新高考数学二轮复习热点1-1 集合与复数（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）

热点1-1集合与复数集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式及分式不等式的的形式，结合有限集、无限集考查集合的交集、并集、补集等，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1或2题，以简单题为主，但除了常规考法以外，日常练习中多注意新颖题目的考向。复数是高考数学的必考题，常见考查复数的四则运算、共轭复数、实部、虚部、模等概念，偶尔考查几何意义-复数与平面内的点对应，基本出现在前2题的位置，难度不大，属于容易题。【题型1集合的含义与表示】满分技巧与集合元素有关问题的解题策略1、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．2、利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】（2023上·山东泰安·高三统考期中）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中的元素个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由题意，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，由集合中元素满足互异性，所以SKIPIF1<0.故选：B【变式1-1】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）集合SKIPIF1<0中的元素个数为（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，分别代入可得SKIPIF1<0，所以集合中共有8个元素.故选：D【变式1-2】（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）（多选）下列关系正确的有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】因为SKIPIF1<0是整数，所以SKIPIF1<0，故A错误；因为SKIPIF1<0为无理数，所以SKIPIF1<0，故B正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正确；由于SKIPIF1<0为正整数集，SKIPIF1<0为自然数集，SKIPIF1<0为整数集，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D正确.故选：BCD.【变式1-3】（2023·全国·高三课时练习）集合SKIPIF1<0中只含有1个元素，则实数a的取值是．【答案】0或1【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足题意；当SKIPIF1<0时，要集合P仅含一个元素，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故a的值为0，1【变式1-4】（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）已知集合SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0或3B．0C．3D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不满足集合中元素的互异性，舍去.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，满足题意.综上，SKIPIF1<0.故选：C.【题型2集合与集合间的关系】满分技巧利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[【例2】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知集合SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意可知SKIPIF1<0，由集合间的关系可知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A【变式2-1】（2023上·上海·高三校考期中）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为奇数，所以SKIPIF1<0，故选：C.【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则a的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由函数SKIPIF1<0，可得函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的单调递增函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，要使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.【变式2-3】（2023上·湖北·高三校联考期中）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．-1B．1C．-3D．3【答案】D【解析】由题意：SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0两种情况，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，不满足互异性；若SKIPIF1<0，则解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，显然，SKIPIF1<0符合题意，而当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不满足互异性.综上所述：SKIPIF1<0.故选：D.【变式2-4】（2023上·河南·高三开封高中校联考期中）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数a的值为（）A．1B．0或2C．1或2D．2【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或2，故选：C.【题型3有限集合的子集个数问题】满分技巧如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．【例3】（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中）已知集合SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的真子集个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的真子集个数为SKIPIF1<0.故选：B.【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）设集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的真子集的个数是（）A．3B．4C．7D．8【答案】C【解析】由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的真子集的个数为：SKIPIF1<0，故C项正确.故选：C.【变式3-2】（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．64个【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的子集共有SKIPIF1<0个，故选：D【变式3-3】（2023·山东·校联考模拟预测）满足条件SKIPIF1<0的集合SKIPIF1<0有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，共4个．故选：C．【变式3-4】（2023上·安徽·高三校联考期中）若集合SKIPIF1<0有7个真子集，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为集合SKIPIF1<0有7个真子集，所以集合SKIPIF1<0中包含3个元素，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A【题型4集合的交并补运算】满分技巧集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.【例4】（2023·江苏南通·高三如东高级中学校考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：B【变式4-1】（2023·天津河东·高三统考期中）已知全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C【变式4-2】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】解SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不满足，或SKIPIF1<0不满足；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足，或SKIPIF1<0满足；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足，或SKIPIF1<0不满足.所以，SKIPIF1<0．故选：B.【变式4-3】（2023·江苏无锡·天一中学校考模拟预测）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：C.【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）设全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）不等式SKIPIF1<0，可化为SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．（2）由于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0显然成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0．综上所述，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．【题型5韦恩图在集合中的应用】满分技巧1、对于离散型数集或抽象几何的运算，常借助Venn图求解，数形结合思想的应用；2、解决集合交、并、补运算的技巧：如果所给集合是有限集，则先把集合中的运算意义列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义求解。在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象切解答时不易出错。【例5】（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0是全集SKIPIF1<0的非空子集，且SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为M，N是全集U的非空子集，且SKIPIF1<0，所以韦恩图为：由韦恩图可知，A不正确；B不正确；C不正确；D正确.故选：D【变式5-1】（2023·广东佛山·统考一模）若全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则图中阴影部分表示的集合为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则阴影部分表示SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：D【变式5-2】（2023·重庆渝中·高三统考期中）设SKIPIF1<0均为非空集合，且满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】集合SKIPIF1<0的韦恩图，如图所示，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【变式5-3】（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知全集为U，集合M，N满足SKIPIF1<0，则下列运算结果一定为U的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0得当SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选项A不正确；SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选项B不正确；当SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选项C不正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项D正确.故选：D.【变式5-4】（2023·北京·高三北京八中校考阶段练习）如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】题图中的阴影部分是SKIPIF1<0的子集，不属于集合S，故属于集合S的补集，即是SKIPIF1<0的子集，则阴影部分所表示的集合是SKIPIF1<0故选：C【题型6集合的新定义问题】满分技巧正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.【例6】（2023·湖南·校联考模拟预测）定义集合SKIPIF1<0．已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的元素的个数为4．故选：SKIPIF1<0【变式6-1】（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0叫做集合SKIPIF1<0的长度，若集合SKIPIF1<0的长度为4，则SKIPIF1<0的长度为（）A．3B．4C．5D．10【答案】D【解析】方程SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的长度为4，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的长度为10，故选：D【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则称a为集合A的孤立元素．若集合SKIPIF1<0，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】集合SKIPIF1<0的三元子集有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共20个．满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，一共4种．由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率SKIPIF1<0．故选：C．【变式6-3】（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若集合SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0中所有元素之和为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根据新定义，数集SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则可知所有元素的和为SKIPIF1<0，故选：D.【变式6-4】（2023·安徽合肥·高三校考阶段练习）已知全集SKIPIF1<0且集合SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是非空集合，定义SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【题型7复数的基本运算】【例7】（2023·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0为虚数单位，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．3B．SKIPIF1<0C．5D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C.【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知复数z满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：D.【变式7-2】（2023·江西·高三鹰潭一中校联考期中）已知复数z满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.【变式7-3】（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．3B．25C．9D．5【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0因为复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D【变式7-4】（2023·天津·高三咸水沽第一中学校考期中）已知SKIPIF1<0为实数，若复数SKIPIF1<0为纯虚数，则SKIPIF1<0的值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为复数SKIPIF1<0为纯虚数，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【题型8与复数有关的最值问题】【例8】（2023·全国·模拟预测）已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位），则SKIPIF1<0的最小值为（）A．7B．6C．5D．4【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，在复平面内对应的点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，圆心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0可以看成是点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离，显然此点在圆SKIPIF1<0外，所以SKIPIF1<0.故选：D【变式8-1】（2023·河南郑州·高一校联考期中）已知复数z满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．1B．3C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点为SKIPIF1<0，因为复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以由复数的几何意义可知，点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距离相等，所以在复平面内点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0表示点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离，所以问题转化为SKIPIF1<0上的动点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0距离的最小值，当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时，到定点SKIPIF1<0的距离最小，最小值为1，所以SKIPIF1<0的最小值为1，故选：A．【变式8-2】（2023·上海·高三宜川中学校考期中）复数z满足SKIPIF1<0（i为虚数单位），则SKIPIF1<0的最大值为．【答案】7【解析】令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以复数z对应点在以SKIPIF1<0为圆心，半径为2的圆上，又SKIPIF1<0表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为5，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.【变式8-3】（2023·上海·高三行知中学校考期中）若复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到两定点SKIPIF1<0的距离之和为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为焦点，长轴长为10的椭圆上，由SKIPIF1<0表示椭圆上点到原点距离，故其最小值为短半轴SKIPIF1<0.【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若复数z满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0不同时为0），SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的轨迹是SKIPIF1<0轴（除原点外），此时SKIPIF1<0的几何意义表示复数表示的点和SKIPIF1<0的距离，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，复数SKIPIF1<0的轨迹是以原点为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，如图，根据复数模的几何意义可知，SKIPIF1<0的几何意义是圆上的点到SKIPIF1<0的距离，如图可知，SKIPIF1<0的最小值是点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.（建议用时：60分钟）1．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知集合SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0的个数为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时集合SKIPIF1<0中有两个1，所以SKIPIF1<0不合题意，舍去，当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，集合SKIPIF1<0和集合SKIPIF1<0中均有两个1，所以SKIPIF1<0不合题意，舍去，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合题意，综上，SKIPIF1<0，所以满足SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0的个数为1，故选：B2．（2023·全国·模拟预测）已知全集SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选项A判断错误；SKIPIF1<0，故选项B判断错误；SKIPIF1<0，故选项C判断错误；SKIPIF1<0故选项D判断正确.故选：D.3．（2023·四川成都·高三校考期中）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中元素个数为（

）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中元素个数为4.故选：C4．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则满足集合SKIPIF1<0的集合SKIPIF1<0的子集个数为（）A．2B．3C．4D．8【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0的子集有SKIPIF1<0个.故选：C5．（2023·广东湛江·高三统考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的真子集的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由题设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以共有SKIPIF1<0个子集，其中3个真子集.故选：C6．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知全集为SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列运算结果为SKIPIF1<0的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，绘制Venn图，如下：对于A：SKIPIF1<0，A错误；对于B：SKIPIF1<0，B错误；对于C：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，C错误；对于D：SKIPIF1<0，D正确.故选：D.7．（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故选：C8．（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意得，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0表示整数，SKIPIF1<0表示被3除余2的整数，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：B．9．（2023·全国·模拟预测）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0的个数为（）A．4B．8C．7D．15【答案】B【解析】由题意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0集合SKIPIF1<0的个数为SKIPIF1<0.故选：B.10．（2023·河南·模拟预测）已知集合SKIPIF1<0中恰有两个元素，则a的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由集合SKIPIF1<0中恰有两个元素，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：B．11．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由题意可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：D．12．（2023·河南·高三校联考期中）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.13．（2023·辽宁·高三统考期中）设全集SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由不等式SKIPIF1<0，分解因式可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确，B，C，D均错误．故选：A.14．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，所以，因为为纯虚数，所以，，故，所以，则复数在复平面内对应的点为，则其在第四象限，故选：D.15．（2023·上海·上海交大附中校考三模）已知SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，若集合SKIPIF1<0恰有8个子集，则SKIPIF1<0的可能值有几个（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意易知，SKIPIF1<0，均是集合SKIPIF1<0中的元素，又集合SKIPIF1<0恰有8个子集，故集合SKIPIF1<0只有三个元素，有SKIPIF1<0，则结合诱导公式易知，SKIPIF1<0可取的值是4或5.故选：B16．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则称a为集合A的孤立元素．若集合SKIPIF1<0,集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKI