高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.3空间几何体截面、轨迹问题(精练)(原卷版+解析)

7.3空间几何体截面、轨迹问题【题型解读】【题型一截面形状判断】1.(2023·陕西安康·高三期末）已知正四面体及其内切球，经过该四面体的棱及底面上的高作截面，交于点，则截面图形正确的是A． B． C． D．2.(2023·海原县高三模拟）如图，正方体的棱长为1，，分别为棱，上的点，下列说法正确的是．（填上所有正确命题的序号）①平面；②在平面内总存在与平面平行的直线；③△在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；④当，为中点时，平面截该正方体所得的截面图形是五边形．【题型二截面面积求解】1.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为4，在平面内，是直线上的动点，则当到的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为A． B． C．4 D．2.(2023·河南·高三阶段练习）某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为A．2 B． C． D．13.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为A． B． C． D．4.(2023·全国高三模拟）已知球为棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为．5.(2023•运城期末）已知正方体的边长为3，为边上靠近的三等分点，过且垂直于直线的平面被正方体所截的截面面积为A． B． C． D．6.已知底面是正方形的长方体的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点是的中点，点是球上任意一点，有以下判断：①长的最大值是9；②三棱锥体积最大值是；③存在过点的平面，截球的截面面积是；④是球上另一点，，则四面体体积的最大值为56；⑤过点的平面截球所得截面面积最大时，垂直于该截面．其中判断正确的序号是．【题型三平行、垂直有关的轨迹问题】1.（多选题）(2023·重庆南开中学模拟预测）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（

）A．点Q的轨迹为线段B．与CD所成角的范围为C．的最小值为D．二面角的正切值为2.（2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（

）A．2 B． C． D．3．（多选题）(2023·湖北孝感·高二期末）如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有（

）A．三棱锥-的体积为定值B．存在点P，使得C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段ACD．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则平面α截正方体的截面周长为34.(2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【题型四距离、角度有关的轨迹问题】1.(2023·山东·模拟预测）如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为______．2.(2023·福建·三明一中模拟预测）已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为(

)A． B． C． D．3.（多选）如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（

）A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为C．三棱锥的体积最大值为D．若点满足，则点的轨迹为线段4.在长方体中，点M是棱AD的中点，，点P在侧面的边界及其内部运动，则（

）A．直线MP与直线所成角的最大值为90°B．若，则点P的轨迹为椭圆的一部分C．不存在点P，使得∥平面D．若平面与平面ABCD和平面与平面所成的锐二面角相等，则点P的轨迹长度为【题型五翻折中的轨迹问题】1.(2023·江西萍乡·三模）如图，在长方形ABCD中，，，E为BC的中点，将△沿AE向上翻折到的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（

）A．四棱锥体积的最大值为B．PD的中点F的轨迹长度为C．EP，CD与平面PAD所成的角相等D．三棱锥外接球的表面积有最小值2.(2023·四川高三模拟）已知矩形ABCD中，，点M，N分别为线段AB，CD的中点，现将△ADM沿DM翻转，直到与△NDM首次重合，则此过程中，点A的运动轨迹长度为（

）A． B． C． D．7.3空间几何体截面、轨迹问题【题型解读】【题型一截面形状判断】1.(2023·陕西安康·高三期末）已知正四面体及其内切球，经过该四面体的棱及底面上的高作截面，交于点，则截面图形正确的是A． B． C． D．答案：B【解析】画出图形，如图所示；正四面体及其内切球，经过该四面体的棱及底面上的高作截面，交于点，则截面所表示的图形是：故选：．2.(2023·海原县高三模拟）如图，正方体的棱长为1，，分别为棱，上的点，下列说法正确的是．（填上所有正确命题的序号）①平面；②在平面内总存在与平面平行的直线；③△在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；④当，为中点时，平面截该正方体所得的截面图形是五边形．答案：②③④【解析】对于①平面，不一定成立，因为平面，而两个平面与面不一定平行．对于②在平面内总存在与平面平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于③△在侧面上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱，而点在面上的投影到此棱的距离是定值，故正确；对于④，当，为中点时平面截该正方体所得的截面图形是五边形，故答案为：②③④【题型二截面面积求解】1.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，直线平面，垂足为，正四面体的棱长为4，在平面内，是直线上的动点，则当到的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为A． B． C．4 D．答案：A【解析】由题意，直线与动点的空间关系：点是以为直径的球面上的点，所以到的距离为四面体上以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为到球心的距离（即与的公垂线）半径．再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，此时我们注意到垂直平面，且平行平面，故其投影是以为底，到的距离投影，即为高的等腰三角形，其面积．故选：．2.(2023·河南·高三阶段练习）某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为A．2 B． C． D．1答案：A【解析】如图所示，截面为，为的中点，设，，所以，，故，所以当时，，此时的截面面积最大．故选：．3.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为A． B． C． D．答案：A【解析】解：设圆心到截面距离为，截面半径为，由，即，，，故，又，，所以截面的面积为，故选：．4.(2023·全国高三模拟）已知球为棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为．答案：【解析】如图，正方体的内切球切正方体的六个面于各面的中心，则平面截球的截面为正三角形的内切圆，正方体的棱长为1，正三角形的边长为，设其内切圆的半径为，则，即．平面截球的截面面积为．故答案为：．5.(2023•运城期末）已知正方体的边长为3，为边上靠近的三等分点，过且垂直于直线的平面被正方体所截的截面面积为A． B． C． D．答案：A【解析】解：直线是正方体的体对角线，所以平面，因为过点的平面与直线垂直，所以平面平面，因为为边上靠近的三等分点，所以平面截正方体所得截面的面积，因为正方体的边长为3，所以，所以过且垂直于直线的平面被正方体所截的截面面积为．故选：．6.已知底面是正方形的长方体的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点是的中点，点是球上任意一点，有以下判断：①长的最大值是9；②三棱锥体积最大值是；③存在过点的平面，截球的截面面积是；④是球上另一点，，则四面体体积的最大值为56；⑤过点的平面截球所得截面面积最大时，垂直于该截面．其中判断正确的序号是．答案：①②④【解析】解：①底面是正方形的长方体的底面边长，侧棱长，外接球的直径为，半径为5，点是的中点，，长的最大值是，故正确；②到平面的最大值为，的面积为9，三棱锥体积最大值是，故正确；③过点的平面，截球的截面面积最小是，故不正确；④当中点与中点重合，且垂直于平面时，则四面体体积为56，故正确；⑤过侧面是矩形，不垂直，不可能垂直于，故不正确．故答案为：①②④．【题型三平行、垂直有关的轨迹问题】1.（多选题）(2023·重庆南开中学模拟预测）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（

）A．点Q的轨迹为线段B．与CD所成角的范围为C．的最小值为D．二面角的正切值为答案：ACD【解析】对于A，取点,，使得，，连接,，如图，由线段成比例可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，，所以平面平面，故当点时，总有面，所以点Q的轨迹为线段，故A正确；对于B，由知与CD所成角即为与NE所成角，在中，，由余弦定理可得，由，可知，即运动到点时，异面直线所成的角小于，故B错误；对于C，当时，最小，此时，故C正确；对于D，二面角即平面与底面所成的锐角，连接相交于，连接，取点H，使得，连接MH，过H作于G，连接，如图，由正四棱锥可知，面，由，知，，由可得，，面，，又，，平面，，即为二面角的平面角，，故D正确.故选：ACD2.（2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（

）A．2 B． C． D．答案：B【解析】取的中点，连接，如图所示：分别是棱､的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.因为，，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.因为，所以平面平面.因为点为底面四边形内（包括边界）的一动点，直线与平面无公共点，所以的轨迹为线段，则.故选：B3．（多选题）(2023·湖北孝感·高二期末）如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有（

）A．三棱锥-的体积为定值B．存在点P，使得C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段ACD．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则平面α截正方体的截面周长为3答案：ACD【解析】对于A，P为正方形底面ABCD时，三棱锥的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，所以A正确；对于B，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，；若，则，即，与题意矛盾，所以B不正确；对于C，，由得，所以的轨迹就是线段，所以C正确；对于D，因为，所以平面；因为平面平面，所以平面；以为参照线作出平面与正方体各个侧面的交线，如图，易知每个侧面的交线均相等，长度为，所以截面周长为，所以D正确.故选：ACD.4.(2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】取AB中点P，连接PC，C1N，如图，因为PC⊥AB，PN⊥AB，且PN∩PC=P，所以AB⊥平面，AB平面ABM,所以平面ABM⊥平面，平面ABM∩平面=PM，过N作NO⊥PM，NO平面，所以NO⊥平面ABM，当点M从点C运动到点C1时，点是以PN为直径的圆(部分)，如图，当M运动到点时，点到最高点，此时，所以，从而，所以弧长，即点的轨迹长度为.故选:B【题型四距离、角度有关的轨迹问题】1.(2023·山东·模拟预测）如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为______．答案：【解析】如图建立空间直角坐标系，则设平面的法向量则有，令，则则设，则∵，则又∵PM=PD，则整理得：联立方程，则可得，可得当时，，当时，在空间中，满足PM=PD的P为过MD的中点且与MD垂直的平面两个平面的公共部分为直线，即点P的轨迹为平面A′C′D，则故答案为：．2.(2023·福建·三明一中模拟预测）已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为(

)A． B． C． D．答案：A【解析】连接、、，则，，，∴⊥平面，∴，同理，∴平面．设，连接BE交于O，由△BOD∽△且BD=可知OD=，则，连接OP，则，∴，可得点P的轨迹为以点O为圆心，为半径的圆在内部及其边界上的部分，OB=2OE，E为中点，及△为等边三角形可知O为△中心，OE=，如图：，，，则∠OFE=∠=，∴OF∥，同理易知OG∥，故四边形是菱形，则∴的长度为，故点P的轨迹长度为．故选：A．3.（多选）如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（

）A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为C．三棱锥的体积最大值为D．若点满足，则点的轨迹为线段答案：BD【解析】对于A，将侧面和侧面沿棱展开，可得展开图如下图所示，此时从点到点的最短路程为；将底面和侧面沿棱展开，可得展开图如下图所示，此时从点到点的最短路程为；，从点到点的最短路程为，A错误；对于B，取中点，连接，分别为中点，，又平面，平面，即为在平面内的投影；，，，点的运动路径是以为圆心，为半径的圆与侧面的交线，即，如下图所示，，，的长度为，即点在侧面内运动路径的长度为，B正确；对于C，是边长为的等边三角形，；设点到平面的距离为，则，即当最大时，最大；当与重合时，取得最大值，，C错误；对于D，作，，垂足分别为，平面，平面，，；设，，，则，，，，又，，整理可得：，即，即，则为满足的线段上的点，即点的轨迹为线段，D正确.故选：BD.4.在长方体中，点M是棱AD的中点，，点P在侧面的边界及其内部运动，则（

）A．直线MP与直线所成角的最大值为90°B．若，则点P的轨迹为椭圆的一部分C．不存在点P，使得∥平面D．若平面与平面ABCD和平面与平面所成的锐二面角相等，则点P的轨迹长度为答案：ACD【解析】对于A，取中点，易得，则平面，又，平面，则直线MP与直线为异面直线，则直线MP与直线所成角的范围为，平面，又在上时，平面，则，此时直线MP与直线所成角为90°，则直线MP与直线所成角的最大值为90°，A正确；对于B，满足的动点的轨迹是以为轴，半顶角为的圆锥面，又轴∥平面，则圆锥面与平面的交线为双曲线的一部分，即点P的轨迹为双曲线的一部分，B错误；对于C，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，易得，设，其中，则，设平面的法向量为，则，取，则，要使∥平面，则，即，又，显然无解，即不存在点P，使得∥平面，故C正确；对于D，由C选项知，平面的法向量，易得平面ABCD的法向量为，平面的法向量为，由锐二面角相等，可得，化简得，即（舍去）或；画出平面的平面图，