人教高中数学A版必修一 5.5.1　第1-3课时　三角函数 两角差的余弦公式

第1课时两角差的余弦公式三角函数两角差的余弦公式1.15°角是特殊角吗?如果不是特殊角,那么能否用特殊角的和与差来表示15°?如果15°=45°-30°,那么cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°吗?提示:15°角不是特殊角,但可以用特殊角的差来表示15°,例如15°=45°-30°,但cos(45°-30°)≠cos

45°-cos

30°.2.观察下表中的数据,你有什么发现?提示:cos(60°-30°)=cos

60°cos

30°+sin

60°sin

30°;cos(120°-60°)=cos

120°cos

60°+sin

120°sin

60°.3.填空(1)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

(2)此公式简记作C(α-β).(3)使用条件:α,β都是任意角.4.做一做(1)cos15°=

.

(2)cos75°cos15°+sin75°sin15°=

.

探究一探究二探究三随堂演练利用两角差的余弦公式解决给角求值问题例1求下列各式的值:(1)cos(-375°);(2)cos75°cos15°-sin75°sin195°;(3)cos(α+45°)cosα+sin(α+45°)sinα;分析:对于(1),应利用诱导公式将-375°转化为锐角再变为两特殊角之差然后利用公式计算;对于(2),将sin

195°转化为-sin

15°,再套用公式计算;对于(3),可将α+45°当作一个整体来处理;对于(4),应将

分别转化为cos

60°,sin

60°,然后套用公式计算.探究一探究二探究三随堂演练探究一探究二探究三随堂演练反思感悟

利用公式C(α-β)求值的方法技巧在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式来求值.探究一探究二探究三随堂演练变式训练1求值:(1)sin46°cos14°+sin44°cos76°;(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°).解:(1)sin

46°cos

14°+sin

44°cos

76°=sin(90°-44°)cos

14°+sin

44°cos(90°-14°)=cos

44°cos

14°+sin

44°sin

14°=cos(44°-14°)=cos

30°=.(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°)=cos

[(θ+70°)-(θ+10°)]=cos

60°=.探究一探究二探究三随堂演练利用两角差的余弦公式解决给值求值问题分析:对于(1),可根据同角的三角函数关系式求出cos

α,sin

β的值,然后利用两角差的余弦公式展开后代入即得;对于(2)可考虑将β表示为(α+β)-α,然后展开,再结合同角的关系公式进行求解.探究一探究二探究三随堂演练探究一探究二探究三随堂演练反思感悟

给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:探究一探究二探究三随堂演练探究一探究二探究三随堂演练利用两角差的余弦公式解决给值求角问题分析:利用两角差的余弦公式,求出cos(α-β)的值,然后根据α-β的范围求出α-β的值.探究一探究二探究三随堂演练反思感悟

解决三角函数给值求角问题的方法步骤(1)确定角的范围,根据条件确定所求角的范围;(2)求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数;(3)结合三角函数值及角的范围求角.探究一探究二探究三随堂演练探究一探究二探究三随堂演练1.cos50°=(

)A.cos70°cos20°-sin70°sin20°B.cos70°sin20°-sin70°cos20°C.cos70°cos20°+sin70°sin20°D.cos70°sin20°+sin70°cos20°解析:cos

50°=cos(70°-20°)=cos

70°cos

20°+sin

70°sin

20°.答案:C答案:C探究一探究二探究三随堂演练答案:B探究一探究二探究三随堂演练第2课时

两角和与差的正弦、余弦、正切公式三角函数一二三四一、两角和的余弦公式1.由cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ以及诱导公式sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,能否将cos(α+β)用α,β角的正弦和余弦表示?提示:cos(α+β)=cos

[α-(-β)]=cos

αcos(-β)+sin

αsin(-β)=cos

αcos

β-sin

αsin

β2.填空cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

一二三四二、两角和与差的正弦公式同理,由sin(α+β)=sin

[α-(-β)],可推得sin(α+β)=sin

αcos

β+cos

αsin

β.2.填空(1)sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

(2)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

一二三四3.判断正误(1)sin(α-β)=sinαcosα-cosβsinβ.(

)(2)sinα+sinβ=sin(α+β).(

)(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cosβ+cos(α-15°)sinβ.(

)(4)sin15°+cos15°=sin60°.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)√一二三四三、两角和与差的正切公式1.(1)求tan15°的值.一二三四一二三四答案:3一二三四四、两角和与差的三角函数公式1.表格.一二三四2.做一做(1)sin75°=

.

(2)cos77°cos43°-sin77°sin43°=

.

探究一探究二探究三思维辨析随堂演练化简与求值例1化简下列各式:探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(5)∵(1+tan

21°)(1+tan

24°)=1+tan

21°+tan

24°+tan

21°tan

24°=1+tan(21°+24°)(1-tan

21°tan

24°)+tan

21°tan

24°=1+(1-tan

21°tan

24°)tan

45°+tan

21°tan

24°=1+1-tan

21°tan

24°+tan

21°tan

24°=2.同理可得(1+tan

22°)(1+tan

23°)=2,∴原式=2×2=4.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

1.公式的巧妙运用①顺用:如本题中的(1);②逆用:如本题中的(2);③变用:变用涉及两个方面,一个是公式本身的变用,如cos(α+β)+sin

αsin

β=cos

αcos

β,一个是角的变用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cos

β+sin(α+β)sin

β=cos[(α+β)-β]=cos

α.这些需要在平时的解题中多总结、多研究、多留心,唯其如此才能在解题中知道如何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切化弦,将特殊值

化为tan

60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角的函数值,如1=sin

90°=cos

0°=tan

45°,=tan

60°等.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用两角和与差的三角函数公式解决给值求值问题(1)求sin(α+β)的值;(2)求cos(α-β)的值;(3)求tanα的值.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

给值求值的解题策略在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:(1)0

(2)D探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用两角和与差的三角函数公式解决给值求角问题探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

根据三角函数值求角时,一般先求出该角的某个三角函数值,再确定该角的取值范围,最后得出该角的大小.至于求该角的哪一个三角函数值,这要取决于该角的取值范围,然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定,一般地,若θ∈(0,π),则通常求cos

θ,若θ,则通常求sin

θ,否则容易导致增解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练忽视隐含条件致误

探究一探究二探究三思维辨析随堂演练错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误?防范措施

在解决三角函数求值问题时,务必注意对隐含条件的挖掘,尤其是给值求角问题,一定要注意根据已知条件对角的范围进行精确界定,以免产生增解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:D答案:A探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:B探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解析:观察可知18°+42°=60°,可运用两角和的正切公式求值.∵tan

18°+tan

42°+tan

120°=tan

60°(1-tan

18°tan

42°)+tan

120°=-tan

60°tan

18°tan

42°,∴原式=-1.答案:-1第3课时

二倍角的正弦、余弦、正切公式三角函数一二一、二倍角的正弦、余弦和正切公式1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样的结果?2.上述cos2α的式子能否变成只含有sinα或cosα形式的式子呢?提示:根据同角的三角函数关系式可得cos

2α=2cos2α-1=1-2sin2α.一二3.填空二倍角的正弦、余弦、正切公式一二4.公式S2α,C2α,T2α的适用范围

一二5.做一做求下列各式的值.(1)4sin15°cos15°=

;

一二一二二、二倍角公式的变形1.若将1±sin2α中的“1”用sin2α+cos2α代换,那么1±sin2α可化为什么形式?提示:1±sin

2α=sin2α±2sin

αcos

α+cos2α=(sin

α±cos

α)2.2.根据二倍角的余弦公式,sinα,cosα与cos2α的关系分别如何?提示:1+cos

2α=2cos2α,1-cos

2α=2sin2α,3.填空(1)1±sin2α=(sinα±cosα)2;

(2)升幂缩角公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α;一二4.做一做求下列各式的值.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用二倍角公式解决给角求值问题例1求下列各式的值:分析:对于(1)(2)(3),可直接逆用公式计算;对于(4),可将分子与分母同乘2sin

20°,然后连续逆用二倍角的正弦公式进行求解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

对于给角求值问题,一般有两类:(1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用二倍角公式解决条件求值问题

探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

解决条件求值问题的方法给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:A探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用二倍角公式解决化简与证明问题例3(1)化简:cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)·cos(90°-θ);分析:(1)将前两项进行降幂处理,后两项运用诱导公式,展开整理化简即得;(2)将左边分子、分母中的1-cos

2θ与1+cos

2θ运用公式先化简,后约分结合同角关系证明.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

1.对于三角函数式的化简,要注意以下两点:(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.(2)三角函数式的化简,