新高考数学二轮复习重难点4-2 奔驰定理及三角“四心”向量式（5题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）

重难点4-2奔驰定理及三角形“四心”向量式平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。【题型1三角形“重心”及应用】满分技巧常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）若SKIPIF1<0QUOTEAP=λAB+AC或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则P一定经过三角形的重心（4）若SKIPIF1<0或QUOTEOP=OA+λABABsinB+ACACsinCSKIPIF1<0，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角形的重心【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是平面上一定点，SKIPIF1<0是平面上不共线的三个点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的轨迹一定通过SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【变式1-1】（2022·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不在同一直线上的三个点，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内一动点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的（）A．外心B．重心C．垂心D．内心【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【变式1-3】（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0所在平面内一定点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点轨迹一定通过三角形SKIPIF1<0的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心【变式1-4】（2023·河北·高三统考阶段练习）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【题型2三角形“内心”及应用】满分技巧常见内心向量式：P是∆ABC的内心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，（2）AP=λABAB+AC【例2】（2023·安徽淮南·统考一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D，E分别在线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且D为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0的（）.A．内心B．外心C．重心D．垂心【变式2-1】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上的一点，SKIPIF1<0的三边为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式2-2】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则点P的轨迹一定经过SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【变式2-3】（2023·湖北·模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，则SKIPIF1<0．【变式2-4】（2022·辽宁沈阳·高三校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其内心，内角SKIPIF1<0所对的边分别SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【题型3三角形“外心”及应用】满分技巧常用外心向量式：O是∆ABC的外心，（1）QUOTEOA=OB=OC⟺OA2=OB（2）OA（3）动点P满足OP=OB+则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外心.（4）若OA+OB∙AB=OB【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考期中）在SKIPIF1<0中，动点P满足SKIPIF1<0，则P点轨迹一定通过SKIPIF1<0的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式3-1】（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）在SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，那么动点SKIPIF1<0的轨迹必通过SKIPIF1<0的（）A．垂心B．内心C．重心D．外心【变式3-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为SKIPIF1<0所在平面内一点，在SKIPIF1<0中，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点O为该三角形的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心【变式3-3】（2023·江苏·高三统考期末）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高且SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内心、外心、重心、垂心之一，且满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【题型4三角形“垂心”及应用】满分技巧常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：（1）OA（2）OA（3）动点P满足QUOTEOP=OA+λABABcosB+ACACcosCSKIPIF1<0，λ∈0,+∞，则动点P（4）奔驰定理推论：S∆BOC:S∆COA:【例4】（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【变式4-1】（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，且SKIPIF1<0则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【变式4-3】（2023·上海·高三行知中学校考期中）在四面体SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0不是等边三角形，且点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0内，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）设H是SKIPIF1<0的垂心，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【题型5奔驰定理及应用】满分技巧奔驰定理及其推论1、奔驰定理：O是内的一点，且SKIPIF1<0QUOTEx∙OA+y∙OB+z∙OC=0，则SKIPIF1<02、奔驰定理推论：QUOTEx∙OA+y∙OB+z∙OC=0SKIPIF1<0，则=1\*GB3①SKIPIF1<0=2\*GB3②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0QUOTES∆AOBS∆ABC=zx+y+z.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。【例5】（2022·全国·高三专题练习）点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内一点，若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值分别为（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【变式5-1】（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有SKIPIF1<0及其内一点O，构成如图所示图形，若将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别记作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有关系式SKIPIF1<0．因图形和奔驰车的SKIPIF1<0很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足SKIPIF1<0，则O为SKIPIF1<0的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式5-2】（2024·江西新余·高三统考期末）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．以下命题正确的有（）A．若SKIPIF1<0，则M为SKIPIF1<0的重心B．若M为SKIPIF1<0的内心，则SKIPIF1<0C．若M为SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0【变式5-3】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0的三个内角分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则以下命题正确的有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0有可能是SKIPIF1<0的重心C．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，则SKIPIF1<0为直角三角形【变式5-4】（2024·广东广州·执信中学校考模拟预测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.以下命题正确的有（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心B．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（建议用时：60分钟）1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0是平面内一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面内不共线的三点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的（）A．外心B．重心C．垂心D．内心2．（2022·山西太原·高三统考期中）已知点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在平面内，满SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0依次是SKIPIF1<0的（）A．重心，外心B．内心，外心C．重心，内心D．垂心，外心3．（2022·全国·高三专题练习）在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，O为△SKIPIF1<0的内心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，则“SKIPIF1<0”是“点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0重心”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（2024·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的（）A．内心B．垂心C．重心D．SKIPIF1<0边的中点6．（2022·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0中点，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，则“SKIPIF1<0”为“点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0重心”（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是平面上的一定点，SKIPIF1<0是平面上不共线的三个点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹一定通过SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心8．（2022·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在的平面内，且满足以下条件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心9．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在锐角三角形ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，H为SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，O为SKIPIF1<0的外心，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．9B．8C．7D．610．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0的三个内角分别为SKIPIF1<0为平面内任意一点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0则动点P的轨迹一定经过SKIPIF1<0的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心11．（2022·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<012．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）数学家欧拉于SKIPIF1<0年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点SKIPIF1<0分别为任意SKIPIF1<0的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<013．（2022·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知点P是SKIPIF1<0的重心，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<014．（2022·江西·高三校联考阶段练习）奔驰定理：已知点O是SKIPIF1<0内的一点，若SKIPIF1<0的面积分别记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是SKIPIF1<0的垂心，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<015．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）（多选）点O在SKIPIF1<0所在的平面内，则以下说法正确的有（）A．若SKIPIF1<0，则点O是SKIPIF1<0的重心B．若SKIPIF1<0，则点O是SKIPIF1<0的内心C．若SKIPIF1<0，则点O是SKIPIF1<0的外心D．若SKIPIF1<0，则点O是SKIPIF1<0的垂心16．（2023·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考阶段练习）（多选）已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在的平面内一点，则下列命题正确的是（）A．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0为锐角SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹经过SKIPIF1<0的重心D．若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹经过SKIPIF1<0的内心17．（2023·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）（多选）在SKIPIF1<0所在的平面上存在一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法错误的是（）A．若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹不可能经过SKIPIF1<0的外心B．若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹不可能经过SKIPIF1<0