新高考数学二轮复习解答题培优练习专题10 数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)（解析版）

专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、典型题型 1题型一：插入新数列构成等差 1题型二：插入新数列构成等比 5题型三：插入新数混合 7二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 11一、典型题型题型一：插入新数列构成等差例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前项和为SKIPIF1<0，且满足：SKIPIF1<0(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个数，使这SKIPIF1<0个数组成一个公差为SKIPIF1<0的等差数列，在数列SKIPIF1<0中是否存在三项SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由SKIPIF1<0①得SKIPIF1<0时SKIPIF1<0②①-②得SKIPIF1<0，①中令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0假设存在这样的三项SKIPIF1<0成等比数列，SKIPIF1<0为递增数列，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，与题设矛盾SKIPIF1<0不存在这样的三项SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差数列）成等比数列.例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式．(2)SKIPIF1<0是不是数列SKIPIF1<0的项？若是，它是SKIPIF1<0的第几项？若不是，说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的第8项．【详解】（1）设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0．由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0．（2）数列SKIPIF1<0的各项依次是数列SKIPIF1<0的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的第8项．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列SKIPIF1<0和其前n项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间插入m个数，使得这SKIPIF1<0个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为SKIPIF1<0，求满足SKIPIF1<0的正整数m的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)6【详解】（1）依题意，设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0；（2）由题意可得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0单调递增，不难发现SKIPIF1<0，故满足题意的m的最小值为6.例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间插入n个数，使这SKIPIF1<0个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0对一切SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设等比数列SKIPIF1<0的公比为q，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减可得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，代入①可得SKIPIF1<0，所以等比数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0；（2）由已知在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间插入n个数，组成以SKIPIF1<0为首项的等差数列，设公差为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是递增数列，当n为偶数时，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当n为奇函数时，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；综上所述，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0及数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个数，使得这SKIPIF1<0个数依次组成公差为SKIPIF1<0的等差数列，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，两式相减，可得SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个数，使得这SKIPIF1<0个数依次组成公差为SKIPIF1<0的等差数列，则有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.题型二：插入新数列构成等比例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列SKIPIF1<0中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为SKIPIF1<0，再在数列SKIPIF1<0插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0中第SKIPIF1<0项前（不含SKIPIF1<0）插入的项的和最小为（

）A．30 B．91 C．273 D．820【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0是以1为首项、3为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是数列SKIPIF1<0的项，3、27、243不是数列SKIPIF1<0的项，且SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0中第7项前（不含SKIPIF1<0）插入的项的和最小为SKIPIF1<0.故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于.【答案】27【详解】依题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例题3．（2023·高二课时练习）设SKIPIF1<0，在a，b之间插入SKIPIF1<0个实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，使得这SKIPIF1<0个数成等差数列，则有结论SKIPIF1<0成立．若SKIPIF1<0，在a，b之间插入SKIPIF1<0个正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，使得这SKIPIF1<0个数成等比数列，则有相应的结论成立．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例题4．（2023·全国·高二专题练习）回答下面两个问题(1)在等差数列中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求a1与Sn．(2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0；（2）设此等比数列SKIPIF1<0的公比为q，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0例题5．（2023春·福建·高二校联考阶段练习）数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成等差数列.(1)计算SKIPIF1<0，猜想数列SKIPIF1<0的通项公式并加以证明；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个数，使这SKIPIF1<0个数组成一个公差为SKIPIF1<0的等差数列，在数列SKIPIF1<0中是否存在3项SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明见解析(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由题意，SKIPIF1<0，在数列SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成等差数列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，猜想SKIPIF1<0.下面我们证明SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴对任意正整数SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0的通项公式为：SKIPIF1<0.（2）由题意及（1）得，SKIPIF1<0在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.假设数列SKIPIF1<0中存在3项SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差数列）成等比数列，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0成等差数列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，这与题设矛盾，所以假设不成立，∴在数列SKIPIF1<0中不存在3项SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差数列）成等比数列.题型三：插入新数混合例题1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知各项均为正数的数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中插入SKIPIF1<0个相同的数SKIPIF1<0，构成一个新数列SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前100项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，递推得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为数列SKIPIF1<0各项均为正数，所以SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0为等差数列，故SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0和插入的SKIPIF1<0个数SKIPIF1<0构成一组数，则前SKIPIF1<0组共有SKIPIF1<0个数，令SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．例题2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；(2)数列SKIPIF1<0依次为：SKIPIF1<0，规律是在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中间插入SKIPIF1<0项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列SKIPIF1<0的前100项的和.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去），由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等差数列，首项为4，公差为3，所以SKIPIF1<0；（2）由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此数列SKIPIF1<0的前100项中含有SKIPIF1<0的前13项，含有SKIPIF1<0中的前87项，所求和为SKIPIF1<0.例题3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正整数），且满足SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项；数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)试确定SKIPIF1<0的值，使得数列SKIPIF1<0为等差数列；(3)当SKIPIF1<0为等差数列时，对每个正整数SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个2，得到一个新数列SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，试求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)2226【详解】（1）由题意，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为数列SKIPIF1<0为等差数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0（常数）知此时数列SKIPIF1<0为等差数列.（3）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个2，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个2，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个2，……则SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项，由SKIPIF1<0个SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例题4．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)在数列SKIPIF1<0的任意SKIPIF1<0与SKIPIF1<0项之间，都插入SKIPIF1<0个相同的数SKIPIF1<0，组成数列SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为首项为1，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0也满足该关系，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0；（2）数列SKIPIF1<0中在SKIPIF1<0之前共有SKIPIF1<0项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例题5．（2023·全国·高三专题练习）记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，对任意正整数SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)对所有正整数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两项中插入SKIPIF1<0，由此得到一个新数列SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前40项和.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)1809【详解】（1）由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，也满足上式.故SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0前40项中有34项来自SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练一、单选题1．（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间插入n个1，构成数列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前18项的和为（

）A．43 B．44 C．75 D．76【答案】C【详解】在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个1，构成数列SKIPIF1<0，所以共有SKIPIF1<0个数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C.2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，保持数列SKIPIF1<0中各项顺序不变，对任意的SKIPIF1<0，在数列SKIPIF1<0的SKIPIF1<0与SKIPIF1<0项之间，都插入SKIPIF1<0个相同的数SKIPIF1<0，组成数列SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前n项的和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．8192【答案】C【详解】插入SKIPIF1<0组共SKIPIF1<0个，∵SKIPIF1<0，∴前面插入12组数，最后面插入9个SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又数列SKIPIF1<0的前13项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：C．3．（2023·全国·高三专题练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为SKIPIF1<0，在数列SKIPIF1<0的任意相邻两项SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0）之间插入SKIPIF1<0个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列SKIPIF1<0．按新数列SKIPIF1<0的各项依次派遣支教学生．记SKIPIF1<0为派遣了70批学生后支教学生的总数，则SKIPIF1<0的值为（

）A．387 B．388 C．389 D．390【答案】A【详解】∵数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵在任意相邻两项SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0）之间插入SKIPIF1<0个3，∴其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入2个3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入4个3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入8个3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入16个3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入32个3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入64个3，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0的前70项含有SKIPIF1<0前6项和64个3，故SKIPIF1<0．故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108【答案】A【详解】解：设数列经过第SKIPIF1<0次拓展后的项数为SKIPIF1<0，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第SKIPIF1<0次拓展后增加的项数为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，2为公比的等比数列，是以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则经过11次拓展后在SKIPIF1<0与6之间增加的数为SKIPIF1<0，所以经过11次拓展后6所在的位置为第SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为SKIPIF1<0，插入11个数后这13个数之和为SKIPIF1<0，则依此规则，下列说法正确的是（

）．A．插入的第8个数为SKIPIF1<0B．插入的第5个数是插入的第1个数的SKIPIF1<0倍C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BC【详解】设该等比数列为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A错误；因为SKIPIF1<0，故B正确；SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故C正确；而SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，D错误.故选：BC．三、填空题6．（2023春·高二校考课时练习）在1和17之间插入n个数，使这SKIPIF1<0个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0.【答案】7【详解】由等差数列的性质可知得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．故答案为：77．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0，在数列SKIPIF1<0的任意相邻两项SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列SKIPIF1<0，记新数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为．【答案】370【详解】因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入2个4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入4个4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入8个4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入16个4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间插入32个4，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0的前60项含有SKIPIF1<0的前5项和55个4，故SKIPIF1<0.故答案为：370.四、解答题8．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）已知等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个数，使这SKIPIF1<0个数组成一个公差为SKIPIF1<0的等差数列，求证：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0是等比数列，所以SKIPIF1<0的公比为3，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以令SKIPIF1<0，①所以SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②：SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.9．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成等差数列.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个数，使这SKIPIF1<0个数组成一个公差为SKIPIF1<0的等差数列，在数列SKIPIF1<0中是否存在3项SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由题意，SKIPIF1<0，在数列SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，即对任意正整数SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0的通项公式为：SKIPIF1<0.（2）由题意及（1）得，SKIPIF1<0，在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.假设数列SKIPIF1<0中存在3项SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差数列）成等比数列，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，这与题设矛盾，所以假设不成立，所以在数列SKIPIF1<0中不存在3项SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差数列）成等比数列.10．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)保持SKIPIF1<0中各项先后顺序不变，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值（用数字作答）．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）解：由数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0