新高考数学二轮复习重难点7-1 圆的最值与范围问题（8题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）

重难点7-1圆的最值与范围问题与圆相关的最值问题是近几年高考数学对圆的考查的重点内容。主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值及问题。一般以选择题和填空题的形式考查，但还需注意与圆锥曲线相结合的问题。【题型1圆上一点到定点的最值范围】满分技巧圆上的点到定点的距离最值问题：一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值。已知圆及圆外一定点，设圆的半径为，则圆上点到点距离的最小值为，最大值为，即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.【例1】（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）已知SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．8B．9C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式1-1】（2024·北京朝阳·高三统考期末）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式1-2】（2023·山东潍坊·昌邑市第一中学校考模拟预测）已知复数SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．3【变式1-3】（2023·上海·高三市实验学校校考阶段练习）若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．SKIPIF1<0点在圆SKIPIF1<0上运动，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【变式1-4】（2024·重庆·统考一模）过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为直角三角形，SKIPIF1<0为坐标原点，则SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【题型2圆上一点到直线的最值范围】满分技巧圆上的点到直线的距离最值问题：已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于【例2】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知直线SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【变式2-1】（2024·广东湛江·统考一模）已知点P为直线SKIPIF1<0上的动点，过P作圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆SKIPIF1<0上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为．【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）圆SKIPIF1<0上到直线SKIPIF1<0的距离等于1的点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式2-3】（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的动点，平面内的动点SKIPIF1<0到两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0距离的最小值为．【变式2-4】（2024·广东茂名·统考一模）动点SKIPIF1<0与两个定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距离的最大值为.【题型3过圆内定点的最值范围】满分技巧过圆内定点的弦长最值：已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长为直径，最短为与该直径垂直的弦.【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中学校考期末）设直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式3-1】（2023·山西忻州·高三校联考阶段练习）直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0所截得的弦长的最小值为.【变式3-2】（2024·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知圆C:SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．1D．SKIPIF1<0【变式3-3】（2023·河南·高三统考阶段练习）过圆SKIPIF1<0内点SKIPIF1<0有若干条弦，它们的长度构成公差为d的等差数列SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分别为过点SKIPIF1<0的圆的最短弦长和最长弦长，则SKIPIF1<0的取值集合为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知圆SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，当圆SKIPIF1<0被直线SKIPIF1<0截得的弦长最短时，直线SKIPIF1<0的方程为.【题型4圆的切线长的最值范围】满分技巧切线长度的最值求法1、代数法：利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.【例4】（2024·湖北·校联考模拟预测）已知点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的一点，过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，切点为SKIPIF1<0，则切线长SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式4-1】（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，点P在标准单位圆上，过点P作圆C：SKIPIF1<0的切线，切点为Q，则SKIPIF1<0的最小值为．【变式4-2】（2023·河北石家庄·高三统考期中）已知动点SKIPIF1<0到两个定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线，切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的动点，过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的切线，切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【变式4-4】（2023·浙江·模拟预测）已知圆SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，由圆外一点SKIPIF1<0向圆SKIPIF1<0引切线，切点分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【题型5距离和差的最值范围】满分技巧圆中的距离和差问题可借助圆的几何特性进行举例转化，有时需结合对称性及三点共线距离最短的性质求解最值。【例5】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上一点，过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0点为切点），SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上一动点．则SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式5-1】（2024·江西·高三校联考期末）已知A为圆C：SKIPIF1<0上的动点，B为圆E：SKIPIF1<0上的动点，P为直线SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最大值为.【变式5-2】（2023·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知点SKIPIF1<0，点O是坐标原点，点Q是圆SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最大值为.【变式5-3】（2023·上海青浦·高三校考期中）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）.A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式5-4】（2023·河南郑州·高三郑州市宇华实验学校校考期中）已知圆O：SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，M为圆O上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【题型6与角度有关的最值范围】满分技巧与角度有关的最值范围问题的处理方法：利用三角函数定义，将三角函数值转化为边的比值，观察线段之间的关系再进行处理。【例6】（2024·全国·模拟预测）设点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的动点，过点SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切的两条直线的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为．【变式6-1】（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上一点，过SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式6-2】（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式6-3】（2024·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），过SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0向圆SKIPIF1<0引切线，切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式6-4】（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）在SKIPIF1<0中，已知D为边BC上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的最大值为2，则常数SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【题型7代数式几何意义的最值范围】满分技巧利用代数法的几何意义求最值1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题；2、形如的最值问题，可以转化为点和点距离的平方的最值问题；3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题【例7】（2023·河南驻马店·高三河南省驻马店高级中学校联考期末）若点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0上一点,则SKIPIF1<0的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【变式7-1】（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）已知平面四边形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，坐标平面内的点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是【变式7-2】（2023·四川凉山·统考一模）已知SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上的点，则SKIPIF1<0的取值范围是.【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足方程SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为；SKIPIF1<0的最大值为．【变式7-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知直线SKIPIF1<0交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．9B．16C．27D．30【题型8圆中面积的最值范围】满分技巧与圆有关的面积最值问题一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解。【例8】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）直线SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0面积的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式8-1】（2024·广东广州·高三玉岩中学校考开学考试）已知点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的一点，过点P作圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式8-2】（2023·全国·模拟预测）设点P是圆SKIPIF1<0上的动点，过点P作圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最大值为.【变式8-3】（2024·山西吕梁·统考一模）已知圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的动点，以SKIPIF1<0为直径的圆与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，则四边形SKIPIF1<0面积的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．4【变式8-4】（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，过直角坐标原点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0分别交两圆于SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0分别交两圆于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0面积的最大值为（建议用时：60分钟）1．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．1B．SKIPIF1<0C．2D．SKIPIF1<02．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若动点P满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．16B．17C．18D．193．（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2024·河北·高三张北县第一中学校联考开学考试）已知圆SKIPIF1<0上有一动点P，圆SKIPIF1<0上有一动点Q，直线SKIPIF1<0上有一动点M，直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．4B．5C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．（2022·四川广安·高三岳池中学校考阶段练习）已知点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上任意一点，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<06．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为A，B，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．（2024·广东肇庆·校考模拟预测）（多选）已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．直线SKIPIF1<0过定点B．点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的最大距离为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<08．（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）（多选）已知圆的圆心在直线SKIPIF1<0上，且与SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作圆的两条互相垂直的弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.记线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A．圆的方程为SKIPIF1<0B．四边形SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0C．弦SKIPIF1<0的长度的取值范围为SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<09．（2023·湖北荆州·湖北省松滋市第一中学校考模拟预测）（多选）已知圆SKIPIF1<