高等数学（下）作业集

第七章测试题

一.计算题

1：求顶点为A(2,1,4),氏3,—1,2),c(5,0,6)的三角形的周长。

答案

因IABI=7(3-2Y4-(-1-1)2+(2-4)»=3

IBC|=5/(5-3)4+(0+1?+(6-2)2=y/21

\AC\=—2)—(0—1"+(6-4)2=714

故三角形的周长z=3+/H+/&.

2:已知向量a=2i+5J-Jt,B=3i+J+2瓦求：

⑴I。I和Ib

(2)4a—

A

(3)cos(a,b)・

答案

⑴Ia|="+5?+(-1)2=囱,|&|=732+l2+22=yi4

(2)4。-3,=(4i+2QJ-4Jt)-《9i+3J+6fc)=-5J+17J-lOfc

cost/fr)=2y—1X2=_9_

(3)ysoxyi42^/105

3:已知向量。={3,rn,5),b={2,4,n)o

⑴若求〃的值；

⑵若a_L4求m，”的值。

答案

⑴因a〃M故':-♦得m=6,n=y.

、因aJ_b，故a•b=6+4m+5n=0,得m=—4(6+5公("为任意实数).

⑵4

4：求同时垂直于向量。=2i+3J+A和b=4i+5/+3左的单位向量。

答案

设所求单位向量为了_La且不_L瓦即有了〃(aXb),因此f=±况7又

IaX|

因aX3=221=i_2j+2"|aXb|=/l+4+4=3,所以孑=士后,一暂，外

5:已知三角形的三个顶点AQ，-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),求AABC的面积。

答案

A?={3—1,3-(-1),1-2)={2,4,—1},5?==<3—3,1—3,3—1}

UiH

={0,-2,21.所求面积5=9|笳xSC|=：24-1=1I6i-4；-4*|=/17.

||o-22(

6:说出下面曲面的名称及曲面与Q坐标面交线的名称：

(1)x2+4y2+16«^=64；

⑵/+4,-16/064；

⑶x2+y+于=64.

(4)炉+9丁=10«j

⑸xz+4/-16/,=0])

(6)/+/=4.

答案

⑴椭球面，椭圆；

(2)单叶双曲面，双曲线；

(3)球面,圆；

(4)抛物面，抛物线；

⑸椭圆锥面,两相交直线；

(6)圆柱面,圆。

7:求满足下列条件的平面方程：

(1)过点(1，1，D且与平面*+y-z=°平行；

N一1_.-0=芟+1

⑵过点(3，。，2)且与直线一2一—3一丁垂直；

(3)通过点(1，-1,D且垂直于两平面H-，+Z-1=°和"+y+£+l=0的平面。

答案

(1)解由已知条件可取所求平面得法向量为已知平面的法向量”={1，1，-1},故得所求

平面方程为—1)+(义一D+(Z—1)=。即h+3—N—1=0.

⑵解由题设可取所求平面的法向量为已知直线的方向向量“=S={2,3,1),从而得所

求方程为2(工一1)+3G+D+G—1)=0,即2H+3y+z=0.

(3)解已知两平面的法向量Ri-(1,一1,1),“2={2.1»1),所求平面法向量"可取为

”=不义的=(-2,1,3}。从而得所求平面方程为C—2)5—1)+6+1)+3"=1)=

。即2土一y—3z—0.

8:求满足下列条件的直线方程：

生-4_y+1_z-1

⑴过点(3,1,一2)且与直线’3-二7•一T平行；

⑵过点＜2,—3,4)且与平面工一4y+2N=1垂直；

⑶过点3,2,4)且与平面工+2Z=1和3-3Z=2平行。

答案

(1)已知直线的方向向量为$。={3,-2,1},可取所求直线的方向向量S=$6,则所求直

N-3_——1=2+_?

线方程为一厂=-2=丁・

(2)已知平面的法向量刘={1，-4,2},可取挤求直线的方向向量S=“，则所求直线方

■Z-2_y+3=z-4

程为丁—一40丁：

当访=—8时，Hu=-7,y0==14,4=—24;

当4=10时fXQ=11«%=22,ZQ=30f

即所求点为(-7,-14,-24)或(11,22,30).

(3)由两已知平面的法向量的=(1•0,2},啊={0,1,—3},可取直线的方向向建

为5=次X电={-2,3.1},于是所求的直线方程为与==#=三*.

一G31

工—1_一一2=三

2

9:在直线F―=H5上求一点,便该点到平面H+2y-2之一4的距离等于3。

答案

将直线方程化为参数式夕=2，+2,*=3»,设所求点为《巧，“，石)，

对应参数值为to，则点到平面的距离为

j_IHo十2yo—2zo—41_1

1to+1+4t0+4—6to-4|=^-|1—to|=3

^1+22+(-ZY3

即I1一£。|=9,解得io=-8或10.

1

当访=-8时»说＞=-7,yQ=-14,4=一.24：

当4=10时，XQ=11«%=22,=30f

即所求点为《一7,-14,-24)或〈U,22,30).

第七章考试题

一.单项选择题

1:平面于向量a=｛2笈，一5,4｝的单位向量是。

(A)I7*7，7J

(B)I117

(c)(士零，千率士今)

(D)｛卷干品土制

答案

C

2：向量a=1—2]+3*与5=4i+5/+2Jt的夹角是一

n

(A)T

(B)l

K

(C)T

⑻T

答案

c

H-3_y+1_jr

3：过点M(—3,5,2)且垂直于直线：一235的平面方程是

(A)-2x+3y+5x+31=0

(B)-2x4-3jr+5z-21=0

(C)2x—3y-52+31=0

(D)2x+3>+5«-19=0

答案

A

N+1一夕-3一z-1

4：过点M(l，-1,5)且平行于直线：~i5=一3的直线方程是

z-5

工-1_y+_l=之一5

(B)~5-3~

工+1y-3z—1

(C)4-15

工一1N-5

⑻~-5^

答案

A

5:方程"+必一/=。表示的曲面是

(A)球面

(B)圆锥面

(C)椭圆抛物面

⑻柱面

答案

B

二.填空题

1：已知A(4,—1,0)，B(3,0,5),则融=_。

答案

负一»二，五

2:设。=⑶4,1),&={2,6,—2},则a—26=

答案

负一，负八，五

3:设。==(1.1，2},6-{2,2,4},则aXb=

答案

零，零，零

4:过点尸(0,-3D,Q(5,4,l)的直线方程是

答案

略

5:过点及轴的平面方程是o

答案

略

三.计算题

1:已知三角形的顶点A(9,3,2)，夙1,5,6),C(10,4,7),求三角形的三条边长。

答案

IAB\=2-/21,|BC|=2®,|AC|=3"

2:求过点(2,2,2)同时垂直于平面一；+2-什7=0及2/一¥—2+2=0的平面方程。

答案

2x+3y+z—12=0.

3:求过点(2,2,一D且垂直于平面3H-，+Z=4的直线方程。

答案

工—2y-2z+1

3-11

fx-y+x+5=0,

4:求直线MH-8y+4z+36=0的对称式方程及参数方程。

答案

对称式:中=平=M

x=-4

参数式《y=_£+3.

z=—3f+2

5：求对点Mo(4,2,l)为球心，以2为半径的球面方程。

答案

(x-4)z+。-2)"+(之一1)'=4.

第八章测试题

一.计算题

1：已知函数f(如①—《〃+口尸，试求fGy，1十y)。

答案

于6+y)=(制+a+y)*7

2:已知函数2’”"4言试求

答案

/(x+>,+lx+y~y

\yiJH+,十三Nxy+y^+x

3:求下列函数的定义域：

(1)n=InCy2—4x+8)।

x=sin(^y)

(2)

(3)z=>/x-4yi

z=J10二犷二jt+,_1_.

(4)Vx2+y—2

答案

(1)由y-4x+8>0,得D={(x,y)|y>4x-8}

⑵D={(x,y)|工+y40}：

(3)由y>0,x--Jy=。，得D=(<x.y)|H=0,>0,y<x*}

(4)由10一"一y*》2,"+y?—2>0,得D={(x,y)|2<a?4-y,<10}

z=_L-；=4±^

4:指出函数(1)工一y(2)z的间断点。

答案

(1)间断点为直线工一y=0,上的所有点•

(2)间断点为抛物线V—2,=0上的所有点•

5:求下列函数的偏导数：

⑴/(x,y)=工+y—+3,求£(1,2)»

⑵z=Q+a，,求乳;，乳「

(3)"=1!1(1+3+：/+/)，求当二二y=N=1时，〃：+u；+心

⑷z=arctanyx*"i

(5)«~»

z=sin-cos2，

(6)yx

(7)z=ln(x+ln3)・

答案

因£=1一笛_丁,所以/；(1,2)=1--L

\1)vx1+•yrv5

因靠=y（l+干尸♦y=/（l+xy尸，故盍L=1.又因lnx=yln（l+到）,

⑵

故案=2[ln(1+矽)+rfe}从而=2[ln<1+】)得卜1+Zln2

»'______£______'_3J="也,_a_

(3)，=1，+工+/+/，，1+工+:+,''-1+工+—+£'当工—，—z时,

W*~/，％=卜=:，"；=率所以（U：+"；+"：）I=参

£=-eta小)；=-f=昌乙)

(4)

1

-.xi.Inx-1=々I-

1+x*22(14•6

（5）N；=ye^+grqf•cosxy•y=火1+即8§卬）/=，由轮换对称性即得

z；=工（1+4cos到）e—

：十sin}(-sin为(一壬卜|cosfcosf+*卜fsoinJ

:一与cos-cos2---sin与sin义

y*yxxyx

⑺“—4+111；/y(x+lny)a

6:设z=In”当，求全微分“k：。

答案

z；~\>dz=£二了、dx+3二如

x(.3tr+y)ar+yX(JT+y)x2+y

7:设z=（炉+，'）铲:求全微分ck。

答案

*=ea[2工—("+y)sinx]Zy=+；/)

dz=ew[2x—(J?+y2)sinxldx+Zye^(x8+^)dy

8:设z=f（"-y，产），求小嬴

答案

差=f；2H+fi^yo2xfi+泗);

ox

第=f\(-2y)+f；/工=-2yf!+xe^fi

9：设£=/（cosy+zsinQ,求Z的各二阶偏导数。

答案

dz

e”(cosy+xsiny+siny),-7=/(cosy+Nsiny+2sin^)

axdx

—e"(cosy+工cosy-siny)f=e*(—siny+rcosy)

*4=—e*(cosy+-rsinv),=争:=e*《cosy+xcosy-siny)

a,3ydxdxdy

10：设由下列方程给出函数y=/（幻，求曲:

⑴书+Iny+Inx=0»

(2)x5+y=x*，

(3)e*+e*=sin(xyz).

答案

令F(x»y)=xy+lny+lnx»贝。F*=y+-9Fy-x+-

⑴xy

立■”=一2

dxFyx

(3)令FQc,y)=e*+e*—sin《卬D,网您=e*一^COSCJC^2)

Ay=ycosGy———

F>=e*—2xycos(iy2)，dx-/一2到8s(不严)

d,

z=arctan(^y),n=产，y=d,求空.

11：设出

答案

dz=y.%-1____工一.a产=2/_i_3#=5—

dxl+xfy1+d1+x51+广

dz8g

12:设7+/=e"_yz,求*，面.

答案

令FCr,y,z)=x2+一6+丁工,则

Fx=2xfF,=2y—之一+2yz«兄=-y产

更=_星=2工生=一4=2第一寸+2”

2

dxFty——，'dyF*ye^—y

x=*y='十工,z=产(券，2・1)

13：求曲线31+=££在点12,处的切线方程及法平面方程。

答案

因为工：=(1一告)'=舟苏,〃=(1+")'=_/，*=2f,又由点

信，2,1)解出£=1,得"=%乂=-1,*=2.所以该点切向量为T=什，一】，2卜或

取为“=(1,-4,8},于是所求切线方程为

1

工2=y-2=z-1

=-4~3~

法平面方程为(工一•1")+<-4)<y—2)+8(z—1)=。，即2H-8y+16%=1.

14:求椭球面/+2^+4"=7上点(1,1,1)处的切平面和法线方程。

答案

令F(H,yt名)=砂+2；/+4/一7»则F,—2x,F,=2y,F,=8«在点

(1»1»1)处，F*=2,F,=4,F,-=8,从而得法向量为n={2,4,8)或取为nt=(1,2.

4).于是所求切平面方程为(z-D+2(y-D+4(z-D=0.即工+2+2y+42=7.

X-1"V一1Z—1

法线方程为-=2=-V

15：求函数八处必=制(1-工一皿的极值。

答案

f(工，y〉=◎-x2夕-xy2

：(工

解x-方q程.组[f/=y“i—2-二y)八=0

得驻点(0,0),(0,1),(1,0),佶，y)-因/」'=-2?,/，=一2’,九尸一2工,故

在点(0,0)：A=0,B=1,C«=0,AC-B,<0,CO,0)不是极值点•

在点(0,1)：A——2,B=-1,C=0,AC—B2<0,(0,1)不是极值点•

在点(1,0)：A=0,B=-l,C=-2,AC-B1<0,(1,0)不是极值点.

在点件i■卜从口一小B=T，C-y,ACT>0,且AVO,信，是极大值点.

从而得极大值/信，y)=^.

16：设fG，y)=/+0+/+工一,+1,求其极值。

答案

f；=2z+y+1•fy=x+2y—l.

解方程组=:，得驻点工^=-1,7=1.因“=2,1,a=2.故

I5=0>

AB~Bt>0,且A>。，得极小值/(-1,1)=0；

17:在半径为a的半球内，求一个体积为最大的内接长方体。

答案

设半球面的方程为并设长方体的长，宽，高分别为2H，2y.z.则体积

V=21•2,♦n=4到z(0<x<a»0VyV。90Vz〈a)

现求V在条件J+/+/=/下的极值.作函数F=ixyz十+V+/,解方程组

凡=4yz+2Az=0

凡=4x2：+2Ay=0

B=4到+2AZ=0

,x?+y2+x2—a2=0

得惟一驻点工=,=N=/，由题意知，此时V最大.所以长方体的长、宽分别为将，商为

时,体积最大.

v3

第八章考试题

一.单项选择题

1:函数£忌(十"的定义域是

(A)H+，>。

(B)X>0,y>0

(Ox>0,i+y>o

(p)z+y>0

答案

C

2：函数z=&=

(A)24dx+2ydy

(B)2xy2dx+2^ydy

(C)2^+2^ydy

(D);/dx+"dy

答案

B

(A)制？―//一工

(B)x2—y2—1

(D)孑一，T

答案

D

4：函数z="_2y3_2工+1的驻点是

(A)(1,-2)

(B)(2,3)

(C)(bO)

(D)(1,-6)

答案

C

5：设*=加(1+')+",则z£=

-J-+>

(A)n+y

1

(B)(工+»

_____1___

(C)入+犷

]

(D)(±+»

答案

C

二.填空题

L更=

1：设2=77一二，则ar-______o

答案

略

2:函数N=，5—/-4的最大值是

答案

根号五

答案

略

4：设汽必力=.（矽）7成）+4/则1）=.

答案

略

dy

5：设y=代工）由方程3y*-2"=4所确定，则此

答案

略

三.计算题

1：设2=1皿（卬汽,求dz。

答案

2:设之=+cos(x+y),求n=1,y=0,Ax=0,ltAy=0.2时加的值。

答案

0.2—0»3sinl,

3：设工=仃，求4。

答案

4(l+31n2)j

4:设N=/(“，口而"=丁’'""工’其中八“•◎》有一阶偏导数，求说'后.

答案

2矽f；—W『：，+二

X工

5:解下列各题：

Ay

⑴设到+lny+lnx=0,求业；

(2)设1,求W,z。

dz।dz

⑶设2sin(Z+2y—3i)=x+2y-3x求法十行,

答案

一2

⑴”t

牛二z也=二

⑵也x+z,dyy(x+z)

⑶L

6:求函数*=3(工+必_/_/的极值。

答案

极大值f(l,1)=4>极小值于(一h-1)=-4.

7:某养殖场饲#两种鱼，若放养力万尾)甲种鱼，双万尾)乙种鱼，则甲、乙两种鱼的收获

量依次为(3一皿一电)工，(4一亚一22方，(o>0,p>0)问放入两种鱼各多少尾,可使产

鱼量最大？

答案

应放养甲种鱼翁军万尾，乙种鱼台三舞万尾•

第九章测试题

一.计算题

1:计算下列二重积分：

⑴』（工+y+Dda其中D为。石工（1，。<=2,

⑵^^”也心其中口为04工《1,一1《、&0,

ITdxdy

⑶4（工一切;其中D为34y44,

（4）『勾血3）宜［其中0为0.&会。.<2.

答案

⑴原式=fdr((％+y+l)dy=[傍/+G+D可产=

(4.+2x)dz=+=5

⑵原式=1dzic产产dy==£(1-e-x)dr=[_x+e-x]J=e-l

(不原式=—57dx=「一加

Vo；JAJl(X-y)J3H-W】

（岛-力加=［ln］总卜2］成一山3

ycos(xy2)dy=-yj^dzjzcos(oy2)d(xy2)=

原式口

（4）

--J^xsin4xdx处一?os4工+营m4工［=一金

2:利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性,确定下列积分的值:

口（工+工厅）立

（1）p,其中D是半圆―+944,y》（h

⑵卜其中D是矩形

答案

(1)由于被积函数关于工是奇函数.积分区域关于y轴对称，所以原式=0.

(2)由于被积函数关于y是奇函数,积分区域关于x轴对称，所以原式=o.

3:改变下列各积分的次序：

M/GX,y)dxi

,

far</fcxc-x

⑵L呵,仆，外如

/(xy)dy+f(1,y)d»

⑶J。Jot

答案

(1)积分区域D：，如图9-L所示♦改写9：/4，=工，0《工&1.得

原式式可；f(19yydy

图9-1

⑵积分区域。/W32az-&h&a,如图9-2所示，得

原式=J：M，RfQ,y)dz

图9-2

(3)积分区域为D=D1十5•如图9-3所示,01：0&》《"，0《工41,

Dlt0<y<-j-(3-z),1工工43,改写。：右《工《3-2,，0&y<1,得

原式=(dyj)(孙>)dx

4:选择恰当的坐标系计算下列二重积分:

cos(x+y)dxdyD：H=0,y==z

⑴可t所围成的区域;

IT0dzd»D$%=2,y=为初

1

⑵相所围成的区域;

2

IlycLzd^fD：x+丁4

⑶学,所包围的在第一象限中的区域;

『一W'irdy.D：x2+/=1

(4)电所围成的区域。

答案

⑴积分区域D：O&y&x,04工=“如图9-4所示，选择直角坐标系项

原式=Jody/。cos(z+y)dx=J。(sin2y-sinjrJdjr=[一^cos2y4-cosy]=—2

⑵积分区域D：1&h&2,。&yE工，如图9-5所示，选择直角坐标系，则

原式=fdxji=Ji("一力dx=信4一片］：=23

困9-5

小选择极坐标系，D：O&8《字，0&『42,得

原式=J^d^rsinfrdr=(fsin6d5)(jjdr)=[―8刈)信一]=/

(4)选择极坐标系，D；0&e《2n,0<r<l.

原式=dS^e'rdr=2”•(—/e")'=-n(e-1—1)="(1—

5:利用二重积分求下列曲面所围成的立体的区域：

(1)抛物柱面z=4一"，三个坐标面和平面2工+、=4所在第一卦限的部分;

Q9—+义+­=1♦z=0.

(2)抛物柱面2y=工，平面422

答案

(1)立体在Qy面上得投影D由1=0,y=0,2a+jr=4围成，如图9-6所

示，0&y44—2H

V=0(4—x^cLcd,=f也(4一d间)=

支十中工=当

(2)立体在4面上的投影为D：-2<y<l,2y<x<4-2/如图9-7所示.

V=0(2一,一幸版的=LM；(2_y_f)dx

D

[4y-2?->5+|y+9L=1

图9-7

第九章考试题

单项选择题

2=

，其中D为*+丁41.

(A)3n

(B)2«

(02”

(D)〃

答案

D

2：二重积分,其中。为了"+城44.

16

(A)Tx

(B)4a

32

(0TK

(D)8“

答案

A

1=(X，y)dff,

_lk。：°a工41，O/y&H，且2</(工，y)<4((x,y)eD)

3：设°•-，则

(A)04IW2

(B)1<7<2

(C)14I44

(D)24I&4

答案

B

工，-H/Cx,y)由

4：二重积分可在极坐标系的表达式为0

(A)电/(rsin^,rcosWda

⑻/x可rcosfi)rdff

/(rsin^,rcosff)rdrdff

(0p

|/(rsin5,rcostf)drcW

(D)电

答案

C

5：二次积分工吐0视y交换次序后为。

(B)工可/(与M

(CJ：M"，，)&

(D)WK'M

答案

A

二.填空题

1：设。是工=0，，=。，/+3=1围成的三角形区域，则下列两个二重积分的关系是

卜工+Wda+

答案

大于

2:设D是则二重积分M在直角坐标系的二次积分为―

________O

答案

略

•ITye^^dff=

3:设D是关于工轴对称的平面区域,则二重积分电o

答案

0

,.y）do

4:设D是圆形区域"十*42,则二重积分电在极坐标系的二次积分为

答案

略

5:设平面薄片所占有的闭区域D是工+，=2,，工工和工轴所围成，它的面密度是"+炉

则该薄片重量的二次积分表达式为o

答案

略

三.计算题

1:求0（工+"什其中D是顶点分别为（°如如，0）和说‘冷的三角形区域。

答案

3

F

2:求卜其中D由，=工*，）=2所围成。

答案

14

•rfCr，.

3:化二重积分出为直角坐标系下两种不同次序的二次积分，其中D是由==°，

工+y=2,y=*围成的。

答案

J#dx|/(x,y)dyt(间；/《xfy)dx+/(x,7)dx5

4:求曲面zu/十寸与平面N=4所围成的立体体积。

答案

8n.

第十章测试题

一.计算题

1:计算下列对弧长的曲线积分:

⑴£2%，L为圆周/+丁=8,

⑵上一3aL为以0(0,0),A(l,0)和以0,D为顶点的三角形的整个边界;

=2(cosr+Esin。0=2(sint一比os±),0&E421r.

⑶为曲线”

答案

小由题设知，积分曲线的弧长S=8；t,故2dS=2S=16倡

由题设知,积分曲线弧长S=2+72,3ds=-3S=-6—3技

⑵

(3)工；=2(-sini+sint+icosO=2tcc4

yt=2(cost-cost+rsint)=2zsinfdS=Q+，'=2fdz

故jj"+/)dS=(4(1+»)•Ztdt=«+户)山=

8［寰+%］；=161(1+21r*)

2:计算下列对坐标的曲线积分：

⑴/,一"成山是抛物线y"上从点(°，°)到J，D的一段孤；

(2)£/^+/)&+(/-2专0的山为以4(1,1),B(3,1),C(3,5),D(l,5)为顶点的正向

矩形边界；

(3J/ir—zd，+Hdx,r为曲线JC=r2,y=?,r=t上从，=0到，=2的一段

答案

⑴J尸"7dx=[*7巧；T

(2)积分路径分为四个直线段：

AB：y=1(l<x<3)>BC：x=3

CD?»=5(工由3变化到l)jDA：N=由5变化到1)

则原式=jj*'+Ddx+J^Cy2—6y)dy+JgCr2+25)dz+(y2-2y)dy=

jj"+l)dx+£(y-6y)dy+((/+25)dx+Jjj—2y)dy=

一f24dx—4[)/=((注:四个积分两国可梯消一部分)

一48—48=-96

⑶dx―2£曲，dy—36dhdz=dz,故

原式=f⑵，-3"+产池=[#一+，+家工=34

3:利用格林公式计并下列曲线积分：

⑴£-2x+/^dy«L为正向圆周一+V=4,

/、j(3工+3—4)dz+(5H—y—9)dy,L为正向椭圆周界3/+4丁=1;

(2)JL-

(3)£(2布—3.—3y)dx+(x2—4xy3+z〉dy,L为正向圆周(工一】尸+=2.

答案

2

、因P=xy9Q=4"一23+，,12一票2—/=-2,

⑴3oxBy

。—2dzdy=-2X

原式=4K=8TT

因P=3i+y+4,Q=5工一y—9,平=券=5—1=4.故

⑵ox3y

原式=j[4dxdy=4%停^=y底t

<1

(3)因P=2y—y4—Q=x2—4叼3+2x

翳一招=3-。+2）一侬一姨—3）=5

原式=J5dLrdy=5X2K=10度

故d+Jv

4:证明下列积分与路径无关:

/J(x+2xy+2y-3)dr+(2土+炉+y+l)dw

⑴几

工(3丁)+9初2)业++Z^y+12y^)dyi

⑵

j(2xcosy+ycosx)dr+(2ysinx-siny)dy.

⑶

答案

因为P=x+2xy+2y—39。=2了+/+y+1,雪=21+2=乎，所

(1)oy3%

给积分与路径无关.

3

/9\因为P=3%与+8到，Q=x+87y+l2y-工=3/+16xy=盥，所给

\L)dvax

积分与路径无关.

/c\因为P=2xcosy-Fy2cosxiQ=2ysinx—xzsiny,—2xsinj+2ycosx

⑶oy

患，所给积分与路径无关.

第十章考试题

单项选择题

1：设L为工—°一&9，则（4ds=

(A)4x0

(B)6

(C)6工。

(D)4

答案

B

2：设L为曲线,=/上从AQ,D到B(0,0)的一段弧，则(产打=。

/J2x2dx

(A)Jo

(B)N

(cj>&

⑻工.

答案

C

3：设曲线L取顺时针方向的圆周一+，2=a”为L所围成的区域，则如反一出=_

_______0

(A)2+

⑻-2+

(0一仝

(D)痴

答案

A

4：设L是曲线y=与直线,=工所围成区域的整个边界曲线，八工，外是连续函数，则

<pf(工,y)ds=

JLo

3

/A.f/(X,x)dx+[f(工,x)dx

(A)J0Jo

(B)L/(“，山办十工人如山的

ff(工，二)，1+9N4dx+ff(H,x)V2dx

(C)J。Jo

,.［/(x,H”，］+9H'+f(.x,x)V2］ir

(D)JT

答案

D

jx=R(t-sim)「

5：设L是摆线］=R(l-cos力从0(0,0)到B(2TTR,0)的_拱，则JJ2R-，)dx+Hdy=

__o

(A)-2KRZ

(B)2XR2

(c)一“a

(D)HR?

答案

A

二.填空题

(x=acos^.r

1：若L上半椭圆［=6sin取顺时针方向，贝(JIN一曲的值为。

答案

略

2：设L为直线y="上从点A(0，”)到点B(3,”)的有向线段，则J/d,=。

答案

0

f(1.2)

...f(工+y)dx+/(x+y)dy=

3:设义工)有连续的一阶导数，则几曲_______。

答案

略

4：设L是圆域(工-1尸+3—4>49按顺时针方向的边界曲线，

贝岐J，-2x)<Lr+(3x+y)dy=

答案

略

5：设平面曲线)=/(°a工42)上每一点的密度等于该点到原点的距离，则该曲线的质

量表达式O

答案

略

三.计算题

1:计算[*的一反处，其中积分路径为

金4y一1

(1)在椭圆靛〃=上，从点AS，。)依顺时针方向到点83,-6)；

b.

(2)在直线'一『一"上,从点AS，0)到点B(0，-矶

答案

(2)一曲

2:利用格林公式计算下列曲线积分：

(])£g+'>dx+("+y)dwL.0MH/i,d《，《H的正向边界曲线；

..6(x+3y4-^-)dr+(e*++2x)dy»L，广，皿有足1+g=L

⑵工3,''为正向椭圆周：,皆

答案

⑴磊

(2)~nob

3：证明曲线积分：卜H+4一出+《6"必一5‘，曲与路径无关，并求

f(H'+4xy')dz+一5y')d»

」if的值。

答案

62.

4：已知螺旋线工=acos£,y=asint，z=&上每一点的密度等于该点到原点的距离平方，试

求曲线在部分的质量。

答案

5：设力「=6一/"+S+sin2y)j,证明此变力作功与路径无关，并求质点从点A(0,0),

移动到点BQ，D力F所作的功。

答案

7sin2

T

第十一章测试题

计算题

1：写出下列级数的前五项：

(1)§(2n-l)(2n+D，

⑵刍V萨nl’

V(一1尸

⑶+

答案

V------------=工H----1------1---=---1---i—+

⑴W(2〃-1)1(2〃+1)3T3X515X7^7X99X11

总为1+患+和系+升,

、乙)

.HE=上__++„..

(3)£\/"n+Da5/FXT同CAXT

2:写出下列级数的一般项：

14.11_U1

(1)1+彳+上声+豆+…；

23,45,6

⑵12十34+5’

a2a3,a4a5,

(3)3579r'

答案

⑴%=声'

(2)%=(一］尸中,

…=(一1产5

⑶2«+1

3:判断下列级数的收敛性:

0.001+，0.001+:0.001d---F沟■而I+…;

(1)

442,4344,,“14”上

(2)亍―/+3_0+(_］)

14.3,5,7,

⑶彳+了+5百+…；

⑷佶++)+(*+余)+(送+卷)+

答案

八、因limu.=limO.OOl：==1#0,故此级数发散.

(［，L9«-*<»W*8

4

因此级数是公比lgI-=4<1的几何级数,故此级数收敛.

0

⑶因呵"吧.=】工。，故此级数发归

⑷因春+■+壶+**是q=看V1的几何级数,收敛;

++吉+上+…与衣是gVI的几何级数他收敛，故原级数=£仔+a)收敛•

4:判断下列级数的敛散性:

V1

(1)占31

y—1—

⑵幺3n2+1

⑶2卜

2"

(2n-l)3"

(4)■-1

2n+7

3"'

(5)

(6)52”

（2”+D!’

（2小

2”

（8）Xn（n+l）,

答案

⑴”•"方三,2'而£7发散，放所给级数发散•

⑵看,而£去收敛，故原级数收敛.

⑶“”=（舟）”=信一v（打，而£（打收敛，

故原级数收敛.

⑷“•二京4&（打，而工信）"收敛，故原级数收敛，

⑸场皆=阳黠需=巴悬撮=/V1，故此级数收敛•

（6）%置~=蚓2荔卷字器=蚓g彳/砧幻=。VI，故此级数收敛•

2

⑺场黄心等照端以心”W

故此级数发散.

lim竽=2与差注誉产）=lim鼻=2>1，故此级数发散•

（8）l8uttL82+］）—8n+Z

5:判定下列级数哪些是绝对收敛，哪些是条件收敛：

G（一1尸

⑴与（2n+D”

W牛

⑵*】n*

8.

sin2n

S—,

答案

⑴因1-口西/<芬而£与收敛,故£f1收敛,

所以原级数绝对收敛.

(一1尸4'P=/V1'故它(jz-发散.

⑵a'"°»-1n

但所给级数为交错级数•"小=丁+',<4=击，

且lim“.=0,由莱布尼兹审敛法知，原级数收敛，从面知原级数是条件收敛的.

L8

⑶因|竽卜去,而宫去收敛，故原级数绝对收敛.

6:求下列幕级数的收敛区间:

&获TT门

⑴

⑵

产

⑶2⑵%

答案

P3,+411时喝错收敛，

R也向=17

(1)

工一】时，£削=£露发散，所以收敛区间为《一】,口•

②u“（z）=传由几何级数的收敛性知怪IVI时，级数收敛，仔|2】时，级

数发散，故所求收敛区间为（一1,3）.

=㈣IM=^^+3)(2n+2)=8

故收敛区间为（-8,+8〉.

7:将下列函数展开成工的塞级数:

⑴ej

⑵工3d

1

⑶1+工”

1

⑷3r.

答案

..因e*=£xE(―°°»+0o)

⑴仁«!

所以e"=£*7"=S守B》£(-8,+8)

8

因£±r*xW(-8.+oo)

(2)

所以工3/£今

10°

因----=1+工+x2+…+丁+…=£]-d工G(-1,1)

⑶一3"0

所以2(一丁尸=X(一工£(一1，1)

工十“2。n->0''

因^^=\工X6<-1»1)

(4)X/«-0

所以£7一卷7=含传)、.捻•