余弦定理及其应用

余弦定理及其应用8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运复习回顾正弦定理：可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。变型：8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运问题：

隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。已知：AB、AC、角Ａ(两条边、一个夹角)8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b,∵即：8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运由此可得：余弦定理

三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．应用：已知两边和一个夹角，求第三边．8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运

隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。已测的：ＡＢ＝１千米，

AＣ＝

1.5千米角Ａ＝６０Ｏ求山脚ＢＣ的长度．解：8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运由余弦定理变型得：应用：已知三条边求角度．8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运例1、在△ABC中，已知

求角A、Ｂ、Ｃ。例２、在△ABC中，已知求b及Ａ例３、在△ABC中，，那么Ａ是（）Ａ、钝角Ｂ、直角Ｃ、锐角Ｄ、不能确定那呢?8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形△ABC是锐角三角形△ABC是直角角三角形例4、△ABC中，求B，并判断△ABC的形状。8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运小结：余弦定理应用：１、已知两条边和一个夹角，求第三条边。２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运在△ABC中，已知下列条件，查表解三角形：

(1）b=12.9cm,c=15.4cm,A=42.3°;(2)a=7cm,b=10cm,c=6cm.作业：8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形C课堂练习：解法一：利用余弦定理将角化为边.∵bcosA＝acosB

,∴b·

∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2

,∴a2＝b2

,∴a＝b，故此三角形是等腰三角形.

解法二：利用正弦定理将边转化为角.

∵bcosA＝acosB

又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA

，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB

∴sinAcosB－cosAsinB＝0

∴sin（A－B）＝0

∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π，∴A－B＝0即A＝B

故此三角形是等腰三角形.

8/15/2024广州市花都区高中数学学科带头人陈文运2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为

；若a2=b2+c2，则△ABC为

；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为

。

3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为

。

4.在△ABC中，BC=3，AB