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文档简介

物理学(第三版)-祝之光-课后习题解答(上、下册)

第一章

1-1一质点在平面上作曲线运动用时刻的位置矢量为,=(-2i+B)$

时刻的位置矢量为心=(2i+4j).求:(1)在At=4-勺时间内位移的矢量式;

(2)该段时间内位移的大小和方向;(3)在坐标图上画出r、、r及(题中r.以

m计/以s计.)

解:(1)Ar=f-0=(2i+V)-(-2i+毋)=4i-2j

(2)IArI=JAx2+Ay2=+(-2)2m-.^Om=4.47m

tanZ.(Ar,i)=9=~r~--0.5,L(Ar,i)=-26.6°

Ax4

(3)r,、4和Ar坐标图如题1-1解用图所示.

1-2一质点作直线运动,其运动方程为"=1+4”其中,以m计/以

s计.求:(1)第3s末质点的位置;(2)头3s内的位移大小;(3)头38内经过

的路程.(注意质点在何时速度方向发生变化);(4)通过以上计算,试比较位

置、位移、路程三个概念的差别.

解:(1)将y3s代入运动方程x=l+4”/得

=1m+4x3m-321n=4m

(2)AX0^3=X3-X0=4m-1m=3m方向沿式轴正向

(3)由。=孚=4-21=0知t=2s时,质点运动反向,0~2s和2~3s内质

点的路程分别是

J

40_,=«2-*0=(1+4x2-2)m-lm=4m

s2.5=x2-x3=5m-4m=lm

所以50-3=s(,_2+%_,=4m+1m=5m

(4)Xj、△与_,和%-:,如题1-2解用图(a)所示比较如下:

题1-2解用图

位置质点某时刻所在空间点的位置.用从原点引向此点的矢史,(位矢)

或此点的三个空间坐标(x,y,z)决定,运动中r=r(,)即运动方程.直线运动中,

取运动轨迹(直线)为坐标轴(如x轴),确定原点后,矢量的方向可用正、负表

示.如位置坐标x>0,表示位置由原点指向*轴正方向侧;x<0表示位置由原点

指向X轴负方向侧.图中A、上、巧分别代表I=0,1=2s和1=3S时质点的位置.

位移某段时间内位置的变化”=,(,+△,)-,(「),是矢量.直线运动中取

轨迹为坐标轴(如,轴).则简化为位置坐标的变化Ax.矢量性也由正、负表示,

Ax>0,表示位移方向沿x轴正向;Ax<0表示位移方向沿x轴负向.图中

=匕T。>0,表示位移沿X轴正向.一般,位置坐标X和位移Ax是不同的.但若

原点选取恰当,使t=0时质点位于原点,则在从:=0起的任意时段内,质点的位

移和该时段末的位置相等,即x=Ax.以无阻尼水平弹黄振子为例.如题1-2解

用图(b)所示,原长为/。,劲度系数为R的弹簧一端固定.另端系一质量为m的

振子,置于光滑的水平面上.取振子m的平衡位置(此时弹簧无形变)为坐标原

点0,则当振子的坐标为x时,其位移Ax=工.此时弹簧形变景M=Ax=x,则由

胡克定律,振子所受弹簧弹性力可表达为F=~kx.(式中负号代表弹性力方向

与位移方向相反,始终指向平衡位置。).

路程某段时间内沿质点运动轨迹量度累计所得总长度,为标量,恒取正

值.路程与位移的大小一般不相等,只有当质点作单方向的直线运动,或在

(趋于零)的极限情况下,路程与位移的大小才相等.本题质点作减速直线运动,

"2s时,速度减小至零,以后质点作反向运动.头3s内质点的路程应为0~28

和2~3s内两段路程累计之和为5m,而质点在头3s内的位移为3m,第3s的

位置为4m,三者大小都不相同.

1-3质点从某时刻开始运动,经过Al时间沿一曲折路径又回到出发点

4,已知初速度与末速度叫大小相等,并且两速度矢量间的夹角为。,如图所示.

(D求时间内质点的平均速度;(2)在图上画出时间内速度的增量,并求

出它的大小;(3)求出加时间内平均加速度的大小,并说明其方向.

题1-3解用图

解:(1)因为At内Ar=O,所以==詈=0

(2)如题1-3解用图中虚线所示,且由速度三角形有

|Av|=JR+4_2“00,cos6=%,2(1—cos。)

(3)方向与题1-3解图中A0方向相同,且

本题应注意学生手写平均速度、平均加速度及它们的大小表示是否正确.

1-4已知一质点的运动方程为x=2t,y=2式中,以s计卢和y以m

计.(1)计算并图示质点的运动轨迹;(2)求出1=1B到t=28这段时间质点的

平均速度;(3)计算1S末和2s末质点的速度;(4)计算18末和2s末质点的

加速度.

解:⑴由x=2t得,=方,代入y=2-,得

y=21

轨迹为抛物线如题1-4解用图所示.

t/s01234・・・

x/m02468・•・

y/m21-2-7-14—

(2)t=13—2a,At=(2-1)s=1s

=4m-2m=2m

Ay=-2m-1m=-3m

ArAx.Ay.

由夕=丁=—i+-T2-/

AtAlAlJ

得%=(2"3j)m-s

1

(3)vx=—=2m•s-

%=詈=-2t(m•s-1)

由夕=

vj+vrj

得%=(2i-幼m•s"

1

v2=(2/-4/)m•s'

且由v=J亡+彳,tanZ(P.1)=—

得Vj=^/22+(-2)2m,s"1=2在m-s"1

tanZ.(r,J)=-1,Z.(v,J)=-45°

2211

v2=-/2+(-4)m•s-=275m•s-

tanZ(r2,i)=-2,Z(t»2,i)=-63.4°

dvdu,

(4)a==0,a=~—=-2m-s-

xde7d/

由0=%i+3j=-2/m•a-2

得且】

=a2=-2jm•3-2,a=a2=2m,s-

%,<»2都沿y轴负向.

*1-5一身高为h的人,用绳子跨过滑轮拉一雪橇匀速奔跑.雪橇在高出

地面H的平台上,如题1-5图所示.人奔跑的速率为为,绳子总长为L,起始时

刻(,=0),人到滑轮间的绳长为%.试按如图所示坐标系,(1)写出雪橇在平台

上的运动方程.(2)求出雪橇在平台上的运动速度.

解:(1)设任意时刻I雪橇坐标为工,由题1-5解用图几何关系有

x=L-l=L-J(心(…产+斤

(2)”笔

%(人)'+%£)

J(1+(H-h);

负号表示雪耀运动方向沿x轴负向.

(70学时左右的课程不要求做此题,此后所有加*的习题都类同.)

1-6球无摩擦地沿如图所示的坡路上加速滑动,试分别讨论在4点(平

地上)、8点(上坡起点)、。点(坡的最高点)和。点(下坡路中的一点),关系式

题1-6图

答:因为学■”是总加速度,|第I代表总加速度的大小;而穿=巴,当日>0

df|at|atat

时代表切向加速度的大小.总加速度的大小a=在曲线运动中,4#0,

直线运动中4=0,。=6.因此,名>0时关系式普=坐在点4成立;在

atatde

点8和点C不成立;若下坡段平直,则点D处也成立.

1-7一质点作圆周运动的运动方程为。=2,-4/(夕以rad计/以s计),

在"0时开始逆时针转动.问:(1)s时,质点以什么方向转动;(2)质点

转动方向改变的瞬间,它的角位置。等于多少?

解:(1)3=半=2-8,

at

当£=0.58时,(y=2rad-s1-8x0.5rad•s1=-2rad•s_1<0.此时刻

质点沿顺时针方向转动.

(2)令©=2-8c=0,得4=0.25s时质点开始转向.此亥"J=(2x0.25-4

x0.252)rad=0.25rad.

1-8如题1-8图所示,图(a)为矿井提升机示意图,绞筒的半径了=0.5m.

图(b)为料斗M工作时的&—图线,图中。=4m•广,.试求1=2s、8s、14s等

时刻绞筒的角速度、角加速度和绞筒边缘上一点N的加速度.

题「8图题1-8解用图

解:设绳在绞筒上不打滑,则绞筒边缘上任一点的速度、切向加速度明与料

斗M的速度,加速度相同,它们的变化也相同.由u==raq=rJ和a#=

+。:及tanZ.()=—得

%

=—=丁7rad,s-1=4rad"s_2,逆时针

r0.5

以-%4.21“而j

。<2=~~4=;----=-T-m•s=1m-s,向上

%-%4

a=~--­—=—rad•s2=2rad•s2,逆时针

2rr0.5

=s;=0.5x42m,s-2=8m•s-2

df/2=J。:+心=V^l2+82m•s-2=8.06m-s~2

8

乙,♦2=arctan—=arctan—=82.9°

。(2*

。股方向如题1-8解用图所示.

1

tug=-^-=3^rad•st=8rad-s-,逆时针

°出=<14.12=0

a

«8°…2n

ag=—=------=0

222

%=aB8=ra)l=0.5x8m-s-=32m•s"方向由N—O

v2

11

◎i4=十=Q-Jrad•s_=4rad-s'1逆时针

0,14=O|2-14=-1m-8-,,向下

ai4=-^=JT6=-rad•s2=-2rad-s-2,顺时针

rr0.5

。。乂=rsj=0-5x42m,s"2=8m•s-2

/14=JQ:4+。:]4=/(-iF+gm•s*2=8.06m•s-2

ZaM4,ff14=180°-arctan—=180°-arctan斗=180°-82.9°=97.1°

1

方向如题1-8解用图所示.

1-9质点从静止出发沿半径R=3m的圆周作匀变速运动,切向加速度

a,=3m•S-.问:(1)经过多少时间后质点的总加速度恰好与半径成45。角?

(2)在上述时间内,质点所经历的角位移和路程各为多少?

解:(1)当/_(&&)=45。时,a.=%=3m•s-2

而%=Ra)2,a,=Ra

又为=0,则a>0=0,a,=const,则a=const

a

有3=3。+aM=—tAt

A

22

由于%=夫(?A,=3,*A/=3,Ar2=1s2

故得At=1s

22

(2)A。=6>0+-^-a(At)=--a(Ai)

=g(Al)2=~xx12rad=0.5rad

2'23

s=RAff=3x0.5m=1.5tn

1-10列车沿圆弧轨道行驶如图,方向由西向东逐渐变为向北,其运动规律

s=80,-/(s以m计/以s计).当t=0时,列车在4点,此圆弧轨道的半径为

1500m.若把列车视为质点,求列车从4点行驶到s=l200m处的速率和加速度.

解:本题列车的运动,以点4为原点,在十圆弧段上的位置可由s(t)=80”

「唯一决定,列车的运动为一维运动,s(,)称为弧坐标.在直线(取为工轴)运动

中,速度"=常,其正负代表质点的运动方向与x轴正向相同或相反.与此类似,

在弧坐标中速度为。二半,其正负代表质点的运动方向与原绕行的方向相同或

相反.切向加速度%=半=学,其正负代表切向加速度与质点的速度方向相同

dtde

或相反.

由5=80«-12=1200,可求出i=1200m对应的时刻人=20s也=60s.

由”=*=80-2',当,=20s时,。=40m■s'1.

当e=60s时遇=-40m•s7,代表列车反向运动,不合题意,应舍去.

"20s时,质点角位移(以04为起始线)

A6=0-00=0=A=:rad=0.8rad=45.84°

A1500

由题1-10解用图Z40B=Ae,vJ_08所以s=l200m处

第一早

第二章_

力动量能量

2-1回答下列问题:

(1)物体同时受到几个力作用,是否一定产生加速度?

(2)物体的速度很大,是否意味着物体所受外力的合力也一定很大?

(3)物体运动的方向一定与合外力方向相同,对吗?

(4)物体运动时,如果它的速率保持不变,它所受的合外力是否一定为零?

答:(1)不一定.由2尸,=小。,若2凡K0,则aWO,会产生加速度;若26=

0,则a=0,不会产生加速度.

(2)不一定.外力的合力与物体产生的加速度相对应,与物体某时刻的速度

大小无关.即使速度很大,但若速度不变化,加速度为零,则合力为零.

(3)不一定.合力的方向与加速度的方向相对应,与物体某时刻的速度方向

无关.只有当物体作加速直线运动时,物体的运动方向才会与合外力方向相同.

(4)不一定.若物体作匀速直线运动,则合外力为零;若物体作匀速率曲线

运动,有法向加速度,则合外力不为零.

2-2把一个质量为m的木块放在与水平成,角的固定斜面上,两者间的

静摩擦因数]较小,因此若不加支持,木块将加速下滑.

题2-2图题2-2解用图

(1)试证tan0>fi".

(2)必须加多大的水平力尸,才能使木块恰不下滑?这时木块对斜面的正

压力多大?

(3)如不断增大尸力的值,则摩擦力和正压力将有怎样的变化?

解:(1)证明:设不加力,支持时,木块m恰能开始沿斜面下滑.如题2-2

解用图(a),木块受到的力有重力W(即=mg)正压力外和最大静摩擦力F,.在

图示坐标系中,由牛顿第二定律有

沿x轴:mgsin0-F,=ma>0(1)

沿y轴:尸z-mgcos0=0(2)

且(3)

联立(1)、(2)、(3),解得mgsin0~/j,'mgcos0>0

故有tan0>,i'证毕.

(2)如题2-2解用图(b),加力产后,木块m恰能不下滑,即a=0,且静摩

擦力达最大值.在图示坐标系中,由牛顿第二定律有

沿工轴:mgsinff-Feos0-Ff=0(1)

沿y轴:FN-mgcos0-Fsin0=0(2)

且(3)

联立(1)、(2)、(3),解之得

_sin0-£1,008ff

r=------;------mg

cossin0

„1

'cos8+fi'sin『g

(3)由题2-2解用图(2:尸1,=蜂3。+/小,,正压力F.将随F的增大

而增大.

由第二问方程(1)知mgsin0=尸cos0时摩擦力K=0,此时力F的大小为F

=mgtan0.

当尸<mgtan8时,木块会下滑或有下滑趋势,所受摩擦力沿斜面向上.下滑

时,F增大,增大,滑动摩擦力随之增大;有下滑趋势时,静摩擦力随F的增大

而减小.

当尸>mgtan。时,木块有上滑趋势或会上滑,所受摩擦力沿斜面向下.F较

小时,木块有上滑趋势,向下的静摩擦随尸增大而增大;F较大时,木块上滑,向

下的滑动摩擦力也随F增大而增大.

2-3如图所示,已知尸=4N,叫=0.3kg,m2=0.2kg.两物体与平面的摩

擦因数均为0.2,求质量为叫的物体的加速度及绳子对它的拉力(绳子和滑轮

质量均不计).

题2-3图

题2-3解用图

解:分别以叫及叫和滑轮系统为研究对象,受力与运动分析如题2-3解

用图所示.

因为滑轮质量不计,有=尸门;又因绳质量不计,有尸短=F7.在竖向

m,、叫平衡,有Fm=W,=mig,Fia=W2-mtg.故摩擦力Fn=/xfNI=^mtg,Fa=

"'相2g.

.由于叫向右移动4时,滑轮、叫都将随叫向右移动",同时因绳总长一定,

飞还将相对滑轮移动乙,所以叫相对固定平面将向右移动4=2乙.即在同一时

间间隔内,m?的位移是叫的两倍,故知

a2=2a,(1)

在水平方向,由牛顿第二定律

对叫:F-2Fn=m,al(2)

对啊:Fn-x*m2g=m2a2(3)

联立(l)、(2)、(3),解之得a?=2尸-4〃/2:-2”》话/478m.

mx+4m2

Fn=1.35N

2-4A、B、C三个物体,质量分别是mA=mg=0.1kg,mc=0.8kg.当把它

们如图(a)所示放置时,物体系正好匀速运动.(1)求物体C与水平桌面间的摩

擦因数;(2)如果将物体A移到物体B的上面,如图(b)所示,求系统的加速度

及绳中张力(滑轮与绳的质量不计).

解:滑轮和绳的质量不计,则绳中张力处处相等,设为Fr

(1)如图(a)放置时,因以=。1,=q=0*、(:可视为一整体小、(:及8受力

情况如题2-4解用图(a),由第二定律

对A、c竖向:-(TO*+mc)g=°(1)

水平FT-%=0(2)

且尸产〃FN(3)

对B:mBg(4)

联立(1)、(2)、(3)、(4),解之得

=0.11

mA+mr

(2)如图(b)放置时,受力及运动情况如题2-4解用图(b),由牛顿第二定

尸《-mcg=°(5)

7-F,=mca(6)

且匕=血(7)

对A、B:(mA+m8)g-FT=(mA+mB)a(8)

联立(5)、(6)、(7)、(8),解之得

m+m-nm.

a=--A-----B-----cg=1.1m-s2

mA+mB+mc

FT=1.7N

2-540kg的箱子放在卡车的车厢底板上,已知箱与底板之间的静摩擦因

数为0.40,滑动摩擦因数为0.25.试求下列情况下,作用在箱上的摩擦力的大小

和方向:

(1)当卡车以2m•s-2加速度行驶时;

(2)当卡车以3.5m•s-2减速行驶时;

*(3)设此卡车在圆弧道路上行驶,车速9m•圆半径为400m,当车速

有如上加速率或减速率变化时,摩擦力有何不同?

解:当车作加速或减速运动时,箱若相对车静止,箱是依靠静摩擦力产生与

车相同的加速度,静摩擦力有最大值,因此箱能产生的加速度也有一最大值.且

由=〃加=刖%*得

a„„-f/Zg=0.40x9.8m,s-2=3.92m,s-1

当。车>%“时,箱将在车底板上滑动.故

(1)a车=2m•s”箱相对车静止,a=a车,摩擦力为静摩擦力,方向

与车前进方向相同,如题2-5解用图(a).且

Ff=m,a=40x2N=80N

(2)a隼=-3.5m•s”时|a车|<故箱相对车仍静止,a=a隼=

-3.5m•ST,摩擦力为静摩擦力,且

Ff=ma=40x(-3.5)N=-140N

即静摩擦力大小为140N,负号表示其方向与车前进方向相反.如题2-5解用

图(b).

*(3)车在圆弧轨道上行驶,上述车的加速度为切向加速度.车还具有法向加

速度4=4=隽m-s-2=0.2m-s2由(1)、(2)知车的切向加速度大小都

Z\4UU

小于a.“,又故箱相对车仍保持静止,切向塾摩擦力的大小和方向与

(1)、(2)计算相同.法向静摩擦力大小为

Fin=maD=40x0.2N=8N方向指向圆心.

如题2-5解用图(c),当/=2m•S"时

F,=JF:+瞠=/80?+82N=80.4N

tanN(尸,,。)=*=1=0.=5.7°

8U

如题2-5图(4),当a,=-3.5m•s-2时

2

F(=+曙=/MO?+8N=140.2N

tanZ[Ff(-»)]=》=盘=0.0571,--r)]=3.27。

V

题2-5解用图

*2-6一质量为m的小球最初静止于如图所示的A点,然后沿半径为r

的光滑圆弧的内表面4DC8下滑.试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的

作用力.

解:如题2-6解用图,在任意点E处,由牛顿第二定律

mgcos0=mj

切向(1)

at

法向FN-mgsin6=m-(2)

方程(1)两边同乘d6,由于=u)v=ra)

at9

得geos3d0=ra)da>

故f3d3=—fcosOdd,=—cosa

JorJo2r

故吁产警

1

由(2)FM-mgsin(90°+a)+mra)-3/ngcosa

本题放在此处,要求学生用牛顿第二定律求解.显然,本题也可用机械能守

恒求解,且避免了积分,简化得多.

因为轨道光滑且轨道正压力不作功,小球下滑只有重力作功,故小球和地球

系统机械能守恒,E'=E「取EP0=0.则有

所以v=,2grc

V

故CU=—=

若取c点处重力势能为零,更为简单EA=mgreosa,Er=/版,故

%—=mgrcosa

v=>/2grcosa

可见,零势能点选择恰当,也可简化运算.

2-7将质量m=800g的物体,以初速。°=20im•s”抛出(i水平向右J

竖直向下),忽略空气阻力.试计算并作出矢量图:

(1)物体抛出后,第2s末和第5s末的动量(gR10m•s-2)

(2)第2s末至第5s末的时间间隔内,作用于物体的重力的冲量.

解:(1)物体沿水平i向以%作匀速运动,沿竖直向下的j向作初速为0,加

速度为&的匀加速直线运动.

任一时刻的速度为。=v0+gz=20i+10y

任一时刻的动量为p=w>=m(20i+10t/)

故p2=0.8(20i+10x2j)N-s=16i+l^/N-s

p5=0.8(20i+10x5J)N-s=16i+40/N•s

(2)物体只受重力作用而运动,由动量定理,物体所受重力的冲量就等于其

动量的改变量.所以

Icn-S)=P>~Pl

=(16i+4Q/)N•s-(16i+16/)N•s=24/N♦s

P2、Ps和/cc-s)如题2-7解用图所示•

2-8一质量为m的滑块,沿如图所示的轨道以初速1=2,而无摩擦地

滑动.求滑块由4运动到8的过程中所受之冲量,并图示(。8与地面平行,取i

水平向右,j竖直向上).

解:物体由A到8运动过程中,只有重力对物体作功,物体和地球系统机械

能守恒,取水平轨道上重力势能为零,则有

/叫=ymvj+mgR

将。“=”。=2底代入,解得VB=y/2R^

由于pA=mvA=2m-/Rgi

PB=mvB=^2m/Rgj

故L)=Ps-Pd=m,而(-2」+图),如题2-8解用困所示.

2-9质量为0.25kg的小球,以20m♦s-'的速率和45。的仰角投向竖直放

置的木板,如图所示.设球与板碰撞时间为0.05s,反弹角度与入射角相等,小球

速度在水平方向分量的大小不变,求木板对小球的冲力(取,轴水平向右建立坐

标系).

题2-9图题2-9解用图

解:球与板碰撞时间很短,碰撞时球与板间相互作用的冲力远大于球的重力

及球与板间的摩擦力,球动量的改变,可视为与木板施予的冲量相等,即

I板一球二五板一域A:=me-rnvQ

二(见题2-9解用图)

◎mu。.

&x0.25x20.z

0.05

=-141/N

2-10炮弹在抛物线轨道最高点炸裂成A、B两块,叫=叫,叫=2叫,若

忽略重力,此爆炸过程符合什么规律?并就下面两种情况写出该规律的方程:

(1)B落在爆炸点的下方;

(2)B沿原来的轨道返回抛出点.

试就第(2)种情况回答:A将沿什么方向飞去?是否落在原来预计的着地点?

A、B是否同时落地?落地时的速率是否相等?

解:忽略重力,炮弹爆炸过程符合动量守恒定律.设在抛物轨道最高点炮弹

爆炸前的速度为。,爆炸后A、B两块的速度分别为九和八,则有

即3v=«A+2t»B

取i水平向右J竖向上,。=vi

(1)B落在爆炸点下方,要求“《=-oj,则

3"i=t>A-2vJ

(2)B沿原轨道返回抛出点,要求外=-t>=则

3vi=t>A-2vi

vA=5vi

因此A将以5u的初速率作平抛运动,落地点将比原预计着地点远.

爆炸后A、B从同一高度以不同速度平抛,因此将同时落地,但落地速率不

相等.

*2-11质量均为m的三条小船(包括船上的人和物)以相同速率。沿一

直线同向航行.从中间的小船向前、后两船同时以速率u(相对于该船)抛出质量

同为人的小包.从小包被抛出至落入前、后船的过程中,试分别对中船,前船,后

船建立动量守恒方程,并说明每一方程中所对应的质点组各包括哪几个物体.

2H

V-U

\―t

m

m-2m

om+m0

⑹中船(b)前船

(c)后船

题2-11解用图

解:系统动量守恒方程中各个速度应该是相对同一惯性系的.本题中v是三

船初态相对地的速率,"是被抛出的小包相对船的速率,应先求出两个小包相对

地的速度.前抛小包对地速度为(u+u),后抛小包对地速度为

如题2-11解用图(a).对于中船,两小包抛出前瞬时中船和两小包系统的总

动量为mv.两小包同时抛出后瞬时,前抛小包动量为mo(u+u);后抛小包动量为

外("-");设中船速度变为/,则中船的动量为(m-2m。)!/.由动量守恒定律有

/

mv=m0(v+u)+m0(t)-u)+(m-2z7i0)t>(1)

如题2-11解用图(b),对于前船,小包落入前瞬时,前船的动量为小也小包

的动量为2(U+U);小包落入后瞬时,前船和小包系统的速度变为产,系统的动

*为5+m*由动量守恒定律有

1

mv+m0(v+u)=(m+m0)v*(2)

如题2-11解用图(c),对于后船,小包落入前瞬时,后船的动量为mu,小包

的动量为m°(”-u);小包落入后瞬时,后船和小包系统的速度变为产,系统的动

量为(//»+”)/.由动量守恒定律有

m

mv+m0(v-u)=(m+m0)v(3)

解(1)、(2)、(3),可得,=v

2-12质量为60kg的人以2m•的水平速度从后面跳上质量为80kg

的小车上,小车原来的速度为Im•8。问:

(1)小车的运动速度将变为多少?

(2)人如果迎面跳上小车,小车的速度又将为多少?

解:人跳上车后,人车具共同速度如

水平方向忽略阻力,人车系统动量守恒.

mt,m

(1)i»w+»*22o=(i+m2)t»2

mfio+m*60x2+80x1.,..

故v,=----------------2-a=...———---m•st=1.43m•s

叫+m260+80

车速方向与原向相同.

(2)m,v1()+m2vM=(m1+m2)v2

m,v,+m2v260x(-2)+80x11

故MM-m=-0.29m-s-

ml+m26080

车速方向与原方向相反.

2-X从10m深的井中,把10kg的水匀速上提.

设每减1m漏去0.2kg的水.(1)画出示意图,设置坐

标轴后,写出外力所作元功dW的表示式;(2)计算把水

从水面提到井口外力所作的功

解:(1)设井水水面高度不因提水而改变.将坐标原

点取在水面上,竖向上为y轴正向,建立坐标系如题2-

13解用图,则漏水率为竽=-0.2kg/m.当水桶上升高

度为y时,桶中水的质量为(10-0.2y)kg,水桶匀速上题2-13解用图

升,提升力F应等于水桶重量,即尸=(10-0.2y)g.由y处再上升dy高度,尸可

视为不变,则提升力(外力)所作元功为

dJF=Fdy=(10-0.2y)gdy

(2)把水从水面提到井口外力所作功

W=fAW=f(10-0.2y)d/=882J

2-14原子核与电子的吸引力的大小随它们之间的距

离,而变,其规律为尸=与.求电子从O运动到r2(r,>rj,

r

核的吸引力所作的功.

解:如题2-14解用图/二-A%,dr=d(r%)=dr%

r

故即=/dW=/_警=

讨论:w>0,引力作正功,符合题意.

2-15用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对钉的

阻力与钉进木板之深度成正比.在第一次锤击时,钉被

击入木板1cm.问第二次锤击时,钉被击入木板多深?

假设每次锤击铁钉前速度相等,且锤与钉的碰撞为完

全非弹性碰撞.

解:如题2-15解用图,尸=-物,锤与钉之间的碰

撞为完全非弹性碰撞,设锤与钉都不因锤击而变形,则

锤击前锤的功能“转化为锤击后瞬时锤与钉共同的动

题2-15解用图

能,此动能Ek用于克服木板对钉的阻力尸,使钉能钉入

木板,因为每次锤击航相等,故由动能定理有

"Ir’2

0-Ek==I-kydy=I-kydy.

JoJ力

即yr:=y(rj-r?)

故以二氏、

则第二次能钉人的深度为

Ay=%=4.1xIO-3m

2-16质量为2x10"网的子弹,在枪筒中前进时受到的合力是尸=400

一等叫尸的单位是N,w的单位是m.子弹在枪口的速度为300m•s7,试计

算枪筒的长度.

解:如题2-16解用图,

题2-16解用图

对子弹应用动能定理:(

W=[尸

FJo2

即J1(400-?-y^x)<lx=yx2xl0-3x3OO2

解之得L=0.45m

2-17一条均匀链条,质量为m,长为/,成直线状放在桌面上,已知链条下

垂长度为a时,链条开始下滑.(1)设桌面光滑,*(2)设桌面与链条间的摩擦

因数为〃,试用动能定理计算两种情况下链条刚好全部离开桌面时的速率.

(a)(b)

题2-17解用图

解:(1)链条下滑过程中只有下垂段所受重力作功.如题2-17解图(a)建

立坐标轴.链条下垂段长y时,下垂段所受重力G=亍yg,链条再下滑dy时,重

力所作元功为dWc=^-gydy,链条全部离开桌面时,下垂段所受重力作的总功为

wc=^gydy=yyg(I1-a)

由动能定理W=^Ek

2

故W=WC.Eto=0.=ymv

故ymv:=M)

得v=7f(/2_°2)

(2)重力功仍如前(1).此外,还有水平段所受摩擦力尸,作功.下垂长,时,

水平段长(",),F,-y)g.再下滑dy时,水平段右移dy.

d%=-竽,-y)dy

链条全部离开桌面时(y由。变为,)摩擦力作的总功为

"y)dy=-^^(I-a)2

由动能定理%+Q=/皿九将即八%代入得

1=J多[(r一1)一.("a)2]

2-18人造地球卫星沿着椭圆轨道飞行,用机械能守恒的观点分析一下,

卫星在轨道上的速率是否处处相等.

答:忽略其他星体引力,地球和其卫星系统机械能守恒.但由于卫星沿椭圆

轨道绕地球运行,卫星和地球之间的距离不断变化,引力势能也将不断变化,使

卫星的动能随之不断变化.因此,卫星在轨道上的速率处处不等.

2-19用一弹簧把质量各为和啊的两块木板联结起来,如题2-19图

所示.问必须加多大的力压到上面的木板上,以使当外力突然撤去,上面的木板

跳起来,恰能使下面的木板啊稍被提起(弹簧的质量和空气阻力不计).

解题思路:

l.m?能被提起的条件:吗能稍被提起,则m2所受支承力既=0,这时叫只

受重力m?g和弹簧的作用力,且要求弹簧作用力为向上拉力,即弹簧须处于伸

长态,伸长量应足够大,使得弹簧拉力至少不小于重力叫.

2.由题图,弹簧初态在F和叫g作用下处于压缩态,且叫初态平衡.F越

大,弹簧压缩越甚.突然撤走F,系统平衡被破坏,叫在弹簧作用下向上运动.F

足够大时,弹簧可由压缩变为伸长并满足叫能被提起条件.

3.突然撤去F,弹簧由初态被压缩到末态变为伸长,nq、地球、弹簧系统只

有重力和弹簧的弹性力作功,机械能守恒.由机械能守恒定律,可得末态伸长量

与初态压缩量间的关系;由初态叫平衡,可得外力F与初态压缩量和mtg的关

系;由叫能被提起条件可得伸长量与叫所受重力关系.三者综合可求出尸和

四、叫所受重力关系.

4.弹性势能零势能点常取弹簧原长时自由端所处位置,故建立坐标系时宜

取该位置为坐标原点.

解:如题2-19解用图(a),取弹簧为原长时其自由端位置为坐标原点O,y

轴正向向上建立坐标系,0点处E.=0,且设此处=0.系统初态弹簧压缩量

为力(%<0),弹性势能为/=聂,;,重力势能为E©="力<0;系统末态弹

簧伸长量为力(力>0),弹性势能为E出=3只,重力势能为Eg=m、gyi>0.对

四、地球、弹簧系统机械能守恒,故有

+mtgy,=^-ky\+m,gy2(1)

如题2-19解用困(b),叫受向下重力加逐、向下外力F和向上弹性力而平

衡,弹性力大小为<0,-ky,>0!)

故有F+m,g=-kyx(2)

如题2-19解用图(c),叫受向上支承力外,弹簧拉力/2和向下重力

叫g,叫能被提起,则&=0,并要求

勿2mm2g(3)

由式(1)得k(yt+y2)=-2m,g(4)

将式(4)代入式(2)得kyi=F-mxg(5)

将式(5)代入式(3)得(m,+m2)g

2-20从轻弹簧的原长开始,第一次拉伸/长度,在此基础上,第二次使弹

簧再伸长】,继而,第三次又拉伸I

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