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文档简介
8.6双曲线方程及其性质【题型解读】【知识必备】1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a>0,b>0)图形性质焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c范围x≤-a或x≥a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b,实半轴长:a,虚半轴长:b离心率e=eq\f(c,a)∈(1,+∞)渐近线y=±eq\f(b,a)xy=±eq\f(a,b)xa,b,c的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)必备结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为eq\f(2b2,a).(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则=eq\f(b2,tan\f(θ,2)),其中θ为∠F1PF2.(5)与双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=t(t≠0).【题型精讲】【题型一双曲线的定义及应用】例1(2023·全国·高三专题练习)已知双曲线:的左、右焦点分别为,.双曲线上有一点,若,则______.例2(2023·福建高三期末)已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x2-eq\f(y2,8)=1B.eq\f(x2,8)-y2=1C.x2-eq\f(y2,8)=1(x≤-1)D.x2-eq\f(y2,8)=1(x≥1)例3(2023·全国·高三专题练习)(多选题)若曲线C的方程为,则(
)A.当时,曲线C表示椭圆,离心率为B.当时,曲线C表示双曲线,渐近线方程为C.当时,曲线C表示圆,半径为1D.当曲线C表示椭圆时,焦距的最大值为4例4(2023·河南高三高三模拟)已知双曲线:的左、右焦点分别为,,点在的左支上,过点作的一条渐近线的垂线,垂足为,则当取最小值10时,面积的最大值为()A.25 B. C. D.【跟踪精练】1.(2023·全国·高三专题练习)已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与该双曲线的右支交于,两点,若,则周长为()A.16 B.24 C.36 D.402.(2023·深圳模拟)“”是“为双曲线”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.(2023·全国高三模拟)已知是双曲线的左焦点,点,是双曲线右支上的动点,则的最小值为()A.9 B.5 C.8 D.44.(2023·全国·高三专题练习)一动圆过定点,且与已知圆:相切,则动圆的轨迹方程是(
)A.() B.()C. D.【题型二焦点三角形问题】例5(2023·青岛高三模拟)已知、为双曲线的左、右焦点,点P在C上,,则的面积为____________例6(2023·山东日照高三模拟)已知、是双曲线的左、右焦点,点为双曲线右支上一点,且在以为直径的圆上,若,则(
)A. B. C. D.【跟踪精练】1.(2023·武功县普集高级中学期末)设,是双曲线的左,右焦点,点P在双曲线C的右支上,当时,面积为().A. B. C. D.2.(2023·全国高三模拟)已知双曲线的左、右焦点分别为,,为双曲线上一点,且,则___________.【题型三双曲线的标准方程】方法技巧求双曲线的标准方程的方法(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2.(2)待定系数法:“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为eq\f(x2,m2)-eq\f(y2,n2)=λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.例7(2023·全国高三专题练习)若双曲线经过点(3,eq\r(2)),且渐近线方程是y=±eq\f(1,3)x,则双曲线的标准方程是________.例8(2023·全国高三专题练习)设双曲线C:(,)的左焦点为F,直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P,,其中O为坐标原点,则双曲线C的方程为()A. B. C. D.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)经过点P(3,2eq\r(7)),Q(-6eq\r(2),7)的双曲线的标准方程为________.2.(2023·全国·模拟预测)已知中心在原点的双曲线的离心率为2,右顶点为,过的左焦点作轴的垂线,且与交于,两点,若的面积为9,则的标准方程为.3.(2023·山西太原五中高三期末)在平面直角坐标系中,已知圆:,点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线与直线相交于点,设点的轨迹为曲线,则曲线的方程为.【题型四双曲线的几何性质】方法技巧求双曲线的离心率的方法求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和e=eq\f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).例9(2023·湖北模拟)已知双曲线:(,)的左、右焦点分别为,,过的直线与的左支交于、两点,且,,则的渐近线方程为()A. B. C. D.例10(2023·江苏省前黄高级中学高三月考)已知,是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,且,,则双曲线C的离心率是()A. B. C. D.例11(2023·滨州模拟)已知F1,F2分别是双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,2) B.(1,3)C.(3,+∞) D.(2,3)【题型精练】1.(2023·德阳三模)设双曲线的右焦点是F,左、右顶点分别是,过作轴的垂线与双曲线交于两点,若,则该双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.2.(2023·江西·高三开学考试)已知双曲线的左焦点为,右焦点为,,为双曲线右支上一点,为坐标原点,满足,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.3.(2023·威海模拟)若双曲线C1:eq\f(y2,4)-eq\f(x2,9)=1与双曲线C2:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线C2的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(13),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(13),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2),+∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),3),+∞))【题型五直线与双曲线的位置关系】例12(2023·湖北模拟)已知直线l的方程为,双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点,则实数k的取值范围是(
)A. B. C. D.例13(2023·江苏省前黄高级中学高三月考)直线与双曲线没有公共点,则斜率k的取值范围是(
)A. B.C. D.【题型精练】1.(2023·德阳三模)直线与双曲线没有交点,则的取值范围为_____.2.(2023·江西·高三开学考试)设直线l:与双曲线C:相交于不同的两点A,B,则k的取值范围为___________.【题型六弦长与中点弦】例14(2023·湖北模拟)过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l,直线l与双曲线交于不同的两点A,B,则AB的长为______.例15(2023·江苏省前黄高级中学高三月考)直线l交双曲线于A,B两点,且为AB的中点,则l的斜率为(
)A.4 B.3 C.2 D.1【题型精练】1.(2023·德阳三模)已知双曲线的左、右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A,B两点,P是AB的中点,O为坐标原点,若直线OP的斜率为,则b的值是(
)A.2 B. C. D.2.(2023·江西·高三开学考试)(多选)已知双曲线的一条渐近线方程为,过点作直线交该双曲线于和两点,则下列结论中正确的有(
)A.该双曲线的焦点在哪个轴不能确定B.该双曲线的离心率为C.若和在双曲线的同一支上,则D.若和分别在双曲线的两支上,则【题型七双曲线的综合应用】例16(2023·湖北模拟)已知双曲线:的右焦点与抛物线的焦点重合,一条渐近线的倾斜角为.(1)求双曲线的方程;(2)经过点的直线与双曲线的右支交与两点,与轴交与点,点关于原点的对称点为点,求证:.【题型精练】1.(2023·德阳三模)在平面直角坐标系中,焦点在轴上的椭圆和双曲线有共同的顶点(2,0),且双曲线的焦点到渐近线的距离为,双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为.(1)求双曲线的离心率;(2)求椭圆的方程;(3)过椭圆的左焦点作直线(直线的斜率不为零)与椭圆交于,两点,弦的垂直平分线交轴于点,求证:为定值.8.6双曲线方程及其性质【题型解读】【知识必备】1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a>0,b>0)图形性质焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c范围x≤-a或x≥a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b,实半轴长:a,虚半轴长:b离心率e=eq\f(c,a)∈(1,+∞)渐近线y=±eq\f(b,a)xy=±eq\f(a,b)xa,b,c的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)必备结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为eq\f(2b2,a).(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则=eq\f(b2,tan\f(θ,2)),其中θ为∠F1PF2.(5)与双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=t(t≠0).【题型精讲】【题型一双曲线的定义及应用】例1(2023·全国·高三专题练习)已知双曲线:的左、右焦点分别为,.双曲线上有一点,若,则______.答案:1或13【解析】因为双曲线:,所以a=3,所以,又因为,所以或,故答案为:1或13.例2(2023·福建高三期末)已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x2-eq\f(y2,8)=1B.eq\f(x2,8)-y2=1C.x2-eq\f(y2,8)=1(x≤-1)D.x2-eq\f(y2,8)=1(x≥1)答案:C【解析】设圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,得|MC1|=1+r,|MC2|=3+r,|MC2|-|MC1|=2<6,所以点M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,a=1,又c=3,则b2=c2-a2=8,所以点M的轨迹方程为x2-eq\f(y2,8)=1(x≤-1).例3(2023·全国·高三专题练习)(多选题)若曲线C的方程为,则(
)A.当时,曲线C表示椭圆,离心率为B.当时,曲线C表示双曲线,渐近线方程为C.当时,曲线C表示圆,半径为1D.当曲线C表示椭圆时,焦距的最大值为4答案:BC【解析】选项A,时,曲线方程为,表示椭圆,其中,,则,离心率为,A错;选项B,时曲线方程为表示双曲线,渐近线方程为,即,B正确;选项C,时,曲线方程为,表示圆,半径为1,C正确;选项D,曲线C表示椭圆时,或,时,,,,时,,,,所以,即,无最大值.D错.故选:BC.例4(2023·河南高三高三模拟)已知双曲线:的左、右焦点分别为,,点在的左支上,过点作的一条渐近线的垂线,垂足为,则当取最小值10时,面积的最大值为()A.25 B. C. D.答案:B【解析】由题意得,故,如图所示,则,当且仅当,,三点共线时取等号,∴的最小值为,∴,即,当且仅当时,等号成立,而到渐近线的距离,又,故,∴,即面积的最大值为.故选:B.【跟踪精练】1.(2023·全国·高三专题练习)已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与该双曲线的右支交于,两点,若,则周长为()A.16 B.24 C.36 D.40答案:C【解析】因为双曲线为,所以;由双曲线的定义得,所以,所以周长为,故选:C.2.(2023·深圳模拟)“”是“为双曲线”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:C【解析】因为方程表示双曲线,所以,又当时,方程表示双曲线,因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.故答案为:C3.(2023·全国高三模拟)已知是双曲线的左焦点,点,是双曲线右支上的动点,则的最小值为()A.9 B.5 C.8 D.4答案:A【解析】设右焦点为F',则F'(4,0),依题意,有PF|=|PF'|+4,
|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9(当P在线段AF'上时,取等号)
故|PF|+|PA|的最小值为9.故答案为:A
4.(2023·全国·高三专题练习)一动圆过定点,且与已知圆:相切,则动圆的轨迹方程是(
)A.() B.()C. D.答案:D【解析】设动圆的半径为,由题意知,圆的圆心坐标为,半径为4.动圆与圆相切有两种情况,即内切或外切,所以,所以,即动点到两定点的距离之差为常数4,所以点在以,为焦点的双曲线上,所以,,所以,所以动圆的轨迹方程是.故选:D.【题型二焦点三角形问题】例5(2023·青岛高三模拟)已知、为双曲线的左、右焦点,点P在C上,,则的面积为____________答案:【解析】双曲线,则,所以,利用双曲线定义知,,两边平方得,且,由余弦定理,解得:,则.故答案为:例6(2023·山东日照高三模拟)已知、是双曲线的左、右焦点,点为双曲线右支上一点,且在以为直径的圆上,若,则(
)A. B. C. D.答案:A【解析】解法一:设,,则.由双曲线定义知,,又,故,由于在以为直径的圆上,所以,故有从而解法二:同解法一,得到,,则,从而得到双曲线方程为.设,联立,解得,即.因此,选项A正确.故选:A【跟踪精练】1.(2023·武功县普集高级中学期末)设,是双曲线的左,右焦点,点P在双曲线C的右支上,当时,面积为().A. B. C. D.答案:B【解析】∵双曲线,∴,又点P在双曲线C的右支上,,所以,,即,又,∴面积为.故答案为:B.2.(2023·全国高三模拟)已知双曲线的左、右焦点分别为,,为双曲线上一点,且,则___________.答案:【解析】依题意,设,不妨设,,设,根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得,,,,,,,,由于,所以,所以.故答案为:【题型三双曲线的标准方程】方法技巧求双曲线的标准方程的方法(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2.(2)待定系数法:“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为eq\f(x2,m2)-eq\f(y2,n2)=λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.例7(2023·全国高三专题练习)若双曲线经过点(3,eq\r(2)),且渐近线方程是y=±eq\f(1,3)x,则双曲线的标准方程是________.答案:y2-eq\f(x2,9)=1【解析】设双曲线的方程是y2-eq\f(x2,9)=λ(λ≠0).因为双曲线过点(3,eq\r(2)),所以λ=2-eq\f(9,9)=1,故双曲线的标准方程为y2-eq\f(x2,9)=1.例8(2023·全国高三专题练习)设双曲线C:(,)的左焦点为F,直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P,,其中O为坐标原点,则双曲线C的方程为()A. B. C. D.答案:D【解析】设左焦点F的坐标为,由点F过直线,所以,解得,设右焦点为N,连接,,.由,故三角形为直角三角形,即,又因为直线斜率为,设直线倾斜角为,则.又,则,,由双曲线定义,则,所以,所以所以双曲线C的方程为.故答案为:D.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)经过点P(3,2eq\r(7)),Q(-6eq\r(2),7)的双曲线的标准方程为________.答案:eq\f(y2,25)-eq\f(x2,75)=1【解析】设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m-28n=1,,72m-49n=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=-\f(1,75),,n=-\f(1,25).))∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,25)-eq\f(x2,75)=1.2.(2023·全国·模拟预测)已知中心在原点的双曲线的离心率为2,右顶点为,过的左焦点作轴的垂线,且与交于,两点,若的面积为9,则的标准方程为.答案:【解析】设双曲线标准方程为令,则,得,所以,易知,所以…①,又…②,…③,联立①②③求解得,所以双曲线方程为。故答案为:。3.(2023·山西太原五中高三期末)在平面直角坐标系中,已知圆:,点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线与直线相交于点,设点的轨迹为曲线,则曲线的方程为.答案:【解析】因为在线段的垂直平分线上,所以,所以,由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线,则,,得,所以曲线的方程为,故答案为:【题型四双曲线的几何性质】方法技巧求双曲线的离心率的方法求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和e=eq\f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).例9(2023·湖北模拟)已知双曲线:(,)的左、右焦点分别为,,过的直线与的左支交于、两点,且,,则的渐近线方程为()A. B. C. D.答案:C【解析】由题意,得,;根据双曲线的定义,,所以,.在直角三角形中,,即,解得;在直角三角形中,,即,即,解得,所以的渐近线方程为.故答案为:C.例10(2023·江苏省前黄高级中学高三月考)已知,是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,且,,则双曲线C的离心率是()A. B. C. D.答案:C【解析】由题意可知,,,又,,即,∴,即,∴.故答案为:C.例11(2023·滨州模拟)已知F1,F2分别是双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,2) B.(1,3)C.(3,+∞) D.(2,3)答案:A【解析】在△PF1F2中,sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,由正弦定理得,|PF1|=3|PF2|,又点P是双曲线C上在第一象限内的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a,在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|,得3a+a>2c,即2a>c,所以e=eq\f(c,a)<2,又e>1,所以1<e<2.【题型精练】1.(2023·德阳三模)设双曲线的右焦点是F,左、右顶点分别是,过作轴的垂线与双曲线交于两点,若,则该双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.答案:C【解析】设双曲线的半焦距为,则,将,代入双曲线,得,不妨取,,又,,∴的斜率分别为:,,因为,故,即,即,所以,故渐近线方程是.故答案为:C2.(2023·江西·高三开学考试)已知双曲线的左焦点为,右焦点为,,为双曲线右支上一点,为坐标原点,满足,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.答案:B【解析】∵,O为的中点,∴△为直角三角形,设,则,则,∴,∴e=.故答案为:B.3.(2023·威海模拟)若双曲线C1:eq\f(y2,4)-eq\f(x2,9)=1与双曲线C2:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线C2的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(13),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(13),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2),+∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),3),+∞))答案:D【解析】因为双曲线C1:eq\f(y2,4)-eq\f(x2,9)=1的渐近线方程为y=±eq\f(2,3)x,双曲线C2:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±eq\f(b,a)x,为使双曲线C1:eq\f(y2,4)-eq\f(x2,9)=1与双曲线C2:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)有公共点,只需eq\f(b,a)>eq\f(2,3),则离心率为e=eq\f(c,a)=eq\r(\f(a2+b2,a2))=eq\r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)>eq\r(1+\f(4,9))=eq\f(\r(13),3).【题型五直线与双曲线的位置关系】例12(2023·湖北模拟)已知直线l的方程为,双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点,则实数k的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:D【解析】联立整理得,因为直线与双曲线的右支交于不同的两点,所以,解得,所以实数k的取值范围为.故选:D.例13(2023·江苏省前黄高级中学高三月考)直线与双曲线没有公共点,则斜率k的取值范围是(
)A. B.C. D.答案:A【解析】联立直线和双曲线:,消去得,当,即时,此时方程为,解得,此时直线与双曲线有且只有一个交点;当,此时,解得或,所以时直线与双曲线无交点;故选:A【题型精练】1.(2023·德阳三模)直线与双曲线没有交点,则的取值范围为_____.答案:【解析】由题意,双曲线的渐近线方程为:,因为直线过原点且与双曲线没有交点,故需满足,故答案为:2.(2023·江西·高三开学考试)设直线l:与双曲线C:相交于不同的两点A,B,则k的取值范围为___________.答案:【解析】联立消去y:,,得到,又直线不与渐近线平行,所以.故答案为:.【题型六弦长与中点弦】例14(2023·湖北模拟)过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l,直线l与双曲线交于不同的两点A,B,则AB的长为______.答案:【解析】双曲线的右焦点为,所以直线l的方程为.由,得.设,,则,,所以.故答案为:例15(2023·江苏省前黄高级中学高三月考)直线l交双曲线于A,B两点,且为AB的中点,则l的斜率为(
)A.4 B.3 C.2 D.1答案:C【解析】设点,,因为AB的中点,则有,又点A,B在双曲线上,则,即,则l的斜率,此时,直线l的方程:,由消去y并整理得:,,即直线l与双曲线交于两
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