人教高中数学A版必修一 第四章　指数函数与对数函数总结 习题课内容

第四章指数函数与对数函数章末复习课23456789101112131415161718192021222324252627Thankyouforwatching!章末整合指数函数与对数函数专题一专题二专题三专题四专题五专题一

指数与对数的运算问题例1计算下列各式的值:专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五分析:(1)利用指数式与对数式的互化和换底公式;(2)利用指数的运算性质和整体代入.专题一专题二专题三专题四专题五归纳总结指数与对数的运算是指数、对数应用的前提,也是研究指数函数与对数函数的基础,不仅是本章考查的重点,也是高考的重要考点之一.进行指数式的运算时,要注意运算或化简的先后顺序,一般应将负指数转化为正指数、将根式转化为指数式后再计算或化简,同时注意幂的运算性质的应用;对数运算要注意对数运算性质的正用与逆用,注意对底数的转化、对数恒等式以及换底公式的灵活运用,还要注意对数运算与指数运算之间的关系及其合理地转化.专题一专题二专题三专题四专题五变式训练1设a=log0.20.3,b=log20.3,则(

)A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab

D.ab<0<a+b答案:B专题一专题二专题三专题四专题五专题二

指数函数、对数函数的图象和性质应用

专题一专题二专题三专题四专题五答案:D专题一专题二专题三专题四专题五例4画出函数y=log4(x2-2x+1)的图象.分析:先要找出这个函数所对应的基本初等函数,然后利用图象变换向目标靠拢.解:先对函数解析式进行化简,可得y=log2|x-1|.可直接利用描点法画出y=log2x的图象,而后画出关于y轴的对称变换得到y=log2|x|,再将整个函数图象向右平移一个单位长度.过程如下:专题一专题二专题三专题四专题五例5若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上是减函数,则a的取值范围为(

)A.[1,2) B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)答案:A专题一专题二专题三专题四专题五归纳总结指数函数、对数函数及幂函数是重要的基本初等函数.它们的图象与性质始终是高考考查的重点.由于指数函数y=ax(a>0,a≠1,x∈R),对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)的图象与性质都与a的取值有密切联系,幂函数y=xα的图象与性质与α的取值有关,因此,在a,α的值不确定时,要对它们进行分类讨论,利用图象可以快捷、直观地解决比较大小、求根等计算烦琐问题.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五答案:B专题一专题二专题三专题四专题五变式训练3已知a=log2e,b=ln2,c=,则a,b,c的大小关系为(

)A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.c>a>b解析:因为c==log23,a=log2e,且y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1.因为y=ln

x在(0,+∞)上单调递增,且b=ln

2,所以ln

2<ln

e=1,即b<1.综上可知,c>a>b.故选D.答案:D专题一专题二专题三专题四专题五专题三

分类讨论思想在解题中的应用例6比较logx(2x)与logx(3-2x)的大小.专题一专题二专题三专题四专题五归纳总结分类讨论思想即对问题中的参数不能一概而论,需要按一定的标准进行分别阐述,在分类讨论中要做到“不重复,不遗漏”.专题一专题二专题三专题四专题五变式训练4已知函数f(x)=loga(x+3)在区间[-2,-1]上总有|f(x)|<2,求实数a的取值范围.解:当-2≤x≤-1时,有1≤x+3≤2,由|f(x)|<2,∴-2<f(x)<2,即-2<loga(x+3)<2恒成立,若a>1,0=loga1≤loga(x+3)≤loga2,此时有loga2<2,专题一专题二专题三专题四专题五专题四

数形结合思想在解题中的应用例7若方程mx-x-m=0(m>0,m≠1)有两个不同的实数解,则m的取值范围是(

)A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,+∞) D.(2,+∞)解析:方程mx-x-m=0有两个不同的实数解,即函数y=mx与y=x+m的图象有两个不同的公共点.显然,当m>1时,两图象有两个不同的交点;当0<m<1时,两图象只有1个交点,故m的取值范围是(1,+∞).答案:A专题一专题二专题三专题四专题五归纳总结1.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致分为两种情形:借助于形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,或者是借助于数的准确性和严密性来阐明形的某种属性.2.在解决数学问题时,如果把抽象的数学问题用图形加以刻画使其理解更直观,解答更快捷,但要注意形离开了数难入微,因此两者形影不离,相互补充.专题一专题二专题三专题四专题五变式训练5设方程lgx+x=3的实数解为x0,则x0所在的一个区间是(

)A.(3,+∞) B.(2,3)C.(1,2) D.(0,1)解析:由lg

x+x=3得lg

x=3-x.分别画出方程lg

x=3-x两边对应的函数图象,如图所示.由图知它们的交点x0在区间(2,3)内.答案:B专题一专题二专题三专题四专题五专题五

函数与方程的思想在解题中的应用例8设函数f(x)=ax+2a+1(a≠0),在-1≤x≤1上f(x)存在一个零点,求实数a的取值范围.分析:先转化为f(-1)f(1)≤0,再结合函数的图象解不等式.解:因为函数f(x)在-1≤x≤1上存在一个零点,所以f(-1)f(1)≤0,即(-a+2a+1)(a+2a+1)≤0,即(a+1)(3a+1)≤0.专题一专题二专题三专题四专题五变式训练6已知f(x)=log2(4x+1)-kx,g(x)=f(x)-a.(1)当f(x)是偶函数时,求实数k的值;(2)设k=2,若函数g(x)存在零点,求实数a的取值范围.分析:(1)根据题意,由偶函数的性质可得f(x)-f(-x)=0,即[log2(4x+1)-kx]-[log2(4-x+1)+kx]=0,变形分析可得答案;(2)若k=2,则f(x)=log2(4x+1)-2x,由零点的定义分析可得方程f(x)=a有解,分析函数f(x)的值域可得答案.专题一专题二专题三专题四专题五

习题课

指数函数、对数函数的综合应用1.指数式与对数式的取值范围提示:(0,+∞)(2)形如log2x,lnx,的对数式,自变量取值和代数式的取值范围分别是什么?提示:①自变量的取值范围,即为对应函数的定义域(0,+∞);②代数式的取值范围,即为对应函数的值域R.2.已知a>0,a≠1,则a2>a3与loga2>loga3是否一定成立?提示:不一定.当0<a<1时,成立;当a>1时,a2<a3,loga2<loga3.3.填空:指数函数与对数函数的单调性指数函数f(x)=ax,对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1).①当0<a<1时,函数f(x)单调递减;②当a>1时,函数f(x)单调递增.4.做一做(1)(2019天津,文5)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为(

)A.c<b<a B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b(3)方程22x+1-2x-3=0的解为

.

解析:(1)a=log27>log24=2.b=log38<log39<2,且b>1.又c=0.30.2<1,故c<b<a,故选A.(2)设t=x+1,因为0<x<8,所以1<t=x+1<9.所以所求函数的值域为(-2,0).(3)令2x=t>0,则方程22x+1-2x-3=0转化为2t2-t-3=0,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用指数函数、对数函数性质解不等式例1

解下列关于x的不等式:(4)已知log0.72x<log0.7(x-1),求x的取值范围.分析:(1)先将

化为2-x-5,16化为24,再利用指数函数的单调性求解;(2)讨论a的取值范围,利用指数函数的单调性求解;(3)根据参数a的取值范围,利用对数函数的单调性求解;(4)根据对数函数的单调性以及定义域列出不等关系求解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练∴-x-5≤4,∴x≥-9.故原不等式的解集为{x|x≥-9}.(2)当0<a<1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.当a>1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.综上所述,当0<a<1时,不等式的解集为{x|x≥-6};当a>1时,不等式的解集为{x|x≤-6}.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(4)因为函数y=log0.7x在区间(0,+∞)上为减函数,解得x>1.故x的取值范围是(1,+∞).探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.解指数不等式问题时需注意的三点(1)形如ax>ay的不等式,借助y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.(2)形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax的单调性求解.(3)形如ax>bx的形式利用函数图象求解.2.解简单的对数不等式,需要注意两点(1)首先注意对数函数的定义域,即真数的取值范围的限制;(2)要根据底数与1的大小关系,分析函数的单调性,进而将对数值大小关系转化为真数的大小关系;若底数中含有参数,需要对参数进行分类讨论.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:原不等式可化为a2x+1>a-(x-5),即a2x+1>a5-x.①当0<a<1时,函数y=ax单调递减,故由不等式可得2x+1<5-x,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练指数函数性质的综合应用

(1)判断函数f(x)的单调性,并用定义加以证明;(2)求函数f(x)的值域.解:(1)f(x)在定义域上是增函数.证明如下:任取x1,x2∈R,且x1<x2,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)为R上的增函数.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.本题第(2)小题是指数型函数求值域.解答时一定要关注指数3x的取值范围是(0,+∞).2.证明指数型函数的单调性与奇偶性时,一般是利用定义来解决.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)求函数f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的奇偶性;(3)证明f(x)>0.(1)解:因为要使函数有意义,需2x-1≠0,即x≠0,所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).所以f(-x)=f(x),又由(1)知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于y轴对称,故f(x)是偶函数.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(3)证明:当x>0时,2x>1,所以2x-1>0.又因为x3>0,所以f(x)>0.当x<0时,0<2x<1,所以-1<2x-1<0.又因为x3<0,所以f(x)>0.所以当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,f(x)>0.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对数函数性质的综合应用

(1)求f(x)的定义域;(2)判断函数的奇偶性和单调性.分析:此函数是由y=logau,u=复合而成的,求函数的性质应先求出定义域,再利用有关定义,去讨论其他性质.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解得x>1或x<-1.所以函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.对于类似于f(x)=logag(x)的函数,利用f(-x)±f(x)=0来判断奇偶性比较简便.2.对数型复合函数的单调性应按照复合函数单调性“同增异减”的原则来判断:设y=logaf(x)(a>0,且a≠1),首先求满足f(x)>0的x的取值范围,即函数的定义域.假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增,在子区间I2上单调递减,则(1)当a>1时,函数y=logaf(x)的单调性与内层函数f(x)的单调性相同,即y=logaf(x)在I1上单调递增,在I2上单调递减;(2)当0<a<1时,函数y=logaf(x)的单调性与内层函数f(x)的单调性相反,即y=logaf(x)在I1上单调递减,在I2上单调递增.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究本例已知条件不变,求f(x)>0时x的取值范围.解得x<-1,即x的取值范围是(-∞,-1).综上,当a>1时,x的取值范围是(1,+∞),当0<a<1时,x的取值范围是(-∞,-1).探究一探究二探究三思维辨析随堂演练因忽略对底数的讨论而致错典例

已知函数y=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值的差是1,求a的值.错解因为函数y=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值是loga4,最小值是loga2,以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:错解中误以为函数y=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上是增函数.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练正解:(1)当a>1时,函数y=logax在区间[2,4]上是增函数,防范措施在解决底数中包含字母参数的对数函数问题时,要注意对底数进行分类讨论,一般分a>1与0<a<1两种情况.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练已知函数f(x)=ax+logax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为(

)解析:当a>