山西省2023-2024学年朔州市部分学校九年级（上）第二次月考数学试卷 （含解析）

2023-2024学年山西省朔州市部分学校九年级第一学期第二次月考数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、单项选择题（共10个小题，每小题3分.共30分，在每小题给出的四个选项中，1．下列四个车标图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的异号实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．没有实数根3．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，5），且顶点坐标为（2，1），关于该抛物线，下列说法正确的是（）A．表达式为y＝x2+4x+5 B．图象开口向下 C．图象与x轴有两个交点 D．当x＜1时，y随x的增大而减小4．甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（）A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同 C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平5．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是（）A．＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．＝28 D．x（x﹣3）＝286．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝30°，则∠B的度数是（）A．30° B．25° C．40° D．50°7．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（）A． B．3 C．2 D．38．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（）A．2026 B．2024 C．2022 D．20209．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A． B． C． D．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：①abc＞0，②当﹣3＜x＜1时，y＞0，③4a+2b+c＞0，④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．正确的个数是（）x…﹣4﹣﹣1…y…﹣0…A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）11．写出一个一元二次方程，它的根为﹣1和3，这个方程可以是：．12．如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为．13．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°，则图中阴影部分的面积．14．小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．15．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是．三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（16分）解方程（1）（x+2）2﹣25＝0（2）x2+4x﹣5＝0（3）x2﹣5x+6＝0（4）2x2﹣7x+3＝0．17．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；（2）在图2中．①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；②请直接写出：点B到AC的距离为．18．“学习强国”平台功能强大，其中有个学习项目是“四人赛”，参与比赛的四人都可以完成两局．其积分规则如下：首局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次各积1分；每日仅前两局得分．（1）若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分是几分的概率最大？（2）若李老师完成了前两局比赛，求他前两局积分之和恰好是4分的概率．19．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）．（1）求矩形花坛的宽是多少米；（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米．20．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求这个二次函数的图象的顶点C的坐标，并指出当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；（2）求这个二次函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．21．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边cm，腰AB＝10cm，求弧BC的长．22．请阅读下列材料，并完成相应的任务．人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．下面是弦切角定理的部分证明过程：证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．23．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积；（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当△CMN为等腰直角三角形时，点N的坐标为．

参考答案一、单项选择题（共10个小题，每小题3分.共30分，在每小题给出的四个选项中，1．下列四个车标图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．该题答案：D．2．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的异号实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．没有实数根解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，设x2﹣2x﹣1＝0的两根为α，β，则αβ＝﹣1，∴α与β异号，该题答案：B．3．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，5），且顶点坐标为（2，1），关于该抛物线，下列说法正确的是（）A．表达式为y＝x2+4x+5 B．图象开口向下 C．图象与x轴有两个交点 D．当x＜1时，y随x的增大而减小解：∵抛物线顶点坐标为（2，1），∴y＝a（x﹣2）2+1，将（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1得5＝4a+1，解得a＝1，∴y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5，∴x＜2时，y随x增大而减小，该题答案：D．4．甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（）A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同 C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平解：由题意，列表如下：石剪布石（石，石）（石，剪）（石，布）剪（剪，石）（剪，剪）（剪，布）布（布，石）（布，剪）（布，布）由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲获胜的有3种结果，乙获胜的有3种结果，所以甲获胜的概率＝乙获胜的概率＝＝，该题答案：C．5．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是（）A．＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．＝28 D．x（x﹣3）＝28解：设一共邀请了x支球队参加比赛，由题意得，＝28．该题答案：C．6．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝30°，则∠B的度数是（）A．30° B．25° C．40° D．50°解：如图，连接OA．∵AC是切线，∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵∠AOC＝∠B+∠OAB＝60°，∴∠B＝∠OAB＝30°．该题答案：A．7．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（）A． B．3 C．2 D．3解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OA、OD，∵AC＝4，BC＝2，∴AB＝6，∵OE⊥AB，∴AE＝BE＝3，∴CE＝3﹣2＝1，设OE＝x，在Rt△OAE中，OA2＝x2+9，在Rt△OCE中，OC2＝x2+1，∵CD⊥OC，∴CD2＝OD2﹣OC2＝x2+9﹣（x2+1）＝8，∴CD＝（舍负）．故选C．8．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（）A．2026 B．2024 C．2022 D．2020解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴a2+a＝3，a+b＝﹣1，∴b＝﹣a﹣1，∴a2﹣b+2022＝a2﹣（﹣a﹣1）+2022＝a2+a+1+2022＝3+1+2022＝2026．该题答案：A．9．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A． B． C． D．解：①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；②当2＜x≤4时，y＝S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）＝﹣x2+2x所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．该题答案：A．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则下列式子：①abc＞0，②当﹣3＜x＜1时，y＞0，③4a+2b+c＞0，④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝3．正确的个数是（）x…﹣4﹣﹣1…y…﹣0…A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①由于二次函数y＝ax2+bx+c有最大值，∴a＜0，开口向下，∵对称轴为直线x＝＝﹣1，∴b＜0，∵图象经过点（1，0），∴c＞0，∴abc＞0，故说法正确；②∵对称轴为直线x＝﹣1，∴点（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∵a＜0，开口向下，∴当﹣3＜x＜1时，y＞0，故说法正确；③当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故说法错误；④∵点（﹣4，﹣）关于直线x＝﹣1的对称点是（2，﹣），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣（a≠0）的解是x1＝﹣4，x2＝2，故说法错误．该题答案：B．二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）11．写出一个一元二次方程，它的根为﹣1和3，这个方程可以是：．解：设方程x2﹣mx+n＝0的两根为﹣1和3，∴﹣1+3＝m，﹣1×3＝n，∴m＝2，n＝﹣3，∴该方程为x2﹣2x﹣3＝0，答案：x2﹣2x﹣3＝0．12．如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝x2上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为．解：如图，作出B的对称点B′，连接AB′交y轴于P，则P就是使△PAB的周长最小时．∵B、B′关于y轴对称，∴PB＝PB′，∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，∴此时△PAB的周长最小，∵B（3，9），∴B′（﹣3，9），∵A（1，1），设直线AB′的直线方程为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB′的解析式为y＝﹣2x+3，∴P点的坐标为（0，3）．∴S△PAB＝S△B′BA﹣S△B′BP＝×6×（9﹣1）﹣＝6，答案：6．13．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°，则图中阴影部分的面积．解：连接OC，交BD于点E，如图所示，∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵∠OBD＝30°，∴∠OEB＝∠CED＝90°，∴BE＝DE，在△OBE和△CDE中，，∴△OBE≌△CDE（ASA），∴，答案：6π．14．小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．解：∵小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，数学2页，∴他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为＝．故答案为．15．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是．解：如图，连接BC，与对称轴交点则为点P，连接AP、AC．由线段垂直平分线性质，得AP＝BP，∴CB＝BP+CP＝AP+CP，∴AC+AP+CP＝AC+BC，根据“两点之间，线段最短”，得△APC周长的最小，抛物线y＝﹣x2+x+3中，令y＝0，解得x＝4或x＝﹣2；令x＝0，解得y＝3，∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），∴OA＝2，OB＝4，OC＝3，在Rt△AOC中，有AC＝＝＝，在Rt△BOC中，有BC＝＝＝5，∴△APC的周长的最小值为：+5，故答案为+5．三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（16分）解方程（1）（x+2）2﹣25＝0（2）x2+4x﹣5＝0（3）x2﹣5x+6＝0（4）2x2﹣7x+3＝0．解：（1）（x+2）2＝25，x+2＝±5，所以x1＝﹣7，x2＝3；（2）解：（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣5，x2＝1；（3）解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝2，x2＝3；（4）解：（2x﹣1）（x﹣3）＝0，2x﹣1＝0或x﹣3＝0，所以x1＝，x2＝3．17．如图1与图2，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点及点O均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；（2）在图2中．①作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′；②请直接写出：点B到AC的距离为．解：（1）如图1中，△A′B′C′即为所求．（2）①如图2中，△AB′C′即为所求．②设AC边上的高为h，•AC•h＝•2•4，解得h＝2，解法二：求出AC′边上的高即可．由图象可知，AC′边上的高为2，故AC边上的高为2．答案：2．18．“学习强国”平台功能强大，其中有个学习项目是“四人赛”，参与比赛的四人都可以完成两局．其积分规则如下：首局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次各积1分；每日仅前两局得分．（1）若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分是几分的概率最大？（2）若李老师完成了前两局比赛，求他前两局积分之和恰好是4分的概率．解：（1）李老师获得的积分是2分的概率最大，为＝；（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中李老师前两局积分之和恰好是4分的结果有5种，∴李老师前两局积分之和恰好是4分的概率为．19．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长50米，宽32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多15米，阴影铺设地砖的面积是1125平方米．（π取3）．（1）求矩形花坛的宽是多少米；（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费100元，乙工程队每平方米施工费120元，若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米．解：（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+15）米，依题意得：50×32﹣4x•（x+15）﹣3×（10÷2）2＝1125，整理得：x2+15x﹣100＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣20（不合题意，舍去）．答：矩形花坛的宽是5米．（2）设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×（5+15）﹣y]＝（400﹣y）平方米，依题意得：100y+120（400﹣y）≤42000，解得：y≥300．答：至少要安排甲队施工300平方米．20．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求这个二次函数的图象的顶点C的坐标，并指出当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围；（2）求这个二次函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线开口系数，对称轴为直线x＝2，顶点C的坐标为（2，﹣1），∴当x＞2时，y随x的增大而增大；（2）令y＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）（或点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0））．∴AB＝3﹣1＝2，∴S△ABC＝×2×|﹣1|＝1．21．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边cm，腰AB＝10cm，求弧BC的长．解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心；（2）连接BC，OB，OC，OA，BC与OA相交于点D，∵△ABC是等腰三角形，腰AB＝10cm，∴AB＝AC，∴，∴OA⊥BC，∴BD＝，在Rt△ABD中，sin∠BAD＝，∴∠BAD＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝5，∠BOA＝60°，∴∠BAC＝2∠BOA＝120°，∴弧BC的长为．答：弧BC的长为．22．请阅读下列材料，并完成相应的任务．人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．下面是弦切角定理的部分证明过程：证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．解：（1）如图②，∵AD是⊙O直径，∴∠DEA＝90°．∵AB与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°．∴∠CED+∠DEA＝∠CAD+∠DAB，即∠CEA＝∠CAB，∴弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数；（2）证明：如图③，过点A作直径AF交⊙O