小学五年级奥数题库

小学五年级奥数题

一、小数的巧算

(-)填空题

1.计算1.996+19.97+199.8=。

答案:221.766o

解析：原式=(2-0.004)+(20-0.03)+(200-0.2)

=222-(0.004+0.03+0.2)

=221.766o

2.计算1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19=

答案：103.25。

解析：原式=1.1x(1+3+…+9)+1.01x(11+13+…+19)

=1.1x25+1.01x75

=103.250

3.计算2.89x4.68+4.68x6.11+4.68=。

答案:46.8o

解析：4.68X(2.89+6.11+1)=46.8

4.计算17.48x37-17.48x19+17.48x82=。

答案：1748。

解析：原式=17.48X37-17.48X19+17.48X82

=17.48X(37-19+82)

=17.48X100

=17480

5.计算1.25x0.32x2.5=。

答案：1。

解析：原式=(1.25x0.8)x(0.4x2.5)

=1x1

=lo

6.计算75x4.7+15.9x25=。

答案:750o

原式=75x4.7+5.3x(3x25)

=75x(4.7+5.3)

=75x10

=750o

7.计算28.67x67+3.2x286.7+573.4x0.05=

答案:2867o

原式=28.67x67+32x28.67+28.67x(20x0.05)

=28.67x(67+32+1)

=28.67x100

=2867o

(二)解答题

8.计算172.4x6.2+2724x0.38。

答案:原式=172.4x6.2+(1724+1000)x0.38

=172.4x6.2+1724x0.38+1000x0.38

=172.4x6.2+172.4x3.8+380

=172.4x(6.2+3.8)+380

=172.4x10+380

=1724+380

=2104o

9.

计算0.00-0181xO.00-011

963个01028个0o

答案：181是三位，11是两位,相乘后181x11=1991是四位,三位加两位是五位,因此1991

前面还要添一个0,又963+1028=1991,所以

0.00—0181x0.00-011=0.00---01991

963个01028个01992个0。

10.计算12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.230

答案：9个加数中,十位、个位、十分位、百分位的数都是广9,所以，

原式=11.llx(1+2+…+9)

=11.11x45

=499.95o

二、数的整除性

(-)填空题

1.四位数“3A41”是9的倍数，那么A=o

答案:7。

解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,

可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。

设3+A+A+l=9,则A=2.5,不合题意.再设3+4+4+1=18,则4=7,符合题意。事实

上，3771+9=419。

2.在“25口79这个数的口内填上一个数字,使这个数能被11整除，方格内应填o

答案：1。

解析：这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是。或是11的倍数，那么这个数能

被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+口+9应等于12,口内应

填12-2-9=1o

3.能同时被2、3、5整除的最大三位数是o

答案：990o

解析：要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0。要能被3整除，又要是最大

的三位数,这个数是990o

4.能同时被2、5、7整除的最大五位数是o

答案：99960o

解析：解法一：能被2、5整除，个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999口0,

可知方框内应填6。所以，能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960。

解法二：或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是

100030o它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是

100030-70=99960o

5.1至100以内所有不能被3整除的数的和是o

答案:3367o

解析：先求出「100这100个数的和，再求100以内所有能被3整除的数的和，以上二和

之差就是所有不能被3整除的数的和。

(1+2+3+—+100)-(3+6+9+12+—+99)

=(1+100)^2x100-(3+99)+2x33

=5050-1683

=3367o

6.所有能被3整除的两位数的和是o

答案：1665。

解析：能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:

12,15,18,21,…，96,99

这一列数共30个数，其和为

12+15+18+-+96+99

=(12+99)x30+2

=1665o

7.已知一个五位数口691口能被55整除,所有符合题意的五位数是o

答案:96910或46915。

解析：五位数旃历能被55整除，即此五位数既能被5整除,又能被11整除。所以庐0

或5。当庐。时,福而能被11整除,所以(4+9+0)-(6+1)=4+2能被11整除,因此4=9；

当时，同样可求出4=4。所以，所求的五位数是96910或469150

(二)解答题

8.173口是个四位数字，数学老师说：“我在这个口中先后填入3个数字，

所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的

和是多少？

答案：•・•能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，

1+7+3+口=11+口

・•・口内只能填只

•••能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得的

差能被11整除。

...(7+口)-(1+3)=3+口能被11整除，口内只能填8。

•••能被6整除的自然数是偶数,并且数字和能被3整除，

而1+7+3+口=□+口,口内只能填4。

所以，所填三个数字之和是7+8+4=19。

9.在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，

这个七位数最小值是多少？

解析：设补上的三个数字组成三位数返，由这个七位数能被2,5整除,说明AO；

由这个七位数能被3整除知l+9+9+2+a+Zrbc=21+a+济。能被11整除，从而a+8能被3整

除；由这个七位数又能被11整除，可知(l+9+a+c)-(9+2+6)=a■正1能被11整除；由所

组成的七位数应该最小，因而取a+b=3,从而ar2,ZF1O

所以这个最小七位数是1992210c

［注］小朋友通常的解法是:根据这个七位数分别能被2,3,5,11整除的条件,这个七位数

必定是2,3,5,11的公倍数，而2,3,5,11的最小公倍数是2x3x5x11=330。这

样，1992000+330=6036…120,因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数，即

1992000+(330-120)=1992210o

10.在“改革”村的黑市上,人们只要有心，总是可以把两张任意的食品票换成3张其他

票券,也可以反过来交换。试问，合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100肠票,并

且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？

答案：不可能。

由于瓦夏原有100张票，最后还有100张票，所以他作了多少次“两换三”，那么也

就作了多少次“三换两”，因此他一共出手了24+3F5A张票，而1991不是5的倍数。

三质数与合数

(-)填空题

1.在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有;既不是合数又不是质数的有

____；既是偶数又是质数的有0

答案：9,1,2o

解析：在一位自然数中,奇数有：1,3,5,7,9,其中仅有9为合数，故第一个空填9o

在一位自然数中，质数有2、3、5、7,合数有4、6、8、9,所以既不是合数又不

是质数的为lo

在一位自然数中，偶数有2、4、6、8,所以既是偶数又是质数的数为2。

2.最小的质数与最接近100的质数的乘积是o

答案：202o

解析：最小的质数是2,最接近100的质数是101,它们的乘积是2xl01=202o

3.两个自然数的和与差的积是41,那么这两个自然数的积是o

答案:420o

解析：首先注意到41是质数,两个自然数的和与差的积是41,可见它们的差是1,这是两

个连续的自然数,大数是21,小数是20,所以这两个自然数的积是20x21=420。

4.在下式口中分别填入三个质数,使等式成立。

□+□+□=50

答案：2、5、430

解析：接近50的质数有43,再将7分拆成质数2与质数5的和.即

2+5+43=50o

另外,还有

2+19+29=50,

2+11+37=50。

［注］填法不是唯一的，如也可以写成

41+2+7=50。

5.三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是、、o

答案:11,12,13。

解析：将1716分解质因数得：

1716=2x2x3x11x13

=llx(2x2x3)xl3

由此可以看出这三个数是11,12,13。

6.找出1992所有的不同质因数，它们的和是o

答案:88o

解析：先把1992分解质因数,然后把不同质数相加，求出它们的和。

1992=2x2x2x3x83

所以1992所有不同的质因数有:2,3,83。它们的和是

2+3+83=88o

7.如果自然数有四个不同的质因数，那么这样的自然数中最小的是o

答案:210o

解析：最小的四个质数是2,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是

2x3x5x7=210。

(-)解答题

8.2,3,5,7,11,…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数。已知一个

长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位。问这个长方形的面积至多是多

少个平方单位？

答案：由于长+宽是36+2=18,

将18表示为两个质数和18=5+13=7+11,

所以长方形的面积是5x13=65或7x11=77,

故长方形的面积至多是77平方单位。

9.把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。

答案：先把7,14,20,21,28,30分解质因数，看这六个数中共有哪几个质因数，再分摊在

两组中，使两组数乘积相等。

14-7x220-2x2x5

21=3x728=2x2x7

30-2x3x57

从上面五个数分解质因数来看,连7在内共有质因数四个7,六个2,二个3,二个5,

因此每组数中一定要含三个2,一个3,一个5,二个70

六个数可分成如下两组(分法是唯一的)：

第一组:7、28、和30

第二组：14、21和20

且7x28x30=14x21x20=5880满足要求。

［注］解答此题的关键是审题,抓住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”。实质

上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同。

10.学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间，问哪

几种分法？

答案：把1430分解质因数得：

1430=2x5x11x13

根据题目的要求，应在2、5、11及13中选用若干个数，使它们的乘积在100到200

之间，于是得三种答案：

(1)2x5x11=110；

(2)2x5x13=130；

(3)11x13=143.

所以，有三种分法:一种是分为13队，每队110人；二是分为11队，每队130人；三

是分为10队，每队143人。

四约数与倍数

1.28的所有约数之和是。

答案：56O

解析：28的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为

1+2+4+7+14+28=56。

2.用105个大小相同的正方形拼成一个长方形，有种不同的拼法。

答案:4。

解析：因为105的约数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105

和1,35和3,21与5,15与7o所以能拼成4种不同的长方形。

3.一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数，十位数字与个位数字的积是24.

这个两位数是o

答案：64o

解析：因为28=2x2x7,所以28的约数有6个：1,2,4,7,14,28。在数字0,1,2,…，9中，

只有6与4之积，或者8与3之积是24,又6-4=2,8-3=5。故符合题目要求的两位数

仅有64o

4.李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组，总共种树667棵,如果师

生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生____人。

答案：28o

解析：因为667=23x29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的约数:1,23,29,667.显

然,每人种667棵是不可能的。

当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能。

当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求。

当每人种1棵树时,全班人数应是667T=666,但666不能被4整除,不可能。

所以，一班共有28名学生。

5.两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是o

答案:40或20。

解析：两个自然数的和是50,最大公约数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它

们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20。

［注］这里的关键是依最大公约数是5的条件，将50分拆为两数之和：50=5+45=15+35。

6.现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可

分给个小朋友,每个小朋友得梨个,桔个。

答案：36,1,3。

解析：要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等,

小朋友的人数一定是36的约数，又要是108的约数，即一定是36和108的公约数.因

为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公约数。36和

108的最大公约数是36,也就是可分给36个小朋友。

每个小朋友可分得梨：36+36=1(只)，

每个小朋友可分得桔子：108+36=3(只)，

所以，最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只。

7.一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片块。

答案:56O

解析：剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是

48与42的公约数，题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公

约数。

因为48=2x2x2x2x3,42=2x3x7,所以48与42的最大公约数是6。这样，最大正方形

的边长是6厘米。由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪

(48+6)x(42+6)=8x7=56(块)正方形布片。

8.写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1,但两两均不互质，请问有多

少组这种解？

答案：三组。

解析：三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公约数只能分别是

2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组。

9.和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？

答案：四个数的最大公约数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最大公约数应该

是1111的约数。将1111作质因数分解，得

1111=11x101

最大公约数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,

所得商的和应为11。现有

1+2+3+5=11,

即存在着下面四个数

101,101x2,101x3,101x5,

它们的和恰好是

101x(1+2+3+5)=101x11=1111,

它们的最大公约数为101,所以101为所求。

10.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4,米，黄鼠狼每次跳2之米，它们每秒钟

24

都只跳一次.比赛途中，从起点开始每隔12：米设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷

O

井时,另一个跳了多少米？

答案：黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是2之与12。的“最小公倍数”经，即跳了

484

2+口=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是八和12之的“最小公倍数”里，

44282

即跳了艺+2=11次掉进陷井。

22

经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是4，x9=4().5(米)。

2

五带余数除法

(-)填空题

1.小东在计算除法时，把除数87写成78,结果得到的商是54,余数是8.正确的商是

,余数是O

答案:48,44o

解析：依题意得：被除数=78x54+8=4220,而4220=87x48+44,所以正确的商是48,余数

是44o

2.a.24=121……b,要使余数最大,被除数应该等于o

答案：2927o

解析：因为余数一定要比除数小,所以余数最大为23,故有，

被除数=24x121+23=2927。

3.一个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是。

答案：831

解析：这个三位数可以写成：

37x商+17=36x商+（商+17）。

根据“被36除余3”。（商+17）被36除要余3。商只能是22（如果商更大的话，与题

目条件“三位数”不符合）。

因此,这个三位数是37x22+17=831。

4.393除以一个两位数,余数为8,这样的两位数有个,它们是。

答案:11,35,55,77。

解析：393减8,那么差一定能被两位数整除。

V393-8=385,

385=5x7x11=(5x7)x11=(5x11)x7=(7x11)x5,

,385能被两位数11,35,55,77整除。本题的答案是4个:11,35,55,77。

5.31453x68765x987657的积，除以4的余数是。

答案：1。

解析：V31453^4=7863-1

68765+4=17191…1

987657+4=246914…1

lxlxl=l

.*.31453x68765x987657的积除以4余数是1。

6.888……8乘以666……6的积,除以7余数是。

飞汴8'—个6

答案:50

解析：因为111111能被7整除，所以888888和666666均能被7整除。而50=6x8+2,故

得被乘数与88被7除的余数相同，乘数与66被7除的余数相同,进而得:被乘数被7除

余4,乘数被7除余3。所以乘积与(4x3=)12被7整除的余数相同。因此得乘积被7除

的余数是5。

7.如果时针现在表示的时间是18点整,那么分针旋转1990圈之后是点钟。

答案：16。

解析：因为分针旋转一圈为一个钟头,所以分针旋转24圈，时针旋转2圈.若以现时18

点整为起点与终点,这样时针又回到18点整的位置上。

由1990+24=82…余22,可知那时时钟表示的时间应是16点整。

（二）解答题

8.幼儿园某班学生做游戏，如果每个学生分得的弹子一样多，弹子就多12颗，如果再

增加12颗弹子，那么每个学生正好分得12颗，问这班有多少个学生？原有多少颗弹子？

答案：依题意知，原来每个学生分相等的若干颗，余12颗，则学生人数大于12.同时由

增加12颗后每个学生正好分得12颗,即12+12=24（颗），24能被班级人数整除,又24能

分解为

24=1x24=2x12=3x8=4x6

由班级人数大于12,可知符合题意的是24人。所以,共有弹子数12x24-12=276（颗）。

9.已知：5=199119911991……1991,问：a除以13,余数是几？

"-91个通］

答案：用试除的方法可知：199119911991可以被13除尽。原数a有1991个1991.因为

1991除以3余2,所以a与19911991除以13所得余数相同。又19911991除以13余8,

所以a除以13的余数也是8。

10.100个7组成的一百位数，被13除后，问：

⑴余数是多少？

⑵商数中各位数字之和是多少？

答案:因为777777+13=59829,即777777能被13整除,把这100个7,从第一个起,每6

个分成一组，100+6=16…4,共16组还多4个。

每一组除以13的商都是59829,7777除以13的商是598,余数是3。

所以，100个7组成一百位数除以13后,余数是3,商数中各位数字之和是

(5+9+8+2+9)x164-(5+9+8)=550。

六中国剩余定理

(-)填空题

1.有一个数，除以3余数是1,除以4余数是3,这个数除以12余数是o

答案：7。

解析：因为除以3余数是1的数是1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…

除以4余数是3的数是3,7,11,15,19,23,27,31-

所以，同时符合除以3余数是1,除以4余数是3的数有7,19,31,…这些数

除以12余数均为7。

2.一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,这个两位数是。

答案：14。

解析：用一个两位数除58余2,除73余3,除85余1,那么58-2=56,73-3=70,85-1=84

能被这「两位数整除,这个两位数一定是56、70和84的公约数.

2567084

712XR542

456

由可可见,56、70、84的两位数公约数是2x7=14,可见这个两位数是14。

3.学习委员收买练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组2.61元,第二组3.19元，

第三组2.61元,第四组3.48元,又知道每本练习本价格都超过1角，全班共有人。

答案：41

解析：根据题意得：

319-261=练习本单价x第二、一组人数之差，

348-319=练习本单价x第四、二组人数之差。即

练习本单价x第二、一组人数之差=58,

练习本单价x第四、二组人数之差=29,

所以,练习本单价是58与29的公约数,这样,练习本的单价是29分，即0.29元。

因此,全班人数是

（2.61x2+3.19+3.48）+0.29

=11.89+0.29

=41（人）。

［注］这里为了利用练习本单价是总价的公约数这一隐含条件，将小数化成整数来考

虑，为解决问题提供了方便.这里也可直接找261、319和348的公约数，但比较困难.上

述解法从一定意义上说是受了辗转相除法的启示。

4.五年级两个班的学生一起排队出操,如果9人排一行,多出一个人;如果10人排一行,

同样多出一个人.这两个班最少共有人。

答案：91

解析：如果将两个班的人数减少1人,则9人一排或10人一排都正好排完没有剩余,所

以两班人数减1是9和10的公倍数,又要求这两班至少有几人,可以求出9和10的最小

公倍数,然后再加上1.所以,这两个班最少有9x10+1=91（人）。

5.一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余1,这个数最小是。

答案:210o

解析：一个数能被3,5,7整除,这个数一定是3,5,7的公倍数.3,5,7的公倍数依次

为：105,210,315,420,……，其中被11除余数为1的最小数是210,所以这个最小数是

210o

6.同学们进行队列训练，如果每排8人，最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4

人，参加队列训练的学生最少有人。

答案：46人。

解析：如果总人数少6人,则每排8人和每排10人,均恰好排完无剩余。由此可见,人数

比10和8的最小公倍数多6人，10和8的最小公倍数是40,所以参加队列训练的学生至

少有46人。

7.把几十个苹果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个,每份4个余3个.

这堆苹果共有个。

答案:71o

解析：依题意知,这堆苹果总个数,添进1个苹果后，正好是9,8,4的倍数.因为9,8,4的

最小公倍数是9x8=72,所以这堆苹果至少有9x87=71（个）。

［注］本题为什么求9,8,4的最小公倍数呢?这是根据限制条件“这堆苹果共几十个”

决定的.若限制条件改为“这堆苹果的个数在100-200之间”的话，那么这堆苹果共有

9x8x27=141（个）。因此，在解答问题时，一定要把条件看清楚，尤其要注意“隐含条

件”的应用。

（二）解答题

8.有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩

下3个。这盒乒乓球至少有多少个？

答案:如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数，10个10个地数，12个12个的数都正

好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓

球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3o

2____8一LQ_12

2456

253

故8,10,12的最小公倍数是2x2x2x5x3=120o所以这盒乒乓球有123个。

9.求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整数。

答案:设所求数为x,则x+2就能同时被6,8,10整除.由于[6,8,10]=120,所以

x=120-2=118o

10.一盒围棋子,三只三只数多二只，五只五只数多四只，七只七只数多六只,若此盒围

棋子的个数在200到300之间，问有多少围棋子？

答案：设有4个围棋子，则x子是3,5,7的倍数,x+1是[3,5,7]=3x5x7=105的倍数,

x+l=210,%=209。

七奇数与偶数

(-)填空题

1.2,4,6,8,……是连续的偶数，若五个连续的偶数的和是320,这五个数中最小的

一个是o

答案：60o

解析：这五个连续偶数的第三个(即中间的那一个)偶数是320+5=64。所以，最小的偶

数是60。

2.有两个质数,它们的和是小于100的奇数,并且是17的倍数.这两个质数是o

答案：2,83。

解析：因为两个质数的和是奇数,所以必有一个是2。小于100的17的奇数倍有17,51

和85三个，17,51与2的差都不是质数,所以另一个质数是85-2=83o

3.100个自然数,它们的和是10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,那么,这

些数里至多有个偶数。

答案:48

解析：由于100个自然数的和是10000,即100个自然数中必须有偶数个奇数，又由于奇

数比偶数多，因此偶数最多只有48个。

4.下图是一张靶纸，靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数.甲说:我打了六枪,

每枪都中靶得分,共得了27分.乙说:我打了3枪,每枪都中靶得分,共得了27分。

已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是。

答案：甲

解析：由于分数都是奇数,6个奇数之和为偶数,不可能是奇数27,所以说假话的是甲。

5.一次数学考试共有20道题,规定答对一题得2分,答错一题扣1分,未答的题不计分。

考试结束后，小明共得23分。他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是

个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了道题。

答案：30

解析：小明做错的题的数目一定是奇数个,若是做错1个,则应做对12个才会得

12x2-1=23分,这样小明共做13个题，未做的题的个数7不是偶数；若是做错3个，则

应做对13个才能得13x2-3=23分，这样未答的题是4个，恰为偶数个。此外小明不可

能做错5个或5个以上的题.故他做错的题有3个。

7.有一批文章共15篇，各篇文章的页数分别是1页、2页、3页……14页和15页的稿

纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码。那么每篇文章的第一页是

奇数页码的文章最多有篇。

答案：11。

解析：根据奇数+偶数=奇数的性质,先编排偶数页的文章(2页,4页，…，14页)，这样共

有7篇文章的第一页都是奇数页码。

然后，编排奇数页的文章(1页,3页,…，15页)，根据奇数+奇数=偶数的性质，这

样编排，就又有4篇文章的第一页都是奇数页码。

所以,每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是7+4=11(篇)。

7.一本书中间的某一张被撕掉了，余下的各页码数之和是1133,这本书有页，撕掉

的是第页和第页。

答案:48,21,22o

解析：设这本书的页码是从1到n的自然数,正确的和应该是

]+2+…+77=2"(7?+1)

2

由题意可知，-n(/T+1)>1133

2

由估算,当k48时,-H(/T+1)=-X48X49=1176,1176-1133=43。根据书页的页码编排,

22

被撕一张的页码应是奇、偶，其和是奇数，43=21+22。所以，这本书有48页，被撕的一

张是第21页和第22页。

(-)解答题

9.如下图，从0点起每隔3米种一棵树。如果把3块“爱护树木”的小木牌分别挂在3

棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之间的距离是偶数（以米为单位）。试说

明理由。

答案：相距最远的两块木牌的距离，等于它们分别与中间一块木牌的距离之和。如果三

块木牌间两两距离都是奇数，就会出现“奇+奇=奇”，这显然不成立，所以必有两块木牌

的距离是偶数。

13.如图所示，一个圆周上有9个位置，依次编为广9号.现在有一个小球在1号位置

上。第一天顺时针前进10个位置，第二天逆时针前进14个位置。以后，第奇数天与第一

天相同，顺时针前进10个位置,第偶数天与第二天相同,逆时针前进14个位置。问：至少

经过多少天，小球又回到1号位置。

74

65

答案：顺时针前进10个位置，相当于顺时针前进1个位置；逆时针前进14个位置，相

当于顺时针前进18-14=4（个）位置。所以原题相当于:顺时针每天1个位置,4个位置

交替前进,直到前进的位置个数是9的倍数为止。

偶数天依次前进的位置个数：

5,10,15,20,25,30,35,40,.......

奇数天依次前进的位置个数：

1,6,11,16,21,26,31,36,41,.......

第15天前进36个位置，36天是9的倍数，所以第15天又回到1号位置。

八周期性问题

（-）填空题

1.某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期。

答案：二。

解析：因为7x4=28,由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月

1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1

日共经过了31+30+31+1=93（天）。

因为93+7=13…2,所以这年6月1日是星期二。

2.1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期。

答案：日。

解析：依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有

365x10+2=3652（天）。

因为3652+7=521…5,1989年12月5日是星期二所以再过十年的12月5日是星期日。

3.按下面摆法摆80个三角形，有个白色的。

答案:39o

解析：从图中可以看出，三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一

排列的周期为6,并且每一周期有3个白色三角形。

因为80+6=13…2,而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形

13x3=39（个）。

4.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏

彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏

灯是灯。

答案：白。

解析：依题意知，电灯的安装排列如下：白，红,黄,绿，白，红,黄,绿，白，……这一排列是

按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4。

由73+4=18-1,可知第73盏灯是白灯。

5.时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是—o

答案：13时。

解析：分针旋转一周为1小时，旋转1991周为1991小时。一天24小时，1991+24=82…

23,1991小时共82天又23小时.现在是14时正，经过82天仍然是14时正，再过23小

时，正好是13时。

［注］在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和一根短针,

就组成了我们天天见到的钟面。钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分

有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面。

6.把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5歹U,那么数“1992”在列。

第一弟一*第三第四第五

列列列列列

12345

9876

1011121314

18171615

・♦・・・♦・・・・♦・♦♦・

♦・・・・・•••・♦・

答案：3o

解析：仔细观察题中表格。

12345（奇数排）

Y

第一组：

’9876（偶数排）

1011121314（奇数排）

第二组

18171615（偶数排）

1920212223（奇数排）

第三组

27262524（偶数排）

可发现规律如下：

⑴连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数，偶数排自右往左四个数的

规律循环排列;

(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数

为1,第2列用9除余数为2,…，第5列用9除余数为。

(3)104.9=1-1,10在1+1组，第1列

19+9=2-1,19在2+1组，第1列

因为1992+9=221…3,所以1992应排列在(221+1)=222组中奇数排第3列数的位

置上。

7.把分数T化成小数后，小数点第11。位上的数字是o

答案：70

解析:1=0.57142857…

7

它的循环周期是6,具体地六个数依次是：

5,7,1,4,2,8

110+6=18…2

因为余2,第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7。

(二)解答题

8.紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.

例如8x9=72,在9后面写2,9x2=18,在2后面写8,.......得到一串数字：

1989286……

这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？

答案：依照题述规则多写几个数字：1989286884286884……

可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884,每6个一组，即循环周期为6.因为

(1989-4)+6=330…5,所以所求数字是8。

9.1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多

少？

答案：1991个1990相乘所得的积末尾两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末

尾两位数即可。1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末尾两位数是81,3个1991

相乘的积末尾两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是

61,51,41,31,21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是91,……，由此可见，每10

个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10。因为1990+10=199,所以1990个1991

相乘积的末两位数是01,即所求结果是01。

14.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔

5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多

少根？

答案：因为100能被5整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作

是从同一端点染色。

6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方，同时染上红色,这样染色就会出现循

环,每一周的长度是30厘米,如下图所示。

5101520259095

由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期

中，6-5=1,5x5-6x4=10剩余10厘米中有一段。所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.

综合算式为：

2x[(100-10)4-301+1

=2x3+1

=7(段)。

［注］解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右

的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易。

九图形的计数

（-）填空题

1.下图中一共有（）条线段。

答案:30

解析：图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有6x5=30条线段。

2.如下图，。为三角形4A4的边44上的一点，分别连结如力%,…因I，这样图中共

有个三角形。

解析：将△44人分解成以小6为公共边的两个三角形。△》4中共有5+4+3+2+1=15（个）

三角形，△0442中共有6+5+4+3+2+1=21（个）三角形。这样，图中共有15+21+1=37（个）三

角形。

3.下图中有个三角形。

答案：15。

解析：这样的问题应该通过分类计数求解。此题中的三角形可先分成含顶点。的和不含

顶点。的两大类。含顶点。的又可分成另外两顶点在线段45上的和在线段加上的两小

类.分类图解如下：

AA

D

所以原图有

(3+2+1)+(3+2+1)+3

=15(个)三角形。

4.下图中共有____个梯形。

答案：18。

解析：梯形一共有三行,每行都有3+2+1=6（个），所以一共有6x3=18（个）梯形。

5.数一数A

⑴一共有（）个长方形。

〃⑵一共有（）个三角形。

⑵

答案：108,36。

解析：（1）因为长方形是由长和宽组成的，因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种

数。按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数，将它们相乘就是

所有长方形的个数。

因为4夕边上有8+7+6+…+2+1=史处=36条线段，边上有2+1=3条线段，所以图中

2

一共有36x3=108个长方形。

（2）三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6（个），所以一共有6x6=36（个）三角形。

6.在下图中,所有长方形的个数是o

答案：30o

解析：图形中共有「+22+32+42=30个正方形。

7.一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有4x4个钉（如右图）o以每个钉为顶点,

你能用皮筋套出正方形和长方形共个。

答案：44o

解析：因为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就不必分别求正

方形和长方形的个数，仍用分类计数的方法求解。

先考虑有一组对边平行于用的长方形有多少个。这一类按其水平边的位置可分为6

小类，即位置在班'、FE、EC、FC、BE、BCO同样，其竖直边也分为6类。所以这一类有

6x6=36个长方形。

AD

另一类是没有边平行于夕。的.这一类又分类两小类,分解图如下页图所示,其中分别

有6个和2个长方形。

所以，一共可套出正方形和长方形36+6+2=44个。

（二）解答题

8.右图中共有7层小三角皿，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。

答案：白色小三角形个数=1+2+3+…+6=吟3=21,

黑色小三角形个数=1+2+3+…+7=『=28,

所以它们的比嗤弓。

12.则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?

答案：解法一：本图中三角形的个数为（l+2+3+4）x4=40（个）。下面求梯形的个数，梯形

由两底唯一确定.首先在AB,CD,EF,册中，考虑两底所在的线段,共有（4x3）+2=6（种）选

法；对上述四条线段中确定的两条线段，共有10（10=4+3+2+1）个梯形。共60个梯形,

故所求差为20o

解法二：在给中可数出4个三角形,6个梯形，梯形比三角图形图形多2个。而在题图

中，这种恰有10个。.故题图中，梯形个数与三角形的个数之差为2x10=20（个）。

13.现在都是由边长为1厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为2厘米、4厘米、

8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂

有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小不同

的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？

答案：边长2厘米的正方形：

2x2=4（个）……红色

边长4厘米的正方形

（4T）x4=12（个）……红色

（4-2）x（4-2）=4（个）……白色

边长8厘米的正方形

（8T）x4=28（个）……红色

（8-2）、（8-2）=36（个）……白色

边长9厘米的正方形

（9-l）x4=32（个）……红色

（9-2）、（9-2）=49（个）……白色

所以，红色小正方形共有

4+12+28+32=76（个）,

白色小正方形共有

4+36+49=89（个）。

［注］本题的要求是由边长为1厘米的红色和白色两种正方形,分别组成边长是2厘

米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形，可以看作方阵问题来解。四周的小正方形

是涂红色的,可看成是空心方阵。因此，涂红色正方形的个数等于4x(hl)。其他小正方

形是涂白色的，可当作实心方阵。所以，涂白色的正方形的个数等于(h2)x(h2).比如，

由边长为1厘米的正方形组成边长为9厘米的正方形,涂红色的小正方形的个数

是:4x(9-1)=32(个)，涂白色的小正方形的个数是：(9-2)x(9-2)=49(个)。

十图形与面积

1.如下图，把三角形ABC的一条边A3延长1倍到。，把它的另一边AC延长2倍到E,得

到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的倍。

答案：6倍。

解析：过B、D点分别作BG_LAC,DHIAEo

由题意知，E为AD的中点，得到高BG：DH=1：2,

底边AC：AE=1：3,

根据面积公式得出：三角形ADE的面积是三角形ABC面积的6倍。

2.如下图，在三角形ABC中，BC=8厘米，A£)=6厘米，E、尸分别为AB和AC的中点。

那么三角形EBR的面积是平方厘米。