新高考数学二轮复习热点2-4 导数的切线问题（6题型+满分技巧+限时检测）（解析版）

热点2-4导数的切线问题导数的切线问题一直是高考数学的中重点内容，从近几年的高考情况来看，今年高考依旧会涉及导数的运算及几何意义，以选择填空题的形式考察导数的意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档。【题型1“在”点P处的切线问题】满分技巧求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率第二步（写方程）：用点斜式第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。【例1】（2023·广东肇庆·高三校考阶段练习）曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0【变式1-1】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故所求切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若点SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象上任意一点，直线SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0处的切线，则直线SKIPIF1<0倾斜角的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】函数SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0，显然直线SKIPIF1<0的倾斜角为钝角，所以直线SKIPIF1<0的倾斜角的取值范围是SKIPIF1<0.故选：C【变式1-3】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与曲线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又切线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，设切点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以切线斜率为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【题型2“过”点P处的切线问题】满分技巧求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．【例2】（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线SKIPIF1<0的两条切线，则这两条切线方程为（）A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以切线斜率为1，从而切线方程为SKIPIF1<0．由对称性知：另一条切线方程为SKIPIF1<0．故选：A【变式2-1】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0的一条切线，则SKIPIF1<0．【答案】2【解析】设SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切的切点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0，切线斜率为SKIPIF1<0，因此切线方程为SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，联立消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式2-2】（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0．【答案】2【解析】直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，所以SKIPIF1<0，所以切点为SKIPIF1<0，切点在直线SKIPIF1<0上，可得SKIPIF1<0.【变式2-3】（2023·陕西·校联考模拟预测）函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0相切，则以下错误的是（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①，所以切点为SKIPIF1<0，而斜率为SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0②.由①②得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C选项错误，D选项正确.所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，A选项正确.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，B选项正确.故选：C【题型3切线的平行、垂直问题】满分技巧结合平行垂直的斜率关系解决与切线平行、垂直的问题。【例3】（2023·广东茂名·统考二模）已知曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线平行，则SKIPIF1<0的值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由题意可知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【变式3-1】（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．1C．SKIPIF1<0D．2【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为切线与SKIPIF1<0垂直，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.【变式3-2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若曲线SKIPIF1<0存在垂直于SKIPIF1<0轴的切线，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有解，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有解，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调增，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：C．【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0平行，求出这条切线的方程.【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由已知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0化简得：SKIPIF1<0.故所求切线方程为：SKIPIF1<0.【题型4切线的条数问题】满分技巧已知SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0，可作曲线的SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）条切线问题第一步：设切点SKIPIF1<0第二步：计算切线斜率SKIPIF1<0；第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：SKIPIF1<0.第四步：将SKIPIF1<0代入切线方程，得：SKIPIF1<0，整理成关于SKIPIF1<0得分方程；第五步：题意已知能作几条切线，关于SKIPIF1<0的方程就有几个实数解；【例4】（2023·湖南·校联考二模）若经过点SKIPIF1<0可以且仅可以作曲线SKIPIF1<0的一条切线，则下列选项正确的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【解析】设切点SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，又因为切线经过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有且仅有1个交点，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0单调递增，显然SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，于是符合题意；当SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．综上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：D【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）若曲线SKIPIF1<0有两条过点SKIPIF1<0的切线，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设切点为SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，则切线斜率SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0．∵直线过点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0．∵切线有2条，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：D【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）若曲线SKIPIF1<0有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意得SKIPIF1<0，设过坐标原点的直线与曲线SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且切线的斜率为SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，又切线过坐标原点，因此SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则“曲线SKIPIF1<0有3条过坐标原点的切线”等价于“函数SKIPIF1<0有3个不同的零点”，SKIPIF1<0，当x变化时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的变化情况如下表：xSKIPIF1<00SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋0－0＋SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【变式4-3】（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则直线SKIPIF1<0的条数为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在R上单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0上只有点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0一定不在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0一定为过SKIPIF1<0的一条切线，设切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则切线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，故切线方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在切线上，故SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0只有1个根，即除SKIPIF1<0外，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线还有一条，共2条.故选：C【题型5两条曲线的公切线问题】满分技巧已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）条公切线问题第一步：求公切线的斜率，设SKIPIF1<0的切点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的切点SKIPIF1<0；第二步：求公切线的斜率SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；第三步：写出并整理切线（1）SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0第四步：联立已知条件SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得到关于SKIPIF1<0的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；消去SKIPIF1<0得到关于SKIPIF1<0的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；【例5】（2023·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有公切线，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设公切线与函数SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以公切线的斜率为SKIPIF1<0，所以公切线方程为SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，设公切线与函数SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则公切线的斜率为SKIPIF1<0，所以公切线方程为SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，所以SKIPIF1<0，所以由题意得SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：A【变式5-1】（2023·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）若函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象存在公切线，则实数t的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设公切线与曲线SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，与曲线SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象存在公切线SKIPIF1<0，符合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，综合得实数t的取值范围为SKIPIF1<0.【变式5-2】（2023·辽宁营口·高三校考阶段练习）已知直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的两条切线，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知得，曲线的切线过SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，曲线为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0在曲线上的切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，切线：SKIPIF1<0，又切线过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理取SKIPIF1<0，曲线为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0在曲线上的切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，切线：SKIPIF1<0，又切线过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【变式5-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公共点为SKIPIF1<0，两者在公共点处的切线方程相同，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以舍去SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.【题型6与切线有关的距离最值】满分技巧利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线。【例6】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）已知点P是曲线SKIPIF1<0上的一点，则点P到直线SKIPIF1<0的最小距离为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意可知：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切与点QSKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则切点SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即直线方程为SKIPIF1<0，所以与直线SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的最小距离.【变式6-1】（2023·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0．若A，B分别是曲线SKIPIF1<0和直线l上的动点，则SKIPIF1<0的最小值是【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0平行，即斜率为-2，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离即为SKIPIF1<0的最小值，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.【变式6-2】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知点P在函数SKIPIF1<0的图象上，点Q在函数SKIPIF1<0的图象上，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】由函数SKIPIF1<0，求导可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0；由函数SKIPIF1<0，求导可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0；由直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，易知：直线SKIPIF1<0分别与两条切线垂直.【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由题意知，SKIPIF1<0的最小值可转化为曲线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0的距离的平方的最小值．易知，曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0没有交点，则当曲线SKIPIF1<0在点A处的切线平行于B所在的直线，且AB连线与直线SKIPIF1<0垂直时，两点间距离最小．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以点A到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故M的最小值为SKIPIF1<0．（建议用时：60分钟）1．（2023·云南红河·统考一模）已知函数SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线经过点SKIPIF1<0，则实数m的值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．1D．2【答案】A【解析】由题知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A2．（2023·重庆·高三统考阶段练习）设曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的倾斜角小于SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】令SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，则切线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的倾斜角小于SKIPIF1<0，得切线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：B3．（2023·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，过原点作曲线SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，则切点SKIPIF1<0的坐标为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意可知：SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0，因为切线过原点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：B4．（2023·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的图象有两条与直线SKIPIF1<0平行的切线，且切点坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据题意可知SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，由导数的几何意义可得切点为SKIPIF1<0时，切线斜率为SKIPIF1<0,同理可得，SKIPIF1<0点处切线斜率为SKIPIF1<0；又因为两条切线与直线SKIPIF1<0平行，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0是关于方程SKIPIF1<0的两根，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：B5．（2023·四川凉山·统考一模）函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0的图象上存在两条相互垂直的切线，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，不妨设这两条相互垂直的切线的切点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，不符合题意，可排除A项；所以SKIPIF1<0，此时易知SKIPIF1<0单调递增，要满足题意则需SKIPIF1<0.故选：D6．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0的值为（）A．4B．2C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.7．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若过点SKIPIF1<0可以作三条直线与曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设一个切点为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，可得该点处的切线方程SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则过点SKIPIF1<0切线的条数即为方程SKIPIF1<0的解的个数.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有三个解，故选：D.8．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象在公共点处有相同的切线，则实数SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象公共点坐标为SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，令函数SKIPIF1<0，显然函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，经检验SKIPIF1<0符合题意，所以SKIPIF1<0.故选：B9．（2023·广东·校联考二模）（多选）已知函数SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线为SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0的斜率的最小值为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的斜率的最小值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的斜率的最小值为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：BCD.10．（2023·全国·模拟预测）（多选）若SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最小值为2C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距之差为2D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距之积可能为SKIPIF1<0【答案】AC【解析】对于A，B：由题意可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确，B错误．对于C，D：SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距之差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距之积为SKIPIF1<0，故C正确，D错误．故选：AC11．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为．【答案】SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故切线方程为SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0.12．（2023·全国·模拟预测）函数SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0垂直，则实数SKIPIF1<0．【答案】0【解析】由题可得，SKIPIF1<0，所以在点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，又切线与直线SKIPIF1<0垂直，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．13．（2023·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）设函数SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的斜率的最小值为，此时SKIPIF1<0.【答案】－8；SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.所以SKIPIF1<0的斜率的最小值为－8，此时SKIPIF1<0.14．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的一条公切线方程.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（写出一个即可）【解析】设公切线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，与曲线SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0