高考真题教材高考真题审题答题五

教材高考•审题答题(五)解析几何热点问题

I三年真题考情I

核心热点真题印证核心素养

数学运算、逻

直线与椭圆的位置关系2018.III,20;2017-11,20

辑推理

2018-I,20;2017-I,20;

数学运算、逻

直线与抛物线的位置关系2016-III,20;2016-I,20;

辑推理

2018.11,20

数学运算、逻

最值与范围问题2016.11,21

辑推理

数学运算、逻

与圆有关的综合问题2017.III,20

辑推理

I审题答题指弓11

教材链接高考—求曲线方程及直线与圆锥曲线

［教材探究］(引自人教A版选修1—1P42习题A5(l)(2))求适合下列条件的椭圆的标

准方程：

(1)过点p(—2也,0),2(0,4)；

⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0).

［试题评析］1.问题涉及解析几何中最重栗的一类题目：求曲线的方程，解决的方

法都是利用椭圆的几何性质.

2.对于(1)给出的两点并不是普通的两点，而是长轴和短轴的端点，这就告诉我们

要仔细观察、借助图形求解问题，(2)中条件给出a,b的值，但要讨论焦点的位

置才能写出椭圆方程.

【教材拓展】设抛物线丁=2内5>0)的焦点为F,准线为I,过抛物线上一点A

作/的垂线，垂足为5,设C&，0),AR与3C相交于点E,若|。川=2履用，且

△ACE的面积为3也，则p的值为.

解析易知抛物线的焦点R的坐标为g,0),

又|CW=2|AW且|B|=呼一£=3p,

3

：.\AB\=\AF\=^p,

可得AQ?,的?).

白人AA|AE|\AB\1

易知AAEBsAFEC,二局=局=5，

故S^ACE=gsAACF=gx3pX巾pxg=^p2=35

.“2=6,；p>0,:.p=#.

答案^6

探究提高1.解答本题的关键有两个：(1)利用抛物线的定义求出点A的坐标，

(2)根据△AEBs^f'EC求出线段比，进而得到面积比并利用条件“SMCE=3吐

求解.

2.对于解析几何问题，除了利用曲线的定义、方程进行运算外，还应恰当地利用

平面几何的知识，能起到简化运算的作用.

72

【链接高考】(2018•天津卷)设椭圆，+方=l(a>0>0)的左焦点为R上顶点为3,

已知椭圆的离心率为叩，点A的坐标为(0,0),且总卦|4为=6色.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线/：y=kx(Q0)与椭圆在第一象限的交点为P,且I与直线AB交于点Q.

若鼠=¥sinNA。。(。为原点)，求左的值.

c25

解⑴设椭圆的焦距为2c,由已知有，得，

又由a2=b2+c2,可得2a=3b.

由己知可得,\FB\=a,\AB\=y[2b,

由尸母|43|=6港，

可得R?=6,从而〃=3,b=2.

92

所以，椭圆的方程为5+:=1.

(2)设点尸的坐标为(XI,V),点。的坐标为(X2,?).

由已知有〉1＞丁2＞0，

故|PQkinNAOQ=yi一”.

又因为|AQ|=sin/043,而NOAB=g,

故|AQ|=®.

由^^=»gsinNA。。，可得5y1=9”.

y—kx9

由方程组9+9=1，消去“可得y=Sr

易知直线AB的方程为x+y—2=o,

y—kxy

由方程组＜消去X,可得＞2=等.

x~\~y—2=0,KI1

代入5%=9y2,可得5(左+1)=3,9/+4,

将等式两边平方，整理得56后一50左+11=0,

解得左=］或左=朵.

ZZo

所以，左的值为;或

ZZo

教你如何审题一圆锥曲线中的证明问题

【例题】(2018•全国I卷)设抛物线C：V=2x,点A(2,0),3(—2,0),过点A

的直线/与C交于M,N两点.

(1)当/与x轴垂直时，求直线3航的方程；

(2)证明：ZABM=ZABN.

［审题路线］

联立直线和利用直线的

［求宜线的方程)抛物线方程［点M的坐标)两点西方程俅嗣

当直线，与*

［自主解答］

(1)解当/与x轴垂直时，/的方程为x=2,代入抛物线方程y2=2x,可得M的

坐标为(2,2)或(2,-2).

所以直线BM的方程为y=；x+l或y=-^x~\.

(2)证明当/与x轴垂直时，A3为的垂直平分线，所以NABAf=NA3N.

当/与x轴不垂直时，设/的方程为,=左。一2)(kWO),M(x\,yi),Ng,")，则

XI>0,X2>0.

y=k(x—2),

由1得62—2y_4左=0,可知”+丁2=工，”V2=-4.

[y9-2x

直线3M,BN的斜率之和为

y2__除+冽+2⑶+券)(州+")岩+2

州

kBM~\~kBN所

xi+2处+2(xi+2)(检+2)(xi+2)(&+2)=0,

以直线3N的倾斜角互补，所以NABM=NA3N.

综上，ZABM=ZABN.

探究提高(1)解决本题的关键是分析图形，把图形中“角相等”关系转化为相关

直线的斜率之和为零，类似的还有圆过定点问题，转化为在该点的圆周角为直角，

进而转化为斜率之积为一1;线段长度的比问题转化为线段端点的纵坐标或横坐标

之比；

(2)解决此类问题，一般方法是“设而不求”，通过“设参、用参、消参”的推理

及运算，借助几何直观，达到证明的目的.

【尝试训练】已知椭圆C：］+t=13>6>0)的离心率为］且过点P0,|),F

为其右焦点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点A(4,0)的直线/与椭圆相交于M,N两点(点”在A,N两点之间)，是

否存在直线/使与△MFN的面积相等？若存在，试求直线/的方程；若不

存在，请说明理由.

解⑴因为,=],所以a=2c,b=-\l3c,

22

设椭圆方程*x+Qv=l，

又点p[l,I)在椭圆上，所以白+亲=1,

解得。2=1,次=4,/=3,

92

所以椭圆方程为]+]=L

(2)易知直线I的斜率存在，设I的方程为尸网x—4),

y=k(%—4),

由，三]消去y得(3+4F)%2—32Fx+64M—12=0,

由题意知A=(32层广一4(3+4F)(64M一12)>0,

解得一；<舄.

设A/(X1，》)，N(X2,>2),

则XI+X2=3+4M'①

64——12

沏愈=3+4后.②

因为△AMF与的面积相等,

所以|AM=|MN|,所以2xi=垃+4.③

4+1Ap

由①③消去X2得％1=干后，④

64^—12

将电=2xi—4代入②，得沏(2X1—4)=3+4M⑤

将④代入到⑤式，整理化简得36层=5.

：«=吊,经检验满足题设，

故直线I的方程为尸乎(x—4)或尸一坐(x—4).

满分答题示范—圆锥曲线中的定点、定值问题

【例题】(12分X2018•北京卷)己知抛物线C：产=2内经过点P(l,2).过点0(0,

1)的直线/与抛物线。有两个不同的交点A,B,且直线以交y轴于直线

交y轴于N.

(1)求直线/的斜率的取值范围；

(2)设。为原点，QM=AQO,QN^^QO,求证：为定值.

［规范解答］

⑴解因为抛物线:/=2»工过点(1,2),

所以2»=4,即9=2.

故抛物线C的方程为/=4z......................................2'HI

由题意知,直线I的斜率存在且不为0.

J

设直线I的方程为1y=k.rr}(Zr#0).

2=4),

市卜得+(24—4)2,+1=0.....................4，［2］

=1

依题意△=(24-4)2-4X&z><i>o,

解得4V1,又因为左羊。.故k<0或0<4VL

又PA.PB与》轴相交.故直线/不过点(1.—2).

从而及声一3.

所以直线/斜率的取值范围是(一\-3)U(-3,0)11(0,1).

............................................................................6'区

(2)证明设A(J;I,%)，“)・

由(1)知+72=-2',>।，叫工2=人.

kk

v—2

直线PA的方程为y—2=」』Q—1)....................7'@

令1=0,得点M的纵坐标为

—hrA1

同理得点N的纵坐标为？N=；：］+2..............9'叵|

由疝一入防.4="而得

入=1-5乂，〃=1一5N・...............................................1°'⑦

“'入Ml-yMi~yN（氏一1）为（R—1）公

2.2Z?~4

22

].21[-2-（11+/2）=].kk=?

k—1jr2卜—1J_

F

所以1+上=2为定值........................12'1S

［高考状元满分心得］

❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.

如第(1)问中联立直线方程和抛物线方程，对直线斜率取值的讨论.

❷得关键分：解题过程中不可忽视关键点，有则给分，无则没分.如第⑴问中求抛

物线的方程，第(2)问中求点〃和N的纵坐标

❸得计算分：解题过程中计算准确是满分的根本保证.如第⑵中用：W，州表示九

〃，计算:十加值.

［构建模板］

专堂)……求圆锥曲线的方程

I

星宴)……联立直线和圆锥曲线的方程

I

筵爱……应用根与系数的关系用参数表示点的坐标

I

(^遐)……根据相关条件计算推证

I

适)...明确结论

【规范训练】(2019・西安质检)设抛物线C：>2=2内(/7>0)的焦点为F,准线为I.

已知以R为圆心、4为半径的圆与/交于A,3两点，E是该圆与抛物线C的一个

交点，ZEAB=9Q°.

⑴求p的值；

(2)已知点尸的纵坐标为一1且在抛物线C上，。，R是抛物线C上异于点P的另

外两点，且直线PQ和直线PR的斜率之和为一1,试问直线QR是否经过一定点，

若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

解(1)由题意及抛物线的定义，有|AW=|EF|=|AE|=4,

所以△AER是边长为4的正三角形.

设准线/与x轴交于点。，

则|DF|=P=3AE|=3X4=2.所以p=2.

(2)设直线QR的方程为点Q(xi，v),Rg”).

由1得4小y—4%=0,

Ly9=4%

则yi+>2=4"z,yi>2=—4/，z/=16m2+16/>0.

又因为点尸在抛物线。上，则

.”一"冲―"4______4_

PQxp-xi城_比yp+yiyi_1'

4一4

,4

同理可得kpR=

>2-]

因为kpQ-YkpR=—1,

斫P，4_4_____4(yi+”)-8______16一一87

1,解得％=3加一不

yi-1,2-1—(川+丁2)+1-4/-4/n+l

rJ=16m2+16r>0,

7

由<t=3*m-^,

X

(—1)~vt,

解得机©1—8,—|jU[j,1JU（1,+8）.

一7

所以直线QR的方程为x="z（y+3）—a，

故直线QR过定点（一1，—3；

I热点跟踪训练高效训练，：提升能力

1.已知椭圆P的中心。在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A（0,2班），离心

率*.

（1）求椭圆P的方程；

⑵是否存在过点及0,—4）的直线/交椭圆尸于点凡T,且满足读•小=与？若

存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.

72

解（1）设椭圆P的方程为1（。＞。＞0）,

1

-C-

由题意得5=2#,e--2

〃

2222

：・a=2c,b=a—c=3c9

••c=2,a=4,

72

•••椭圆P的方程为W+^=L

1012

⑵假设存在满足题意的直线/，易知当直线/的斜率不存在时，OROT<Q,不满足

题意.

故可设直线/的方程为4,R(xi,州)，T(X2,y2).

,:dk•所=埠,••.》1了2+%>2=与.

y=kx—^,

由1％2y2得(3+4F)f—32日+16=0,

府+12=1

由/>0得(一32左产一64(3+4/)>0,解得修.①

.,32k16

••xi+x2—3+4标'用工=3+4严'

•**y\yi=(kxi—4)(te-4)=lcx\X2—4左(xi+x2)+16,

_16।16M128后」16

故xiX2+yiy2—3+4下+3+4下―3+4万+16一万,

解得M=1.②

由①②解得左=±1,

直线I的方程为y=±x-4.

故存在直线/：x+y+4=0或x—y—4=0满足题意.

2.(2019・南昌调研)在平面直角坐标系x0y中，过点C(2,0)的直线与抛物线«=

4x相交于A,3两点，设A(xi,yi),3(x2,/).

(1)(一题多解)求证：yi>2为定值；

(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存

在，求出该直线的方程和弦长；如果不存在，说明理由.

⑴证明法一当直线A3垂直于x轴时，

不妨取8=2/，y2=-2y[2.

因此％”=-8(定值).

当直线AB不垂直于x轴时，

设直线AB的方程为尸网x—2),

y—k(x—2),

由J得62一分一8左=0.

ly9=4%,

:・yiy2=-8.

因此有yiyi=-8为定值.

法二设直线AB的方程为my=x-2,

\my=x—2,

由J,得V一4my—8=0.

Ly=4x,

-8.

因此有与”=—8为定值.

(2)解存在.理由如下：

设存在直线/：x=a满足条件，

则AC的中点石仲宇，乎，

\AC\=yl(xi-2)2+y?.

因此以AC为直径的圆的半径

r=^\AC\=^\l(^i-2)2+yl=^\/xi+4,

Yl—2

又点E到直线尤=。的距离d=-y—«

故所截弦长为

2\1好一#=7\^a(x?+4)—-aj

=>\/x?+4(xi+2—2tz)2

=yj4(1tz)XI+8<74tz2.

当1一。=0,即a=l时，弦长为定值2,这时直线方程为x=L

3.(2019•郑州质检)已知圆。：f+y2=4，点/1,0),尸为平面内一动点，以线段

改为直径的圆内切于圆。，设动点尸的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)”,N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点(0,3J.问：在y轴上是否存在

定点Q，使得/MQO=/NQO?若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请

说明理由.

解⑴设PR的中点为S,切点为T,连接。S,ST,则|OS|+|SW=|O7]=2.

取V(—1,0),连接HP,

则尸P|+\FP\=2(|0S|+\SF\)=4.

所以点P的轨迹是以F,F为焦点、、长轴长为4的椭圆，其中，a=2,c=l,所

以Z?2=tz2—c2=4—1=3.

?2

所以曲线C的方程为£+5=1.

⑵假设存在满足题意的定点。设Q(0,m),当直线的斜率存在时直线MN的方程

为尸质+；,M(x\,yi)9N(X2,>2).

JU

联立得方程组11

y=kx~\~2-

消去y并整理，得(3+4MW+4右—11=0.

—4k—11

由题意知/>0,，X1+X2=

3+4S'xiX2=3+4H

由ZMQO=ZNQO,得直线MQ与直线NQ的斜率之和为0,

,,1,,1

Axi十7-mkx2\^—m

』口=——」

XlX2xiX2

2kx\X2~\~(Xl+%2)

=0,

XlX2

.fl)—11(1\—4k4k(m—6)

・・2履1%2+5-mJ(%i+/2)=2k.§+4M士6-mJ,2+4^2=3+4M=0，3左W。

时，m=6,所以存在定点(0,6),使得NMQO=NN。。；当k=0时，定点(0,

6)也符合题意.

易知直线MN的斜率不存在时，定点。(0,6)也符合题意.

・•・存在符合题意的定点Q,且定点。的坐标为(0,6).

综上，存在定点(0,6)使得NMQO=NNQO

4.已知椭圆C：5+核=1(。»>°)的左、右焦点分别为B(T，0),F2(L0),点

A[I,噂在椭圆C上.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M,N时，

能在直线丁=向上找到一点P,在椭圆C上找到一点。，满足由=顺？若存在,

求出直线的方程；若不存在，说明理由.

解（1）设椭圆C的焦距为2c,则c=l,

因为啕在椭圆。上，所以2a=|4品|+从巳|=2w，则。=爽，廿=/—02

=1.

故椭圆C的方程为小尸L

⑵椭圆C上不存在这样的点Q,理由如下：

设直线的方程为y=2x+f,Mxi，州），N（X2,m），P（X3,I）,Q（X4,3）,MN的中

点为D（xo,yo）,

y=2x+1,

由2_］消去x得9y2—2"+/一8=0,

7t

所以％+”=§,且/=4尸一36（尸—8）>0,

故州二州3'2=1,且一3«3.

由.=感得（为一了3，力―§=（X4—X2,y4~y2）,

5525

所以有y一弓=州一"，3=》+>2-§=§/一,

7

又一3</<3,所以一不勺4<一1,

与椭圆上点的纵坐标的取值范围是［—1,1］矛盾.

因此椭圆C上不存在这样的点Q.

5.（2019・合肥质检）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，圆。交x轴于点Q,F2,

交y轴于点BI,Bi,以囱，&为顶点，Fi,巳分别为左、右焦点的椭圆E,恰好

经过点［1,坐）.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设经过点（一2,0）的直线/与椭圆E交于M,N两点，求△丑的面积的最大

值.

解（1）由题意，得椭圆E的焦点在x轴上.

设椭圆E的标准方程为7+/=1(。＞。＞0)，焦距为2c,则b=c,

72

.•.次=/+/=2/，.•.椭圆E的标准方程为东+方=1.

1

•••椭圆E经过点[1,坐)，•••♦+1=1，解得。2=1.

，椭圆E的标准方程为弓+『=1.

(2);•点(一2,0)在椭圆E外，.•.直线/的斜率存在.

设直线/的斜率为七则直线/：y=-x+2).设M(xi,yi),N(x2,yi).

y=k(x+2),

由x2।消去》得(l+2F*+8&+8F—2=0.

万+户?1

-Sic8—-2

1+2小xix=]+2后'

A=64Z:4-4(1+2^)(8^-2)>0,解得0WF<；.

2—4后

(1+2后)2,

3|总

:点F2(l,0)到直线l的距离d=

但(2—4层)一

：.丛F?MN的面积为S=^\