考研数学二（二重积分）模拟试卷1（共187题）

考研数学二（二重积分）模拟试卷1（共7套）（共187题）考研数学二（二重积分）模拟试卷第1套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设D是有界闭区域，下列命题中错误的是A、若f(x，y)在D连续，对D的任何子区域D0均有f(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0((x，y)∈D)．B、若f(x，y)在D可积，f(x，y)≥0但不恒等于0((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．C、若f(x，y)在D连续f2(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0((x，y)∈D)．D、若f(x，y)在D连续，f(x，y)＞0((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．标准答案：B知识点解析：直接指出其中某命题不正确．因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积分值，因此命题(B)不正确．设(x0，y0)是D中某点，令f(x，y)=则在区域D上2f(x，y)≥0且不恒等于0，但f(x，y)dσ=0．因此选(B)．或直接证明其中三个是正确的．命题(A)是正确的．用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证．若f(x，y)在D不恒为零(x0，y0)∈D，f(x0，y0)≠0，不妨设f(x0，y0)＞0，由连续性有界闭区域D0D，且当(x，y)∈D0时f(x，y)＞0f(x，y)dσ＞0，与已知条件矛盾．因此，f(x，y)≡0((x，y)∈D)．命题(D)是正确的．利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证．这是因为f(x，y)≥=f(x0，y0)＞0，其中(x0，y0)是D中某点．于是由二重积分的不等式性质得f(x，y)dσ≥f(x0，y0)σ＞0，其中σ是D的面积．命题(C)是正确的．若f(x，y)在(x，y)∈D上f2(x，y)≥0且不恒等于0．由假设f2(x，y)在D连续f2(x，y)dσ＞0与已知条件矛盾．于是f(x，y)≡0在D上成立．因此选B．2、比较下列积分值的大小：(Ⅰ)l1=ln3(x+y)dxdy，I0=(x+y)3dxdy，I3=[sin(x+y)]3dxdy，其中D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，则I1，I2，I3之间的大小顺序为A、I1＜I2＜I3．B、I3＜I2＜I1．C、I1＜I3＜I2．D、I3＜I1＜I2．标准答案：C知识点解析：在区域D上，≤x+y≤1．当≤t≤1时，lnt≤sint≤t，从而有(x，y)∈D时，ln3(x+y)sin3(x+y)(x+y)3，则ln3(x+y)dσ＜sin3(x+y)dσ＜(x+y)3dσ．因此选C．3、比较下列积分值的大小：Ji=e-(x2+y2)dxdy，i=1，2，3，其中D1={x，y)｜x2+y2≤R2}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2}，D3={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}．则J1，J2，J3之间的大小顺序为A、J1＜J2＜J3．B、J2＜J3＜J1．C、J1＜J3＜J2．D、J3＜J2＜J1．标准答案：C知识点解析：D1，D2是以原点为圆心，半径分别为R，的圆，D3是正方形，显然有D1D3D2．因此C成立．二、填空题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、设D是OXy平面上以A(1，1)，B(-1，1)和C(-1，-1)为顶点的三角形区域，则==_______．标准答案：8知识点解析：连将区域D分成D1(三角形OAB)，D2(三角形DBC)两个部分(见图8．2)，它们分别关于y轴与x轴对称．由于对x与y均为奇函数，因此又由于D的面积=.2.2=2，所以4dxdy=4.2=8．于是I=0+8=8．三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)5、将f(x，y)dxdy化为累次积分，其中D为x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．标准答案：如图8．5，x2+y2=2ax与x2+y2=2ay是两个圆，其交点为O(0，0)，P(a，a)．因此，若先对y积分，就有若先对x求积分，则知识点解析：暂无解析6、设D是由曲线(a＞0，b＞0)与x轴，y轴围成的区域，求I=ydxdy．标准答案：先对y积分．令，则x=a(1-t)2，dx=2a(t-1)dt．于是I=∫04t4(1-t)2adt=.知识点解析：暂无解析7、在极坐标变换下将f(x，y)dσ化为累次积分，其中D为：x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．标准答案：由于两个圆在极坐标下的表达式分别为：r=2acosθ与r=2asinθ，交点P处的极坐标是．于是连接OP将区域D分成两部分(见图8．13)，则或者先对θ积分，则知识点解析：暂无解析8、计算二重积分，其中D由y=x与y=x4围成．标准答案：D的图形如图8．14所示，虽然D的边界不是圆弧，但被积函数是r=选用极坐标变换方便．在极坐标变换下，D的边界方程是θ=从而于是知识点解析：暂无解析9、求I=，其中D为y=，y=x及x=0所围成区域．标准答案：区域D如图8．15．被积函数只含y，先对x积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单.若先对y积分，则求积分要费点功夫．选择先对x积分，将D分块：于是知识点解析：暂无解析10、求I=，其中D是由抛物线y2=x，直线x=0，y=1所围成．标准答案：的原函数不是初等函数，故积不出来，因此选先x后y的顺序．积分区域D如图8．16，于是I=∫01dx∫0y2=∫01｜0y2dy=∫01(yey-y)dy=.知识点解析：暂无解析11、求I=x[1+yf(x2+y2)]dxdy，D由y=x3，y=1，x=-1围成，f是连续函数．标准答案：D的图形如图8．17．xdxdy=∫-11dxf∫x31xdy=∫-11x(1-x3)dx=xyf(x2+y2)dxdy=xyf(x2+y2)dxdy=0．这里被积函数xyf(x2+y2)关于(x，y)为偶函数，而D1={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x3}与D’1={(x，y)｜-1≤x≤0，x3≤y≤0}关于原点对称xyf(x2+y2)dxdy=xyf(x2+y2)dxdy，xyf(x2+y2)dxdy=xyf(x2+y2)dxdy+xyf(x2+y2)dxdy=xyf(x2+y2)dxdy=0．因此知识点解析：暂无解析12、求I=其中D：｜x｜≤1，0≤y≤2．标准答案：在积分区域D上被积函数分块表示为｜y-x2｜=(x，y)∈D，因此要将D分块，用分块积分法．又D关于y轴对称，被积函数关于x为偶函数，记D1={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≥x2}，D2={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≤x2}，于是知识点解析：暂无解析13、设D由抛物线y=x2，y=4x2及直线y=1所围成．用先x后y的顺序，将I=化成累次积分．标准答案：区域D如图8．18所示，将D分成x≥0与x≤0两部分才是先积x后积y的类型，于是用分块积分法即得知识点解析：暂无解析14、求I=，D由曲线x2+y2=2x+2y-1所围成．标准答案：D是圆域：(x-1)2+(y-1)2≤1，见图8．19．作平移变换u=x-1，v=y-1，则其中D’={(u，v)｜u2+v2≤1}．知识点解析：暂无解析15、交换累次积分的积分顺序：I=∫01dxf(x，y)dy+∫14dxf(x，y)dy．标准答案：将累次积分表示为f(x，y)dσ，累次积分的表示式表明：积分区域D由两部分构成，当0≤x≤1时，区域D的下侧边界为，上侧边界为；当1≤x≤4时，D的下侧边界为y=x-2，上侧边界为．即D={(x，y)｜0≤x≤1，}∪{(x，y)｜1≤x≤4，x-2≤y≤}.其图形为图8．20所示，改变积分顺序，先对x求积分，就要把区域D的边界表示成y的函数，即D的左侧边界为x=y2，右侧边界为x=y+2，最后再求出x=y2与x=y+2的两个交点的纵坐标y=-1和y=2，即可将区域D表示为D={(x，y)｜-1≤y≤2，y2≤x≤y+2}，由此不难写出新的累次积分．先对x积分，就是从区域D的左侧边界x=y2到右侧边界x=y+2．两边界线的交点为(1，-1)与(4，2)，于是由(8．4)式得I=f(x，y)dxdy=∫-12dy∫y2y+2f(x，y)dx.知识点解析：暂无解析16、将极坐标变换后的二重积分f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ的如下累次积分交换积分顺序：其中F(r，θ)=f(rcosθ，rsinθ)r．标准答案：r=2acosθ是圆周x2+y2=2ax，即(x-a)2+y2=a2，因此D的图形如图8．21所示．为了先θ后r的积分顺序，将D分成两块，如图8．21虚线所示，D=D1∪D2，D1={(x，y)｜0≤r≤D2=因此知识点解析：暂无解析17、计算累次积分：I=∫01dx∫1x+1ydy+∫12dx∫xx+1ydy+∫23dx∫x3ydy．标准答案：由累次积分限知：0≤x≤1时1≤y≤x+1；1≤x≤2时x≤y≤x+1；2≤x≤3时x≤y≤3，于是积分区域D如图8．23所示，因此D可表示为D={(x，y)｜1≤y≤3，y-1≤x≤y}，则原式=ydσ=∫13dy∫y-1yydx=∫13ydy=y2｜13=4.知识点解析：暂无解析18、将dθ∫0sinθf(rcosθ，rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分．标准答案：D的极坐标表示：≤0≤π，0≤r≤sinθ，即≤0≤π，r2≤rsinθ，即x2+y2≤y，x≤0，则D为左半圆域：x2+y2≤y，x≤0，即x2+，x≤0．先对y后对x积分，D：于是原式=知识点解析：暂无解析19、计算e-y2dy∫0ye-x2dx+e-x2dx．标准答案：题中无论是先对x，还是先对y积分都很难进行，这是因为e-x2，e-y2的原函数不是初等函数，所以必须改用其他坐标系．又由于被积函数属f(x2+y2)的形式，因此选用极坐标系较方便．积分区域D为扇形所以原式=e-(x2+y2)dxdy=dθ∫0Re-r2rdr=(1-e-R2)=(1-e-R2).知识点解析：暂无解析20、计算，其中D是由圆心在点(a，a)、半径为a且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域．标准答案：由于圆的方程为：(x-a)2+(y-a)2=a2，区域D的边界所涉及的圆弧为y=a-，所以知识点解析：暂无解析21、计算二重积分：｜｜x+y｜-2｜dxdy，其中D：0≤x≤2，-2≤y≤2．标准答案：因如图8．24，用直线y=-x+2，y=-x将D分成D1，D2与D3．于是知识点解析：暂无解析22、计算下列二重积分：(Ⅰ)xydσ，其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲线y=，x2+(y-1)2=1与y轴围成的在右上方的部分．标准答案：(Ⅰ)积分域D见图8．25．D的极坐标表示是：0≤θ≤，0≤r≤sin2θ，于是(Ⅱ)选用极坐标系，所涉及两个圆的极坐标方程为r=1与r=2sinθ，交点的极坐标为(见图8．26)，于是积分域D的极坐标表示为D=，则知识点解析：暂无解析23、求下列二重积分：(Ⅰ)I=，其中D为正方形域：0≤x≤1，0≤y≤1；(Ⅱ)I=｜3x+4y｜dxdy，其中D：x2+y2≤1；(Ⅲ)I=ydxdy，其中D由直线z=-2，y=0，y=2及曲线x=所围成．标准答案：考察积分区域与被积函数的特点，选择适当方法求解．(Ⅰ)尽管D的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便．D的边界线x=1及y=1的极坐标方程分别为于是(Ⅱ)在积分区域D上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂．因D是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形．这时可利用周期函数的积分性质．作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，则D：0≤θ≤2π，0≤r≤1．从而I=∫02π｜3cosθ+4sinθ｜dθ∫01.rdr=∫02πsin(θ+θ0)｜dθ，其中sinθ0=，cosθ0=．由周期函数的积分性质，令t=θ+θ0就有(Ⅲ)D的图形如图8．27所示．若把D看成正方形区域挖去半圆D1，则计算D1上的积分自然选用极坐标变换．若只考虑区域D，则自然考虑先x后y的积分顺序化为累次积分．若注意D关于直线y=1对称，选择平移变换则最为方便．作平移变换u=x，v=y-1，注意曲线即x2+(y-1)2=1，x≤0，则D变成D’.D’由u=-2，v=-1，v=1，u2+v2=1(u≤0)围成，则知识点解析：暂无解析24、设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且恒大于零，证明：∫abf(a)dx∫ab≥(b-a)2．标准答案：利用积分变量的改变，可得∫abf(x)dx∫ab=∫abf(x)dx∫ab其中D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}．并且利用对称性(D关于y=x对称)，可得∫abf(x)dx∫ab=(b-a)2．知识点解析：暂无解析25、(Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，I(R)=e-(x2+y2)dxdy，求I(R)；(Ⅱ)证明：∫-∞+∞e-x2dx=标准答案：(Ⅰ)首先用极坐标变换求出I(R)，然后求极限I(R).作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ得I(R)=∫02πdθ∫0Re-r2rdr=2π(e-r2)｜0R=π(1-e-R2)．因此，(Ⅱ)因为e-x2在(-∞，+∞)可积，则∫-∞+∞e-x2dx=∫-RRe-x2dx．通过求∫-RRe-x2dx再求极限的方法行不通，因为∫e-x2dx积不出来(不是初等函数)．但可以估计这个积分值．为了利用e-(x2+y2)dxdy，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题．(∫-RRe-x2dx)=∫-RRe-x2dx∫-RRe-y2dy=e-(x2+y2)dxdy．其中D(R)={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}．显然I(R)≤e-(x2+y2)dxdy≤，又，于是(∫-RRe-x2dx)2=(∫-∞+∞e-x2dx)2=π.知识点解析：暂无解析考研数学二（二重积分）模拟试卷第2套一、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设D为两个圆：x2+y2≤1及(x-2)2+y2≤4的公共部分．则I=ydxdy=______．标准答案：0知识点解析：D关于x轴对称，被积函数对y为奇函数I=0．2、设D为y=x3及x=-1，y=1所围成的区域，则I=xydxdy=______．标准答案：0知识点解析：D如图8．1所示．添加辅助线y=-x3(x≤0)，将D分解成D=D1∪D2，其中D1关于y轴对称，D2关于x轴对称，被积函数对x，y均为奇函数3、I=｜xy｜dxdy=_______．标准答案：知识点解析：区域如图8．2所示，由对称性与奇偶性其中D1：0≤y≤1-x，0≤x≤1．于是I=4∫01dx∫01-xxydy=4∫01x(1-x)2dx=∫01xd(1-x)3=∫01(1-x)3dx4、设D：0≤x≤1，0≤y≤1，则I==_______.标准答案：知识点解析：D关于直线y=x对称与原式相加5、设I1=(x4+y4)dσ，I2=(x4+y4)dσ，I3=2x2y2dσ，则这三个积分的大小顺序是_________＜____________＜__________.标准答案：I3＜I1＜I2知识点解析：比较I1与I2，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x2+y2≤1)包含在正方形区域(｜x｜≤1，｜y｜≤1)中I1＜I2．比较I1与I3，积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知x4+y42x2y2I1＞I3．因此I3＜I1＜I2．6、设D为圆域x2+y2≤x，则I==______.标准答案：知识点解析：D如图8．3．用极坐标变换，D的极坐标表示：于是二、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)7、设f(x)在区间[0，1]上连续，证明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2．标准答案：先将累次积分表示成二重积分，则有I=∫01f(x)dx∫x1f(yy)dy=f(x)f(y)dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如图8．28，它与D’={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}关于y=x对称．于是I=f(x)f(y)dxdy，2I=f(x)f(y)dxdy+f(x)f(y)dxdy=∫01dx∫01f(x)f(y)dy=∫01f(x)dx.∫01f(y)dy=[∫01f(y)dx]2，因此，I=[∫01f(x)dx]2．知识点解析：暂无解析8、计算，其中D为曲线y=lnx与两直线y=0，y=(e+1)-x所围成的平面区域．标准答案：y=lnx与y=(e+1)-x的交点是(e，1)，D如图8．4所示，在Oxy坐标系中选择先x后y的积分顺序(D不必分块)得知识点解析：暂无解析9、计算I=x2e-y2dxdy，其中D是以O(0，0)，A(1，1)，B(-1，1)为顶点的三角形区域．标准答案：D如图8．5所示，D关于y轴对称，被积函数对x为偶函数．I=2x2e-y2dxdy．其中D1=D∩{x≥0}．选择先x后y的积分顺序I=2∫01dy∫0yx2e-y2dx=∫01y3e-y2dx=∫01y2de-y2=y2e-y2｜01+∫01e-y2dy2=e-1-e-y2｜01=e-1.知识点解析：暂无解析10、计算，其中D：1≤x2+y2≤9，标准答案：令x=rcosθ，y=rsinθ，则D：1≤r≤3，．于是知识点解析：暂无解析11、计算sin(x-y)｜dxdy，其中D：0≤x≤y≤2π．标准答案：(分块积分法)D如图8．6-(a)，被积函数分块表示，要分块积分，将D分成D=D1∪D2，以y-x=π为分界线(如图8．6-(b))．在D1上，π≤y-x≤2π；在D2上，0≤y-x≤π，则在D2上边界分段表示(如图8．6-(c))，也要分块积分I=-∫0πdx∫x+π2πsin(y-x)dy+∫0πdx∫xx+πsin(y-x)dy+∫π2πdx∫x2πsin(y-x)dy=∫0πcos(y-x)｜y=1+π2πdx-∫0πcos(y-x)∫y=xx+πdx-∫π2πcos(y-x)｜y=x2πdx=∫0π(cosx+1)dx+∫0π2dx-∫π2π(cosx-1)dx=4π．知识点解析：暂无解析12、计算(x+y)2dxdy，其中D：｜x｜+｜y｜≤1．标准答案：D关于x，y轴均对称，它在第一象限部分记为D1，如图8．7．I=[(x2+y2)+2xy]dσ=x2dxdy+0=8x2dxdy=8∫01dx∫01-xx2dy=8∫01x2(1-x)dx知识点解析：暂无解析13、计算，其中D：x≥0，y≥0，x+y≤1．标准答案：极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ．于是知识点解析：暂无解析14、设a＞0为常数，求积分I=xy2dσ，其中D：x2+y2≤ax．标准答案：D是圆域(如图8．9)：作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，并由D关于x轴对称，x轴上方部分为D1：0≤θ≤，0≤r≤acosθ．于是知识点解析：暂无解析15、设D={(x，y)｜x2+y2≤2x+2y}，求I=(x+y2)dxdy．标准答案：D是圆域：(x-1)2+(y-1)2≤2，也考虑到被积函数的情形，先作平移变换u=x-1，v=y-1，则I=(2+u+2v+v2)dudv，其中D：u2+v2≤2．于是由D的对称性及被积函数的奇偶性得I=(2+v2)dudv=2.π.2+v2dudv．余下求I1=v2dudv．利用直角坐标系中的公式I1=4v2dudv，其中D1={(u，v)｜0≤u≤是D的第一象限部分．知识点解析：暂无解析16、设D={(x，y)｜x+y≥1，x2+y2≤1}，求I=(x2+y2)dσ．标准答案：D由直线x+y=1与圆周x2+y2=1所围成，如图8．10．记D1={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)｜x+y≤1，x≥0，y≥0}，D=D1＼D2，从而I=(x2+y2)dσ-(x2+y2)dσ=(x2+y2)dσ-2x2dσ=dθ∫01r2.rdr-2∫01dx∫01-xx2dy=-2∫01x2(1-x)dx其中由于D2关于直线y=x对称，所以y2dσ=x2dσ．知识点解析：暂无解析17、∫01dx∫0x2f(x，y)dy+∫13dxf(x，y)dy．标准答案：如图8．11所示．知识点解析：暂无解析18、∫-10dx∫-x2-x2f(x，y)dy+∫01dx∫x2-x2f(x，y)dy．标准答案：如图8．12所示．原式=f(x，y)dσ=∫01dy∫-yyf(x，y)dx+∫12dyf(x，y)dx．知识点解析：暂无解析19、∫0t2dxf(x，y)dy(t＞0)．标准答案：如图8．13所示．当z∈[0，t2]时，≤t(t＞0)，于是原式=-∫0t2-∫0tdy0y2f(x，y)dx=∫0tdy∫y20f(x，y)dx．知识点解析：暂无解析20、极坐标系下的累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr．标准答案：在直角坐标系Oθr中画出D’的草图(如图8．14)．原积分=f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ．由r=得r2=sin2θ．当0≤θ≤arcsinr2；当，r2=sin2θ=sin(π-2θ)．于是π-2θ=arcsinr2，θ=arcsinr2．因此原积分知识点解析：暂无解析21、∫01dx标准答案：如图8．15所示．=∫01sinydy+∫01ydcosy=-cos｜01+cos1-∫01cosydy=1-8iny｜01=1-sin1．知识点解析：暂无解析22、∫0Rdxln(1+x2+y2)dy(R＞0)．标准答案：如图8．16所示．I=ln(1+x2+y2)dσdθ∫0Rln(1+r2)rdr=[R2ln(1+R2)-R2+ln(1+2)]=[(1+R2)ln(1+R2)-R2]．知识点解析：暂无解析23、∫01dy∫y1标准答案：表成D的二重积分，确定D，再交换积分次序．原式=D如图8．17知识点解析：暂无解析24、∫01dx标准答案：计算这类累次积分的方法，常常是先确定积分区域D，化成二重积分f(x，y)dxdy，然后改换积分顺序再求解，或改用极坐标变换再求解．由本题的特点选用后一种方法．D是圆域的一部分，如图8．18所示，则作极坐标变换，圆周方程为(y+1)2+x2=1，即x2+y2=-2y，即r=-2sinθ，积分区域D：≤θ≤0，0≤r≤-2sinθ，于是知识点解析：暂无解析25、设f(u)可导，f(0)=0，f’(0)=．标准答案：t＞0．化二重积分为定积分．作极坐标变换I(t)=∫02πdθ∫0tf(R)rdr=∫0tf(r)rdr知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[a，b]连续，且f(x)＞0，∫abf(x)dx=A．D为正方形区域：a≤x≤b，a≤y≤b，求证：(Ⅰ)(Ⅱ)I≥(b-a)(b-a+A)．标准答案：(Ⅰ)D关于直线y=x对称，利用二重积分的有关性质：得相加得由初等不等式：(Ⅱ)由不等式et＞1+t(t＞0)及题(Ⅰ)=(b-a)2+(b-a)∫abf(x)dx=(b-a)(b-a+A)．知识点解析：暂无解析考研数学二（二重积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：积分区域的直角坐标形式为D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤χ，y≥0}，则原式＝f(χ，y)dy，应选D．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)2、cos(2χ＋y)dχdy＝_______，其中D：χ2＋y2≤r2．标准答案：1知识点解析：由积分中值定理，存在(ξ，η)∈D，使得3、设f(χ，y)为连续函数，且f(χ，y)＝y2＋χf(χ，y)dχdy，则f(χ，y)＝_______．标准答案：y2＋知识点解析：令f(χ，y)dχdy＝A，则f(χ，y)＝y2＋Aχ，两边积分得4、设区域D为χ2＋y2≤R2，则＝_______．标准答案：知识点解析：由对称性得χ2dχdy＝y2dχdy，则5、交换积分次序f(χ，y)dy＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析6、交换积分次序，则＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析7、交换积分次序＝_______．标准答案：知识点解析：令D1＝{(χ，y)}0≤χ≤，χ2≤y≤χ}，则8、ycos(1－χ)2dχ＝_______．标准答案：sin1知识点解析：9、设f(χ)＝，D为－∞＜χ＜＋∞，－∞＜y＜＋∞，则f(y)f(χ＋y)dχdy＝_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)10、求标准答案：交换积分次序得知识点解析：暂无解析11、将积f(χ，y)dχdy化成极坐标形式，其中D为χ2＋y2＝－8χ所围成的区域．标准答案：知识点解析：暂无解析12、已知f(χ)可导，且满足f(t)＝f(y)dy＋1，求f(χ)．标准答案：改变积分次序得原式化为f(t)＝∫0tf(y)dy＋1，两边求导得f′(t)－f(t)＝0，解得f(t)＝Cet，由f(0)＝1得C＝1，则f(χ)＝eχ．知识点解析：暂无解析13、求极限标准答案：交换积分次序得知识点解析：暂无解析14、设函数f(χ)在区间[0，1]上连续，并设，∫01f(χ)dχ＝a，求∫01dχ∫χ1f(χ)f(y)dy．标准答案：令F(χ)＝∫0χf(t)dt，F(1)＝a，则∫01dχ∫χ1f(χ)f(y)dy＝∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝∫01f(χ)[F(1)－F(χ)]dχ＝a∫01f(χ)dχ－∫01F(χ)dF(χ)＝a2．知识点解析：暂无解析15、计算χydχdy，其中D＝{(χ，y)｜y≥0，χ2＋y2≤1，χ2＋y2≤2χ}．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(χ，y)＝求f(χ，y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≥2χ}．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设D：｜χ｜≤1，｜y｜≤1，求｜y－χ｜dχdy．标准答案：令D1＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，－1≤y≤χ}，D2＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，χ≤y≤1}，则知识点解析：暂无解析18、计算，其中D＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，0≤y≤2}．标准答案：令D1＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，0≤y≤χ2}，D2＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，χ2≤y≤2}，则知识点解析：暂无解析19、｜χ2＋y2－4｜dχdy，其中D：χ2＋y2≤9．标准答案：令D1＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4}，D2＝{(χ，y)｜4＜χ2＋y2≤9}，知识点解析：暂无解析20、计算(4－χ2－y2)dχdy，其中D为由圆χ2＋y2＝2y所围成的平面闭区域．标准答案：令(0≤θ≤π，0≤r≤2sinθ)，则知识点解析：暂无解析21、设D是由χ≥0，y≥χ与χ2＋(y－b)2≤b2，χ2＋(y－a)2≥a2(0＜a＜b)所围成的平面区域，求χydχdy．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤χ}，求标准答案：知识点解析：暂无解析23、计算(χ＋y)dχdy，其中D：χ2＋y2≤χ＋y．标准答案：区域D写成D：，知识点解析：暂无解析24、设f(χ，y)＝，求f(χ，y)dχdy其中D＝{χ，y)｜｜χ｜＋｜y｜≤2}．标准答案：令D1＝{(χ，y)｜χ＋y≤1，χ≥0，y≥0}，D2＝{(χ，y)｜1＜χ＋y≤2，χ≥0．y≥0}，知识点解析：暂无解析25、计算二次积分I＝标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f(χ)连续，且f(0)＝0，f′(0)≠0．求，其中D：χ2＋y2≤t2．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（二重积分）模拟试卷第4套一、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设D是Oxy平面上以A(1，1)，B(－1，1)和C(－1，－1)为顶点的三角形区域，则I==_________．标准答案：8知识点解析：连将区域D分成D1(三角形OAB)，D2(三角形OBC)两个部分(见图8．2)，它们分别关于y轴与x轴对称．由于对x与y均为奇函数，因此又由于D的面积==2，所以4dxdy=4.2=8．于是I=0+8=8．2、设D为y=x3及x=－1，y=1所围成的区域，则I=xydxdy=________．标准答案：0知识点解析：D如图8．1所示．添加辅助线y=－x3(x≤0)，将D分解成D=D1∪D2，其中D1关于y轴对称，D2关于x轴对称，被积函数对x，y均为奇函数=>3、设D：0≤x≤1，0≤y≤1，则I==________．标准答案：知识点解析：D关于直线y=x对称=>与原式相加=>4、设D为圆域x2+y2≤x，则I==________．标准答案：知识点解析：D如图8．3．用极坐标变换，D的极坐标表示：二、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)5、设D是由曲线=1(a＞0，b＞0)与x轴，y轴围成的区域，求I=．标准答案：先对x积分．区域D如图8．6所示．知识点解析：暂无解析6、计算二重积分I=，其中D由y=x与y=x4围成．标准答案：D的图形如图8．14所示，虽然D的边界不是圆弧，但被积函数是r=，选用极坐标变换方便．在极坐标变换下，D的边界方程是，从而知识点解析：暂无解析7、求I=，其中D是由抛物线y2=x，直线x=0，y=1所围成．标准答案：的原函数不是初等函数，故积不出来，因此选先x后y的顺序．积分区域D如图8．16，于是知识点解析：暂无解析8、求I=，其中D：｜x｜≤1，0≤y≤2．标准答案：在积分区域D上被积函数分块表示为因此要将D分块，用分块积分法．又D关于y轴对称，被积函数关于x为偶函数，记D1={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≥x2}，D2={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≤x2}，知识点解析：暂无解析9、求I=，D由曲线x2+y2=2x+2y－1所围成．标准答案：D是圆域：(x－1)2+(y－1)2≤1，见图8．19．作平移变换u=x－1，v=y－1，则I==0+π=π，其中D’={(u，v)｜u2+v2≤1}．知识点解析：暂无解析10、比较下列积分值的大小：(Ⅰ)I1=,其中D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，则I1，I2，I3之间的大小顺序为(A)I1＜I2＜I3．(B)I3＜I2＜I1．(C)I1＜I3＜I2．(D)I3＜I1＜I2．(Ⅱ)Ji=，i=1，2，3，其中D1={x，y)｜x2+y2≤R2}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2}，D3={(x，y)｜x｜≤R，｜y｜≤R}．则J1，J2，J3之间的大小顺序为(A)J1＜J2＜J3．(B)J2＜J3＜J1．(C)J1＜J3＜J2．(D)J3＜J2＜J1．标准答案：题(Ⅰ)中，积分区域相同，被积函数连续，可通过比较被积函数来判断；题(Ⅱ)中被积函数相同，连续且是正的，可通过比较积分区域来判断积分值的大小．(Ⅰ)在区域D上，≤x+y≤1．当≤t≤1时，lnt≤sint≤t，从而有(x，y)∈D时，则．因此选(C)．(Ⅱ)D1，D2是以原点为圆心，半径分别为R，的圆，D3是正方形，显然有．因此(C)成立．知识点解析：暂无解析11、将极坐标变换后的二重积分f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ的如下累次积分交换积分顺序：其中F(r，θ)=f(reosθ，rsinθ)r．标准答案：r=2acosθ是圆周x2+y2=2ax，即(x－a)2+y2=a2，因此D的图形如图8．21所示．为了先θ后r的积分顺序，将D分成两块，如图8．21虚线所示，D=D1∪D2，知识点解析：暂无解析12、将dθ∫0sinθf(rcosθ，rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分．标准答案：D的极坐标表示：≤θ≤π，0≤r≤sinθ，即≤θ≤π，r2≤rsinθ，即x2+y2≤y，x≤0，则D为左半圆域：x2+y2≤y，x≤0，即x2+，x≤0．先对y后对x积分，D：，于是原式=知识点解析：暂无解析13、计算(a＞0)，其中D是由圆心在点(a，a)、半径为a且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域．标准答案：由于圆的方程为：(x－a)2+(y－a)2=a2，区域D的边界所涉及的圆弧为y=a－，所以知识点解析：暂无解析14、计算下列二重积分：(Ⅰ)xydσ,其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲线y=，x2+(y－1)2=1与y轴围成的在右上方的部分．标准答案：(Ⅰ)积分域D见图8．25．D的极坐标表示是：0≤θ≤，0≤r≤sin2θ，于是(Ⅱ)选用极坐标系，所涉及两个圆的极坐标方程为r=1与r=2sinθ，交点的极坐标为(1，)(见图8．26)，于是积分域D的极坐标表示为D={(r，θ)｜，1≤r≤2sinθ，则知识点解析：暂无解析15、设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且恒大于零，证明：标准答案：利用积分变量的改变，可得其中D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}．并且利用对称性(D关于y=x对称)，可得知识点解析：暂无解析16、设f(x)在区间[0，1]上连续，证明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2．标准答案：先将累次积分表示成二重积分，则有I=∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=f(x)f(y)dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如图8．28，它与D’={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}关于y=x对称．于是I=f(x)f(y)dxdy，2I==∫01dx∫01f(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫01f(y)dy=[∫01f(x)dx]2，因此，I=[∫01f(x)dx]2．知识点解析：暂无解析17、计算I=，其中D是以O(0，0)，A(1，1)，B(－1，1)为顶点的三角形区域．标准答案：D如图8．5所示，D关于y轴对称，被积函数对x为偶函数．其中D1=D∩{x≥0}．选择先x后y的积分顺序知识点解析：暂无解析18、计算｜sin(x－y)｜dxdy，其中D：0≤x≤y≤2π．标准答案：(分块积分法)D如图8．6-(a)，被积函数分块表示，要分块积分，将D分成D=D1∪D2，以y－x=π为分界线(如图8．6-(b))．在D1上，π≤y－x≤2π；在D2上，0≤y－x≤π，则在D2上边界分段表示(如图8．6-(c))，也要分块积分知识点解析：暂无解析19、计算，其中D：x≥0，y≥0，x+y≤1．标准答案：极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ．D：0≤θ≤于是知识点解析：暂无解析20、设D={(x，y)｜x2+y2≤2x+2y}，求I=(x+y2)dxdy．标准答案：D是圆域：(x－1)2+(y－1)2≤2，也考虑到被积函数的情形，先作平移变换u=x－1．v=y－1．则I=(2+u+2v+v2)dudv，其中D：u2+v2≤2．于是由D的对称性及被积函数的奇偶性得利用直角坐标系中的公式其中D1=是D的第一象限部分．知识点解析：暂无解析21、标准答案：如图8．11所示．知识点解析：暂无解析22、标准答案：如图8．13所示．当x∈[0，t2]时，≤t(t＞0)，于是知识点解析：暂无解析23、标准答案：如图8．15所示．知识点解析：暂无解析24、标准答案：表成D的二重积分，确定D，再交换积分次序．D如图8．17．知识点解析：暂无解析25、设f(u)可导，f(0)=0，=_________．标准答案：t＞0．化二重积分为定积分．作极坐标变换知识点解析：暂无解析考研数学二（二重积分）模拟试卷第5套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设平面区域D由曲线围成，则等于()A、2B、一2C、πD、一π标准答案：D知识点解析：如图1．5—3所示，用曲线将区域D划分为D1和D2两部分，则D1关于x轴对称，D2关于y轴对称，于是有从而由于区域D的面积与直线y=0，y=1，所围成的矩形面积相等，故SD=π，故应选(D)．2、累次积分化为极坐标形式的累次积分为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：积分区域D为：0≤y≤2R，如图1．5—4所示．在极坐标系下D可表示为：0≤r≤2Rsinθ，故3、设D：|x|+|y|≤1，则()A、0B、C、D、1标准答案：C知识点解析：因为D关于x，y轴都对称，故且有其中D1={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}．于是4、设D由直线x=0，y=0，x+y=1围成，已知则()A、2B、0C、D、1标准答案：B知识点解析：由于是5、设积分区域D1={(x，y)|(x一2)2+(y—1)2≤2}，D2={(x，y)|x2+(y+1)2≤2)，下列选项正确的是()A、I1＜I2＜I3＜I4B、I4＜I3＜I2＜I1C、I4＜I3＜I1＜I2D、I1＜I3＜I2＜I4标准答案：C知识点解析：如图1．5—11所示，积分域D1的边界为圆周(x一2)2+(y一1)2=2，它与x轴交于点(1，0)，与直线x+y=1相切．而区域D1位于直线的上方，故在D1内x+y≥1，从而(x+y)10≤(x+y)11，因此有同样，在D1上x+y≤1，从而(x+y)10≥(x+y)11，因此有又①画的(x+y)10。草图如图1．5—12所示；②侧视如图1．5—13所示(垂直于x+y=0看进去)．显然：因此有因此选(C)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、设f(x)是D上连续的奇函数，其中D由y=4一x2，y=一3x，x=1所围成，则I=标准答案：0知识点解析：令D=D1∪D2，如图1．5—6所示．显然，在D1上，g(一x，y)=一g(x，y)．在D2上，因此g(x，一y)=一g(x，y)，所以7、标准答案：知识点解析：令x=rsinθ，y=rcosθ，则8、交换二次积分次序：标准答案：知识点解析：由已知有，所求积分区域为所围成的区域，所以9、设f(x)为连续函数，a与m是常数且a＞0，将二次积分化为定积分，则I=__________．标准答案：知识点解析：被积函数仅是x的函数，交换积分次序即可化为定积分．由二次积分的积分上、下限可知积分区域为D：0≤x≤y，0≤y≤a，故10、标准答案：知识点解析：所以原式=(e一1)．11、设D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，则二重积分标准答案：知识点解析：对于积分用极坐标对于用直角坐标，故原积分=(π+4)．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)12、证明：标准答案：本题看似是二重积分问题，事实上，用代换t=xy可将累次积分化为定积分．在视x为常数，令t=xy，dt=xfy，当y从0变到1时，t从0变到x，则从而也就是要证明移项后就是要证明事实上，tt(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故证毕．知识点解析：暂无解析13、设在D=[a，b]×[c，d]上连续，求并证明：I≤2(M—m)，其中M和m分别是f(x，y)在D上的最大值和最小值．标准答案：显然I≤2(M一m)．知识点解析：暂无解析14、设函数f(x)在[0，1]上连续，证明：标准答案：方法一显然积分区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．由对称性，知方法二由泰勒公式知，对任意的x∈R，恒有所以，有ef(x)-f(y)≥1+f(x)一f(y)．从而知识点解析：暂无解析15、交换二次积分的积分次序：标准答案：知识点解析：暂无解析16、交换二次积分的积分次序：标准答案：知识点解析：暂无解析17、交换二次积分的积分次序：标准答案：如图1．5—10所示，D=D1∪D2，其中知识点解析：暂无解析18、求其中D={(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤1}．标准答案：由题设知：其中D1={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤3}，D2={(x，y)|0≤y≤1，0≤x≤y}．所以知识点解析：暂无解析19、计算其中a，b＞0．标准答案：知识点解析：暂无解析20、计算其中D：x2+y2≤1．标准答案：知识点解析：暂无解析21、计算标准答案：由题意知所以知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续且单调递增，证明：标准答案：设其中D：a≤x≤b，a≤y≤b．因为D关于y=x对称，所以故由f(x)，g(x)在[a，b]上单调递增，得2I≥0，即I≥0，故知识点解析：暂无解析23、设D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2e}，计算二重积分标准答案：如图1．5—14所示，将D分成D1∪D2，D1与D2除边界之外无公共部分．知识点解析：暂无解析24、计算其中D={(x，y)|0≤y≤1一x，y≤x}．标准答案：积分区域D如图1．5—15所示，在极坐标中，知识点解析：暂无解析25、计算二重积分其中D在极坐标系统中表示为标准答案：改用直角坐标，其中D={(x，y)|0≤y≤x≤1}，于是知识点解析：暂无解析26、设平面区域求二重积分标准答案：由D关于y轴对称，令有再令D2={(x，y)|x2+y2≤8，y≥x≥0}，用极坐标分别计算D2与D3上的上述二重积分．知识点解析：暂无解析27、求其中D是由曲线xy=2，直线y=x一1及y=x+1所围成的区域．标准答案：作出D的平面图形如图1．5—16所示．因积分区域关于原点O对称，被积函数又是x与y的偶函数，故这里D1={(x，y)|0≤x≤1，x一1≤y≤0)，D2={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x+1)，D3={(x，y)|1≤x≤2,x-1≤y≤}于是知识点解析：暂无解析28、设D={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤2}，求标准答案：将D分成两块：D1={(x，y)|0≤x≤π，sinx≤y≤2}，D2={(x，y)10≤x≤π，0≤y≤sinx}，知识点解析：暂无解析设常数a＞0，函数g(x)在区间[一a，a]上存在二阶导数，且g"(x)＞0．29、令h(x)=g(x)+g(一x)，证明：在区间[0，a]上h’(x)≥0，且仅当x=0时，h’(x)=0；标准答案：h’(x)=g’(x)一g’(一x)，h’(0)=0，h"(x)=g"(x)+g"(一x)＞0，由拉格朗日中值定理，有h’(x)=h’(0)+h"(ξ)(x一0)=h"(ξ)x＞0，x∈(0，a]．知识点解析：暂无解析30、证明：标准答案：因为当0≤x≤a时，h’(x)≥0，h(x)单调增加；f(x)=e-x2在0≤x≤a时单调减少，所以不论0≤x≤y≤a还是0≤y≤x≤a，均有[h(x)一h(y)][e-x2一e-y2]≤0，即只要(x，y)∈D={(x，y)|0≤x≤a，0≤y≤a}，有h(x)e-x2+h(y)e-y2)≤h(x)e-y2+h(y)e-x2．于是有即有又因为h(x)与e-y2都是偶函数，所以再以h(x)=g(x)+g(一x)代入，并注意到同理从而式(*)成为证毕．知识点解析：暂无解析考研数学二（二重积分）模拟试卷第6套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、其中D={(x，y)|x2+y2≤1)，则()A、c＞b＞aB、a＞b＞cC、b＞a＞cD、c＞a＞b标准答案：A知识点解析：由于D={(x，y)|x2+y2≤1)，所以由cosx在上单调减少可得因此有c＞b＞a．2、设平面区域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若则I1，I2，I3的大小顺序为()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2标准答案：C知识点解析：在D内，所以ln(x+y)＜0＜sin(x+y)＜x+y，于是3、设平面区域D：(x一2)2+(y一1)2≤1，若比较的大小，则有()A、I1=I2B、I1＞I2C、I1＜I2D、不能比较标准答案：C知识点解析：由二重积分的比较性质，只需比较D上(x+y)2与(x+y)3的大小，即x+y与1的大小．从几何的角度也就是考查圆域D与直线x+y=1的位置关系．因积分区域D的圆心(2，1)到直线x+y=1的距离(1为圆的半径)，故闭区域D在直线x+y=1的上方，即(x，y)∈D，有x+y＞1，从而在D上(x+y)2＜(x+y)3，则I1＜I2．4、二次积分写成另一种次序的积分是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：改变积分次序的步骤是：①由原累次积分的上、下限写出来表示为积分区域D的联立不等式，并作出D的草图，原积分变成二重积分②按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式．由已知积分的上、下限，可知积分区域的不等式表示为D：如图1．5—1所示．则5、已知则I=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：如图1．5—2所示，积分区域由两部分组成设将D=D1∪D2视为y型区域，则从而故应选(A)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=0所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为_________，其值等于__________．标准答案：知识点解析：由得交点A(e，1)．所求平面图形的面积为7、二重积分的符号为____________．标准答案：负号知识点解析：二重积分的积分值符号由被积函数在积分区域内的正负号所确定．积分区域D：|x|+|y|≤1．因0≤x2+y2≤(|x|+|y|)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln1=0，但又不恒等于零，故8、设D={(x，y)|1≤x2+y2≤e2)，则二重积分标准答案：知识点解析：被积函数含有x2+y2的形式，且积分区域是以原点为中心的圆环区域，选用极坐标计算较方便．故9、设f(u)为连续函数，D是由y=1，x2一y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则标准答案：0知识点解析：因积分区域D关于y轴对称，被积函数xf(y2)关于变量x是奇函数，故10、设交换积分次序后，I=_________．标准答案：知识点解析：积分区域D为：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲线y=e2x，y=ex与直线x=1的交点分别为(1，e2)与(1，e)．故三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)11、计算标准答案：知识点解析：暂无解析12、计算标准答案：知识点解析：暂无解析13、计算标准答案：知识点解析：暂无解析14、计算标准答案：知识点解析：暂无解析15、计算标准答案：知识点解析：暂无解析16、计算其中D是由圆周x2+y2=4，x2+y2=1及直线y=0，y=x所围的位于第一象限的闭区域．标准答案：知识点解析：暂无解析17、变换二次积分的积分次序：标准答案：如图1．5—5所示，积分区域D：故知识点解析：暂无解析18、计算二重积分其中D是由直线y=x和曲线y=x3所围成的位于第一象限的封闭区域．标准答案：知识点解析：暂无解析19、计算二重积分其中D={(x，y)|0≤y≤x，x2+y2≤2x}．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求二重积分其中D是由曲线直线y=2，y=x所围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设计算其中D为正方形区域{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．标准答案：知识点解析：暂无解析22、计算标准答案：由y=x2得则其中D={(x，y)10≤x≤1，x2≤y≤x}．知识点解析：暂无解析23、计算标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算标准答案：积分区域如图1．5—7所示，交换积分次序，得知识点解析：暂无解析记平面区域D={(x，y)||x|+|y|≤1}，计算如下二重积分：25、其中f(t)为定义在(一∞，+∞)上的连续正值函数，常数a＞0，b＞0；标准答案：易见，积分区域D是边长为的正方形，故其面积SD=2，因为积分区域D关于直线y=x对称，则由二重积分的性质有知识点解析：暂无解析26、常数λ＞0．标准答案：因为积分区域D关于直线y=x对称，又关于y轴，x轴对称；函数eλx一e-λx，eλy一e-λy分别关于x，y为奇函数，则由二重积分的性质得知识点解析：暂无解析27、设p(x)在[a，b]上非负且连续，f(x)与g(x)在[a，b]上连续且有相同的单调性，其中D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}，比较的大小，并说明理由．标准答案：因为又由于D关于直线y=x对称，所以I1一I2又可以写成所以因g(x)与f(x)的单调性相同，所以[f(x)一f(y)][g(x)一g(y)]≥0，从而知I1一I2≤0，有I1≤I2．知识点解析：暂无解析28、设函数f(x，y)连续，且其中D由x=1，y=2围成，求f(x，y)．标准答案：设则故两边求二重积分，则从而故知识点解析：这是一道综合题目，表面看来很复杂，只要分析清楚了并不难．首先可以知道积分是一个常数，因此变为两边再求二重积分就可解决了．29、交换累次积分I的积分次序：标准答案：由累次积分I的积分上、下限容易写出其对应的二重积分的积分区域D=D1∪D2，其中显然，平面区域D的边界曲线为抛物线上半圆弧与直线y=0，则D1，D2也可以写为于是，累次积分交换积分次序后为知识点解析：暂无解析30、交换累次积分I的积分次序：标准答案：由累次积分，的积分上、下限容易写出其对应的二重积分的积分区域D=D1∪D2∪D3，其中根据区域D的表达式可知，D的边界曲线由上半圆直线x=0与抛物线y=x—x2组成，故可用不等式表示为于是，累次积分I化为另一种先对y后对x的累次积分知识点解析：暂无解析考研数学二（二重积分）模拟试卷第7套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、设D是有界闭区域，下列命题中错误的是A、若f(x，y)在D连续，对D的任何子区域D0均有f(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0((x，y)∈D)．B、若f(x，y)在D可积，f(x，y)≥0但不恒等于0((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．C、若f(x，y)在D连续，f2(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0((x，y)∈D)．D、若f(x，y)在D连续，f(x，y)＞0((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．标准答案：B知识点解析：直接指出其中某命题不正确．因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积分值，因此命题(B)不正确．设(x0，y0)是D中某点，令f(x，y)=则在区域D上f(x，y)≥0且不恒等于0，但f(x，y)dσ=0．因此选B．或直接证明其中三个是正确的．命题A是正确的．用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证．若f(x，y)在D不恒为零=>(x0，y0)∈D，f(x0，y0)≠0，不妨设f(x0，y0)＞0，由连续性=>有界闭区域D0D，且当(x，y)∈D0时f(x，y)＞0=>f(x，y)dσ＞0，与已知条件矛盾．因此，f(x，y)≡0((x，y)∈D)．命题D是正确的．利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证．这是因为f(x，y)≥=f(x0，y0)>0，其中(x0，y0)是D中某点．于是由二重积分的不等式性质得f(x，y)dσ≥f(x0，y0)σ＞0，其中σ是D的面积．命题(C)是正确的．若f(x，y)0=>在(x，y)∈D上f2(x，y)≥0且不恒等于0．由假设f2(x，y)在D连续=>f2(x，y)dσ＞0与已知条件矛盾．于是f(x，y)≡0在D上成立．因此选B．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)2、设D为两个圆：x2+y2≤1及(x－2)2+y2≤4的公共部分，则I=ydxdy=________．标准答案：0知识点解析：D关于x轴对称，被积函数对y为奇函数=>I=0．3、I==________．标准答案：知识点解析：区域如图8．2所示，由对称性与奇偶性=>I=其中D1：0≤y≤1－x，0≤x≤1．4、设，则这三个积分的大小顺序是________＜________＜________．标准答案：I3；I1；I2知识点解析：比较I1与I2，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x2+y2≤1)包含在正方形区域(｜x｜≤1，｜y｜≤1)中=>I1＜I2．比较I1与I3，积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知x4+y42x2y2I1＞I3．因此I3＜I1＜I2．三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)5、将f(x，y)dxdy化为累次积分，其中D为x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．标准答案：如图8．5，x2+y2=2ax与x2+y2=2ay是两个圆，其交点为0(0，0)，P(a，a)．因此，若先对y积分，就有若先对x求积分，则知识点解析：暂无解析6、在极坐标变换下将f(x，y)dσ化为累次积分，其中D为：x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．标准答案：由于两个圆在极坐标下的表达式分别为：r=2acosθ与r=2asinθ，交点P处的极坐标是，于是连接OP将区域D分成两部分(见图8．13)．则知识点解析：暂无解析7、求I=，其中D为y=，y=x及x=0所围成区域．标准答案：区域D如图8．15．被积函数只含y，先对x积分，虽然积