j=0，1，P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0．42=0．16，P{X=0，Y=1}=P{X=0}P{Y=1}=0．4.0．6=0．24，P{X=1，Y=0}=P{X=1}P{Y=0}=0．6.0．4=0．24，P{X=1，Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=0．62=0．36．(Ⅱ)不放回抽取，(I)有放回(Ⅱ)不放回由此可见，无论是有放回还是不放回抽取其边缘分布律X，Y都相同且都服从参数为0．6的0一1分布，且当有放回抽取时X与Y独立；无放回抽取时X与Y不独立．知识点解析：暂无解析14、设二维随机变量(X，Y)的联合分布为其中a，b，c为常数，且记Z=X+Y．求：(I)a，b，c之值；(Ⅱ)Z的概率分布；(Ⅲ)P{Z=X}与P{Z=Y}．标准答案：(I)由联合分布性质，有0．1+a+0．2+b+0．2+0．1+c=1，即a+b+c=0．4．①由EXY=一0．1—2a一0．6+0．2+3c=一0．1→3c一2a=0．4．②联立①，②，③，解方程组得a=0．1，b=0．1，c=0．2．(Ⅱ)由(X，Y)的联合分布及Z=X+Y，可知Z的取值为0，1，2，3，4．由于P{Z=0}=P{X=一1，Y=1}=0．1，P{Z=1}=P{X=0，Y=1}+P{X=一1，Y=2}=0．1+0．1=0．2，P{Z=2}=P{X=0，Y=2}+P{X=一1，Y=3}+P{X=1，Y=1}=0．2+0．2=0．4．P{Z=3}=P{X=0，Y=3}+P{X=1，Y=2}=0．1，P{Z=4}=P{X=1，Y=3}=0．2，从而得Z的概率分布为(Ⅲ)由X，Y的边缘分布可知P{Z=Y}=P{X+Y=Y}=P{X=0}=0．3，P{Z=X}=P{X+Y=X}=P{Y=0}=P(φ)=0．知识点解析：暂无解析假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域G={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布．记15、求U和V的联合分布；标准答案：(U，V)是二维离散型随机变量，只取(0，0)，(1，0)，(1，1)各值，且于是(X，Y)的联合分布为知识点解析：暂无解析16、求U和V的相关系数p．标准答案：从(I)中分布表看出知识点解析：暂无解析17、设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜0≤y≤1，)，≤x≤y+1}内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断X，Y的独立性．标准答案：依题意，由于f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立．知识点解析：暂无解析设随机变量X和Y的联合密度为18、试求X的概率密度f(x)；标准答案：易见，当x≮(0，1)时f(x)=0；对于0＜x＜1，有知识点解析：暂无解析19、试求事件“X大于Y”的概率P{X＞Y；标准答案：事件“X大于Y”的概率知识点解析：暂无解析20、求条件概率P{Y＞1｜X＜0．5}．标准答案：条件概率知识点解析：暂无解析21、设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，其中D={(x，y)｜｜x+y｜≤1，｜x一y｜≤1}，求X的边缘密度fX(x)与在X=0条件下，关于Y的条件密度fY1X(y｜0)．标准答案：从图3．2可知，区域D是以(一1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，一1)为顶点的正方形区域，其边长为，面积SD=2，因此(X，Y)的联合密度是知识点解析：暂无解析已知(X，Y)的概率分布为22、求Z=X—Y的概率分布；标准答案：应用矩阵法求解，由题设得由此即得：Z=X—Y的概率分布知识点解析：暂无解析23、记U1=XY，求(U1，V1)的概率分布；标准答案：(U1，V1)的概率分布为知识点解析：暂无解析24、记U2=max(X，Y)，V2=min(X，Y)，求(U2，V2)的概率分布及U2V2的概率分布．标准答案：(U2，V2)的概率分布为U2V2的概率分布为知识点解析：暂无解析25、设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求：(I)U=XY，的概率密度fU(u)；(Ⅱ)V=｜X—Y｜的概率密度fV(v)．标准答案：由于X与Y相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出U、V的概率密度．(I)分布函数法．由题设知(X，Y)联合概率密度所以U=XY的分布函数为(如图3．3)当u≤0时，FU(u)=0；当u≥1时，FU(u)=1；当0＜u＜1时，(Ⅱ)分布函数法．由题设知所以V=｜X—Y｜的分布函数FV(v)=P{｜X—Y｜≤v}．当v≤0时，FV(v)=0；当v＞0时，FV(v)=P{｜X—Y｜≤v}=P{一v≤X—Y≤v}由图3．4知，当v≥1时，Fv(v)=1；当0＜v＜1时，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1，｜x一y｜≤v}．知识点解析：暂无解析26、设二维随机变量(X1，Y1)与(X2，Y2)的联合概率密度分别为求：(I)常数k1，k2的值；(Ⅱ)Xi，Yi(i=1，2)的边缘概率密度；(Ⅲ)P{Xi＞2Yi}(i=1，2)．标准答案：(I)由得k1=1；又由得k2=2．因此(X1，Y1)与(X1，Y2)的概率密度分别为(Ⅱ)(Ⅲ)知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷第5套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=EXEY，则X与YA、相关．B、不相关．C、独立．D、不独立．标准答案：B知识点解析：因E(XY)=EXEY，故Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0，X与Y不相关，应选(B)．2、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A、一1．B、0．C、D、1．标准答案：A知识点解析：依题意，Y=n—X，故ρXY=一1．应选(A)．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数Pxv满足｜ρXY｜≤1．若Y=aX+b，则当a＞0时，ρXY=1，当a＜0时，ρXY=一1．3、对于任意二随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是A、EXY=EXEY．B、Cov(X，Y)=0．C、DXY=DXDY．D、D(X+Y)=DX+DY．标准答案：C知识点解析：由于Cov(X，Y)=EXY—EXEY=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，可见(A)与(B)等价．由D(X+Y)=DX+DY的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见(B)与(D)等价．于是，“X和Y不相关”与(A)，(B)和(D)等价．故应选(C)．选项(C)不成立是明显的，为说明选项(C)不成立，只需举一反例．设X和Y同服从参数为P(0＜P＜1)的0—1分布且相互独立，从而X与Y不相关．易见DX=DY=P(1一P)；乘积XY服从参数为P2的0—1分布：P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=P2，P{XY=0}=1一P2．因此DXY=P2(1一P2)≠P2(1一P)2=DXDY．4、假设随机变量X在区间[一1，1]上服从均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX的相关系数等于A、一1．B、0．C、0．5．D、1．标准答案：A知识点解析：注意到U=arcsinX和V=arccosX满足下列关系：即由于U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=一1．应选(A)．5、设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且方差σ2＞0，记的相关系数为A、一1．B、0．C、D、1．标准答案：B知识点解析：由于Xi独立同分布，故故应选(B)．6、设随机变量X的方差存在，并且满足不等式则一定有A、DX=2．B、C、DX≠2．D、标准答案：D知识点解析：因事件{｜X—EX｜＜3}是事件{｜X—EX｜≥3}的对立事件，且题设P{｜X—EX｜≥3}≥因此一定有即选项(D)正确．进一步分析，满足不等式的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此结论(A)与(C)都不能选．比如：X服从参数为p的0一1分布，DX=Pq＜1，显然DX≠2，但是因此(A)不成立．若X服从参数n=8，p=0．5的二项分布，则有EX=4，DX=2．但是P{｜X—EX｜≥31=P{｜X一4｜≥3}因此(B)也不成立．7、设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi=1，i=1，…，n，则对任意ε＞0，根据切比雪夫不等式直接可得A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：由题意知EXi=0，i=1，…，n．记根据切比雪夫不等式，有故选(C)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击．如果第i名射手每次命中概率为pi(0＜pi＜1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中)总数的数学期望为标准答案：-2知识点解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验．每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数一1=未击中的次数．以Xi表示第i名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数Xi+1服从参数为pi的几何分布，因此P{Xi=k}=(1一pi)kpi，i=1，2，且于是EXi=两射手脱靶总数X=X1+X2的期望为9、将长度为L的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为_____________．标准答案：知识点解析：设X为折点到左端点的距离，Y为较短段的长，则X～U(0，L)，且10、设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=2X—1，则Y与Z的相关系数为_________．标准答案：0.9知识点解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X～1)=2Cov(X，Y)，DZ=D(2X一1)=4DX．Y与Z的相关系数pYZ为11、设随机变量X和Y的相关系数为0．5，EX=EY=0，EX2=EY2=2，则E(X+Y)2=____________．标准答案：6知识点解析：暂无解析12、设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，则P{0＜X+Y＜10}≥_________．标准答案：0.928知识点解析：由于EX=4，DX=0．8，EY=1，DY=1，所以E(X+Y)=EX+EY=5，D(X+Y