专题12 插空法模型

1例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有()例2．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有()例3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为()例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()A．72种B．108种例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为()例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有()例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为()例9．某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一、高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为()A．48例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为.A．432例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()例12．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为()例13．某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()例14．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共种例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有()A．72种B．144种例16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有种.（结果用数字表示）例17．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有种（用数字填空）.例18．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为.3例19．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有种（用数字回答）.例20．A,B,C,D,E,F六人并排站成一排，A,B必须站在一起，且C,D不能相邻，那么不同的排法共有 种（结果用数字表示）.例21．将5个相同的小球放入3个不同的盒子，盒子不空，有种投放方法.例22．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）.1例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有()【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有A=12种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有A=12种排法，所以不同的排表方法共有12×12=144种.选B.例2．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有()【解析】当重复使用的数字为数字1时，符合题意的五位数共有：AC=36个当重复使用的数字为2,3,4时，与重复使用的数字为1情况相同:满足题意的五位数共有：36×4=144个本题正确选项：B例3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()【解析】问题等价于将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内:关灯方案共有：C=10种故选：A例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为()【解析】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为AAA=24，故选：D.例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()A．72种B．108种【解析】先将男生甲与男生乙“捆绑”，有A种方法，再与另一个男生排列，则有A种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有A种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有A种方法，利用分步乘法原理，共有AAAA=144种.故选：D.例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为()【解析】由题知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有CA=96种情况，其中甲、乙相邻的有CAA=48种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有96-48=48种情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有CCA=288种情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有CCA=432种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288+432+48=768种情况，故本题答案选B例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有()【解析】由题意知先使五个人的全排列，共有A种结果.(1)身穿红、黄两种颜色衣服的两人都相邻时，把相邻的两人看成一个整体，共有AAA=24种情况；(2)只穿红颜色衣服两人相邻，穿黄颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插空法，共有AAA=24种情况；(3)只穿黄颜色衣服两人相邻，穿红颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插空法，共有AAA=24种情况；∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有A-24-2×24=48种情况，故选：A.例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为()【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为A0．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有A种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有A种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为AA.所以所求的概率故选：B.例9．某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一、高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为()A．48【解析】分两类，第一类高一年级同学相邻高二年级同学不相邻，把高一两个同学“捆绑”看作一个元素与高三两个同学排列有AA种不同排法，把高二年级两个同学排入4个空位中的2个（插空法）有A种不同方法，故第一类有AAA=144种站法，第二类高二年级同学相邻高一年级同学不相邻，与第一类方法相同，也有144种站法，由分类加法计数原理知，共有144+144=288种站法，故选：C例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为.A．432【解析】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有A种不同排列方式，甲、丁排在一起共有A种不同方若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有A种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有CA种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为AA(A+CA)=576种.故选：B.例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()【解析】由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有A种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有A种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有A种，由于是分步进行，所以共有A.A.A=144种，故选：D.例12．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为()【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有C种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有A种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有C.A=40种.故选：A.例13．某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()【解析】根据题意，分2步进行分析：①先将3名乘客全排列，有A=6种情况，②3名乘客排好后，有4个空位，在4个空位中任选1个，安排2个连续空座位，有4种情况，在剩下的3个空位中任选1个，安排1个空座位，有3种情况，则恰好有2个连续空座位的候车方式有6×4×3=72种；故选：C.例14．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共种【解析】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有A种，6然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有A种，根据分步乘法计数原理有AA，扣除郁金香在两边，排2盆虞美人、1盆郁金香有2A种，再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有A，根据分步计数原理有2AA，所以共有AA—2AA=120种.故选:B.例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有()A．72种B．144种【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有A中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有=144种.故选：B.例16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有种.（结果用数字表示）【解析】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有A种排法，再安排空盒，有CA种方法，再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有AA种排法，再安排空盒，有CA种方法，因此所求放法种数为ACA—AACA=336.例17．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有种（用数字填空）.【解析】7从3人选择2人进行捆绑，形成1个“大元素”，然后与另外1人形成2个元素，再由3把椅子所形成的4个空位中选择2个空位插入即可，由分步乘法计数原理可知，符合条件的坐法种数为AA=72.故答案为：72.例18．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为.【解析】从2，4，6三个偶数中任意取出2个看作一个整体，方法有A=6种，先排三个奇数，有A=6种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的四个空中，方根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有：6×6×12=432种若1排在两端，3个奇数的排法有A.A=4种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有A=6种，根据分步计数原理求得此时满足条件的6位数共有6×4×6=144种故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶