新高考数学二轮复习重难点1-1 基本不等式求最值（8题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）

重难点1-1基本不等式求最值基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。【题型1直接法求最值】满分技巧条件和问题之间存在基本不等式的关系转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．【例1】（2023·河南信阳·高三宋基信阳实验中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．0B．1C．-1D．2【变式1-1】（2023·山东聊城·高三统考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式1-2】（2023·上海青浦·高三校考期中）若SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【变式1-3】（2023·河北保定·高三易县中学校考阶段练习）若SKIPIF1<0都是正数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【变式1-4】（2023·河南·模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为．【题型2配凑法求最值】满分技巧将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是.【变式2-1】（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．1D．2【变式2-2】（2023·山西晋中·高三校考开学考试）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．2B．4C．5D．6【变式2-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【变式2-4】（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知正实数x，y满足：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【变式2-5】（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【题型3消元法求最值】满分技巧根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围。【例3】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中）实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【变式3-1】（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知正实数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式3-2】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．4B．6C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式3-3】（2023·重庆·高三渝北中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【变式3-4】（2023·河南洛阳·高三校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【题型4“1”的代换求最值】满分技巧1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.模型1：已知正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值。SKIPIF1<0模型2：已知正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的最小值。SKIPIF1<02、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．【例4】（2023·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知正数a，b满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．25B．36C．42D．56【变式4-1】（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）若正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．1【变式4-2】（2023·辽宁·高三校联考期中）若正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是.【变式4-3】（2023·青海海南·高三校联考期中）已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【变式4-4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）若正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是.【变式4-5】（2023·河南周口·高三校考阶段练习）已知正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【题型5双换元法求最值】满分技巧双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况。具体操作如下：如分母为与，分子为，设∴，解得：【例5】（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．10B．9C．8D．7【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为．【变式5-2】（2023·山东·高三省实验中学校考期中）已知a，b，c均为正实数，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是.【变式5-3】（2023·福建龙岩·高三校联考期中）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【题型6齐次化法求最值】【例6】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知实数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【变式6-2】（2022秋·福建南平·高三校考期中）已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为_________．【题型7构造不等式求最值】满分技巧当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.【例7】（2023·广东江门·高三统考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为.【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．1C．2D．SKIPIF1<0【变式7-2】（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．10B．8C．4D．2【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为______.【变式7-4】（2022秋·山西晋中·高三校考阶段练习）已知正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是___________.【题型8多次使用不等式求最值】满分技巧通过多次使用基本不等式求得代数式最值的过程中，需要注意每次使用基本不等式时等式成立的条件不同。【例8】（2023·新疆喀什·统考一模）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【变式8-1】（2023·上海徐汇·高一上海中学校考期中）若x，y，z均为正实数，则SKIPIF1<0的最大值是．【变式8-2】（2023·辽宁丹东·高三凤城市第一中学校考阶段练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【变式8-3】（2023·天津宁河·高三芦台第一中学校考期末）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是．（建议用时：60分钟）1．（2023·广东·高三统考学业考试）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值（）A．4B．5C．6D．72．（2023·河北·高三统考阶段练习）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．8B．16C．12D．43．（2023·黑龙江牡丹江·高一牡丹江第三高级中学校考期中）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（）A．4B．8C．12D．164．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．（2023·全国·模拟预测）已知点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．4D．26．（2023·广东肇庆·高三统考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．2B．SKIPIF1<0C．4D．SKIPIF1<07．（2023·重庆·高三渝北中学校考阶段练习）若SKIPIF1<0都是正实数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．4D．SKIPIF1<08．（2023·河南·高三校联考期中）已知正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．16B．SKIPIF1<0C．8D．49．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．9B．8C．3D．SKIPIF1<010．（2022·重庆·高三统考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．10B．9C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<011．（2023·湖北·高三校联考期中）（多选）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<012．（2023·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）（多选）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0的最小值为9B．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<013．（2023·山东·高三济南一中校联考期中）（多选）若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则（）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0