2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷28.1 锐角三角函数 达标训练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷28.1锐角三角函数达标训练(含答案)28.1锐角三角函数达标训练一、基础·巩固达标1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值()A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定2.已知α是锐角，且cosα=，则sinα=()A.B.C.D.3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶，则cosA=_______，tanA=_________.4.设α、β为锐角，若sinα=，则α=________；若tanβ=，则β=_________.5.用计算器计算：sin51°30′+cos49°50′－tan46°10′的值是_________.6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=，求AD、AC、BC.二、综合•应用达标7.已知α是锐角，且sinα=，则cos(90°－α)=()A.B.C.D.8.若α为锐角，tana=3，求的值.9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为，且α为锐角，求tanα.10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1－13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m.(1)求滑梯AB的长(精确到0.1m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？图28.1－1311.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1－14三、回顾•展望达标12.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是()A.B.C.D.图28.1－15图28.1－17图28.1－1613.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC=2，则cosB的值是()A.B.C.D.14.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC=()A.45B.5C.D.15.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=()A.B.C.D.16.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图28.1－18图28.1－1917.计算：2－1－tan60°+(－1)0+；18.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.参考答案一、基础·巩固达标1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值()A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定思路解析：当Rt△ABC的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A大小不变.答案：A2.已知α是锐角，且cosα=，则sinα=()A.B.C.D.思路解析：由cosα=，可以设α的邻边为4k，斜边为5k，根据勾股定理，α的对边为3k，则sinα=.答案：C3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶，则cosA=_______，tanA=_________.思路解析：画出图形，设AC=x，则BC=，由勾股定理求出AB=2x，再根据三角函数的定义计算.答案：，4.设α、β为锐角，若sinα=，则α=________；若tanβ=，则β=_________.思路解析：要熟记特殊角的三角函数值.答案：60°,30°5.用计算器计算：sin51°30′+cos49°50′－tan46°10′的值是_________.思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.答案：0.38606.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=，求AD、AC、BC.思路解析：由条件可知△ABC、△ABD、△ADC是相似的直角三角形，∠B=∠CAD，于是有tan∠CAD=tanB=，所以可以在△ABD、△ADC中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.解：根据题意，设AD=4k，BD=3k，则AB=5k.在Rt△ABC中，∵tanB=，∴AC=AB=k.∵BD=9,∴k=3.所以AD=4×3=12，AC=×3=20.根据勾股定理.二、综合•应用达标7.已知α是锐角，且sinα=，则cos(90°－α)=()A.B.C.D.思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°－α)=.方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°－α)”.答案：A8.若α为锐角，tana=3，求的值.思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶，sinα=，cosα=，分别代入所求式子中.方法2.利用tanα=计算，因为cosα≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算.答案：原式=.9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为，且α为锐角，求tanα.思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是，进而可求出sinα=，然后利用前面介绍过的方法求tanα.解：设方程的另一个根为x2，则()x2=1∴x2=∴5sinα=()+()，解得sinα=.设锐角α所在的直角三角形的对边为4k，则斜边为5k，邻边为3k，∴tanα=.10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1－13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m.图28.1－13(1)求滑梯AB的长(精确到0.1m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？思路解析：用勾股定理可以计算出AB的长，其倾斜角∠ABC可以用三角函数定义求出，看是否在45°范围内.解：(1)在Rt△ABC中，≈4.5.答：滑梯的长约为4.5m.(2)∵tanB=,∴∠ABC≈27°,∠ABC≈27°＜45°.所以这架滑梯的倾斜角符合要求.11.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1－14思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.解：设原矩形边长分别为a，b，则面积为ab，由题意得，平行四边形的面积S=ab.又因为S=ah=a(bsinα)，所以ab=absinα，即sinα=.所以α=30°.三、回顾•展望达标12.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是()图28.1－15A.B.C.D.思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义.答案：C13.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC=2，则cosB的值是()图28.1－17A.B.C.D.思路解析：利用∠BCD=∠A计算.答案：D14.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC=()A.45B.5C.D.思路解析：根据定义sinA=，BC=AB·sinA.答案：B15.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=()图28.1－16A.B.C.D.思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B转移到Rt△ADC中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B.答案：B16.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图28.1－18思路解析：正弦、余弦函数的定义.答案：，锐角α17.计算：2－1－tan60°+(－1)0+；思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.解：2－1－tan60°+(－1)0+||=－+1+=.18.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°.图28.1－19(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA，证∠OAD=90°.由sinB=可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO是等边三角形，由此∠OAD=90°.AD是Rt△OAD的边，有三角函数可以求出其长度.(1)证明：如图，连接OA.∵sinB=，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形.∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD是⊙O的切线.(2)解：∵OD⊥AB∴OC垂直平分AB.∴AC=BC=5.∴OA=5.在Rt△OAD中，由正切定义，有tan∠AOD=.∴AD=.28．1锐角三角函数1．三角形在正方形风格纸巾中的位置如图28­1­3所示，则sinα的值是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)图28­1­3图28­1­42．如图28­1­4，某商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)3．cos30°＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)4．在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，tanC＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C．1D.eq\r(3)5．若0°<A<90°，且4sin2A－2＝0，则∠A＝()A．30°B．45°C．60°D．75°6．按GZ1206型科学计算器中的白键eq\x(MODE)，使显示器左边出现DEG后，求cos9°的值，以下按键顺序正确的是()A.eq\x(cos)eq\x(9)B.eq\x(cos)2ndFeq\x(9)C.eq\x(9)eq\x(cos)D.eq\x(9)2ndFeq\x(cos)7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a＝3b，求∠B的三角函数值．8．下列结论中正确的有()①sin30°＋sin30°＝sin60°；②sin45°＝cos45°；③cos25°＝sin65°；④若∠A为锐角，且sinA＝cos28°，则∠A＝62°.A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图28­1­5，直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与B点重合，折痕为DE，则tan∠CBE＝()图28­1­5A.eq\f(24,7)B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(7,24)D.eq\f(1,3)10．如图28­1­6，AD是BC边上的高，E为AC边上的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝eq\f(4,5).(1)求线段CD的长；(2)求tan∠EDC的值．图28­1­6参考答案1．C2.A3.C4.B5.B6.A7．解：由2a＝3b，可得eq\f(a,b)＝eq\f(3,2).设a＝3k，b＝2k(k>0)，由勾股定理，得c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3k2＋2k2)＝eq\r(13)k.∴sinB＝eq\f(b,c)＝eq\f(2k,\r(13)k)＝eq\f(2\r(13),13)，cosB＝eq\f(a,c)＝eq\f(3k,\r(13)k)＝eq\f(3\r(13),13)，tanB＝eq\f(b,a)＝eq\f(2k,3k)＝eq\f(2,3).8．C9．C解析：设CE＝x，则AE＝8－x，由折叠性质知，AE＝BE＝8－x，在Rt△CBE中，由勾股定理，得BE2＝CE2＋BC2，即(8－x)2＝x2＋62，解得x＝eq\f(7,4).∴tan∠CBE＝eq\f(CE,BC)＝eq\f(\f(7,4),6)＝eq\f(7,24).10．解：(1)在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(4,5)，又AD＝12，∴AB＝15.BD＝eq\r(152－122)＝9.∴CD＝BC－BD＝14－9＝5.(2)在Rt△ADC中，E为AC边上的中点，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠C.∴tan∠EDC＝tanC＝eq\f(AD,CD)＝eq\f(12,5).练习8锐角三角函数一、自主学习1.如图28-1所示，△ABC中，∠C=90°，BC=a、AC=b，AB=c，则sinA=_________，cosB=_________，tanB=_________.图28-12.sin30°=________，sin45°=________，sin60°=______.cos30°=_________，cos45°=_________，cos60°=_________.tan30°=_________，tan45°=________，tan60°=________.二、基础巩固3.Rt△ABC中，∠C=90°、AB=10、AC=8，则sinA=________，cosB=_______.4.Rt△ABC中，∠C=90°，a、b分别是∠A、∠B的对边，若sinA∶sinB=1∶2，则a∶b=________5.Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=，则sinA=________.6.Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10，S△ABC=，则∠A=________.7.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，两直角边之和为14，则它的斜边长为_________.8.若α为锐角，且tanα=，则∠cosα=__________.9.计算=_______________.10.计算cos245°+tan30°·cos30°=__________.11.Rt△ABC中，∠C=90°，a=，sinB=，则b=__________.12.△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=4，则AB=__________.三、能力提高13.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AB=a，∠B=α，则AD等于()A.asin2αB.acos2αC.asinα·cosαD.atanα14.若cosα≤，则锐角α的取值范围是()A.0°＜α≤30°B.α≥30°C.α≤60°D.30°≤α＜90°15.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AD=2，BD=8，则tanA=()A.4B.2C.D.16.菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，则sin=()[来源:Z|xx|k.Com]A.B.C.D.17.Rt△ABC中，∠C=90°，则sin2A+cos2A的值等于()A.1B.2sin2AC.(sinA+cosA)2D.018.计算的值是()A.B.C.1D.019.已知sinα·cosα=,且α为锐角，则cosα-sinα的值为()A.B.C.D.或20.已知α为锐角，且tanα=3,则的值为()A.B.C.D.四、模拟链接21.如图28-2所示，△ABC中，∠B=90°、∠A=15°，试求tan75°的值.图28-122.计算：sin30°-sin45°·cos45°+sin60°·tan30°-tan45°·cos60°23.观察：sin30°=cos60°=，且30°+60°=90°sin45°=cos45°=，且45°+45°=90°sin60°=cos30°=，且60°+30°=90°若∠α+∠β=90°，且∠α、∠β为0°—90°范围内的任意两锐角，试确定sinα与cosβ之间的大小关系并说明理由.24.△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b，c，且，求sinA、tanB的值.参考答案一、自主学习1.如图28-1所示，△ABC中，∠C=90°，BC=a、AC=b，AB=c，则sinA=_________，cosB=_________，tanB=_________.图28-1答案：2.sin30°=________，sin45°=________，sin60°=______.cos30°=_________，cos45°=_________，cos60°=_________.tan30°=_________，tan45°=________，tan60°=________.答案：1二、基础巩固3.Rt△ABC中，∠C=90°、AB=10、AC=8，则sinA=________，cosB=_______.答案：4.Rt△ABC中，∠C=90°，a、b分别是∠A、∠B的对边，若sinA∶sinB=1∶2，则a∶b=________答案：1∶25.Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=，则sinA=________.答案：6.Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10，S△ABC=，则∠A=________.答案：60°7.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，两直角边之和为14，则它的斜边长为_________.答案：-148.若α为锐角，且tanα=，则∠cosα=__________.答案：9.计算=_______________.答案：310.计算cos245°+tan30°·cos30°=__________.答案：111.Rt△ABC中，∠C=90°，a=，sinB=，则b=__________.答案：112.△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=4，则AB=__________.答案：三、能力提高13.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AB=a，∠B=α，则AD等于()A.asin2αB.acos2αC.asinα·cosαD.atanα答案：A14.若cosα≤，则锐角α的取值范围是()A.0°＜α≤30°B.α≥30°C.α≤60°D.30°≤α＜90°答案：D15.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AD=2，BD=8，则tanA=()A.4B.2C.D.答案：B16.菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，则sin=()[来源:Z|xx|k.Com]A.B.C.D.答案：C17.Rt△ABC中，∠C=90°，则sin2A+cos2A的值等于()A.1B.2sin2AC.(sinA+cosA)2D.0答案：A18.计算的值是()A.B.C.1D.0答案：B19.已知sinα·cosα=,且α为锐角，则cosα-sinα的值为()A.B.C.D.或答案：D20.已知α为锐角，且tanα=3,则的值为()A.B.C.D.答案：C四、模拟链接21.如图28-2所示，△ABC中，∠B=90°、∠A=15°，试求tan75°的值.图28-1答案：2+22.计算：sin30°-sin45°·cos45°+sin60°·tan30°-tan45°·cos60°答案：023.观察：sin30°=cos60°=，且30°+60°=90°sin45°=cos45°=，且45°+45°=90°sin60°=cos30°=，且60°+30°=90°若∠α+∠β=90°，且∠α、∠β为0°—90°