新高考数学二轮复习重难点5-2 数列前n项和的求法（8题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）

重难点5-2数列前n项和的求法数列求和是高考数学的必考内容，一般利用等差数列的通项来构建考查裂项求和，构建等差等比数列考查错位相减法求和，解答题中等差数列、等比数列通项的考查往往是第1问，数列求和则是第2问。近几年在数列求和中加大了思维能力的考查，减少了对程序化计算（错位相减、裂项相消）的考查，主要基于新的情景，要求考生通过归纳或挖掘数列各项间关系发现规律再进行求和。【题型1公式法求数列前n项和】满分技巧（1）等差数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）一些常见的数列的前n项和：①SKIPIF1<0；SKIPIF1<0②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；=4\*GB3④SKIPIF1<0【例1】（2023·广东珠海·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0为等比数列，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【变式1-1】（2023·宁夏银川·高三校联考阶段练习）设正项等比数列SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的等差中项为SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，求SKIPIF1<0.【变式1-2】（2023·山西·校考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【变式1-3】（2023·四川德阳·统考一模）已知首项为SKIPIF1<0的等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差数列.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的最大项.【变式1-4】（2023·山西临汾·校考模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，求使得SKIPIF1<0成立的最小正整数n的值．【题型2分组法求数列前n项和】满分技巧（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．（2）常见类型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；=2\*GB3②通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.【例2】（2023·山西忻州·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【变式2-1】（2023·江苏无锡·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【变式2-2】（2023·江西贵溪·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）令SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前10项和．【变式2-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前2n项和SKIPIF1<0.【变式2-4】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【题型3并项法求数列前n项和】满分技巧一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，SKIPIF1<0．【例3】（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）若数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0，则该数列的前100项之和为.【变式3-1】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【变式3-2】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前23项的和SKIPIF1<0.【变式3-3】（2023·湖南邵阳·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【变式3-4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求证：数列SKIPIF1<0为等比数列；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项的和SKIPIF1<0．【题型4逆序相加法求数列前n项和】满分技巧如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．【例4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0为正项等比数列，且SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．2023B．2024C．SKIPIF1<0D．1012【变式4-1】（2023·山东潍坊·高三安丘市第一中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为等比数列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，利用课本中推导等差数列前SKIPIF1<0项和的公式的方法，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．2017C．4034D．8068【变式4-2】（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【变式4-4】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求SKIPIF1<0.【题型5错位相减法求数列前n项和】满分技巧1、解题步骤2、注意解题“3关键”①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．3、等差乘等比数列求和，令SKIPIF1<0，可以用错位相减法．SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0．整理得：SKIPIF1<0．【例5】（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0是等差数列.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【变式5-1】（2023·青海·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【变式5-2】（2023·山东泰安·高三统考期中）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和.【变式5-3】（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【变式5-4】（2023·江苏南京·高三期末）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（1）设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0是等差数列；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【题型6裂项相消法求数列前n项和】满分技巧1、用裂项法求和的裂项原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．2、裂项相消法中常见的裂项技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【例6】（2023·四川南充·统考一模）已知数列SKIPIF1<0是首项为2的等比数列，公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前2023项和SKIPIF1<0．【变式6-1】（2023·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是n、SKIPIF1<0的等差中项，SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0是等比数列；（2）设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【变式6-2】（2023·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【变式6-3】（2023·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）已知正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，试比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，并加以证明.【变式6-4】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【题型7含绝对值数列的前n项和】【例7】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【变式7-1】（2023·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的公差为整数，SKIPIF1<0，设其前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【变式7-2】（2023·重庆·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是正项等比数列.SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）当SKIPIF1<0为递增数列，设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【变式7-3】（2023·陕西西安·高三统考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【变式7-4】（2023·全国·模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【题型8数列求和与不等式综合】满分技巧常见的角度主要包括两个方面：一、不等式恒成立小件下，求参数的取值范围；二、不等式的证明，常见方法有不比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。【例8】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0为正项等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求证：数列SKIPIF1<0是等差数列；（2）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（3）设SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【变式8-1】（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且对任意的正整数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项为SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）证明：SKIPIF1<0.【变式8-2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最达整数），SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）令SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【变式8-3】（2023·河北石家庄·高三校联考期末）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0为等差数列，求SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．【变式8-4】（2023·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对一切SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.（建议用时：60分钟）1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为数列的前n项和，SKIPIF1<0（）A．1009B．1010C．1011D．10122．（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0，在正项等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．1011B．1012C．2023D．20243．（2023·天津·高三南开中学校考阶段练习）在公差大于0的等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，则数列SKIPIF1<0的前21项和为（

）A．12B．21C．11D．314．（2023·天津·高三统考期中）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则正整数SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．（2023·广西·模拟预测）设SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是各项都为正数的等比数列．且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．6．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，