人教高中数学A版必修一 《对数函数的概念 对数函数的图象和性质 不同函数增长的差异》

4.4.1

对数函数的概念

4.4.2

对数函数的图象和性质指数函数与对数函数一二三一、对数函数的定义1.我们已经知道y=2x是指数函数,那么y=log2x(x>0)是否表示y是x的函数?为什么?提示:是.由对数的定义可知y=log2x(x>0)⇔x=2y,结合指数的运算可知,在定义域{x|x>0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应,故y=log2x(x>0)表示y是x的函数,其定义域为(0,+∞).2.填空一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).一二三3.判断一个函数是不是对数函数的依据是什么?提示:对数函数的定义与指数函数类似,只有满足①函数解析式右边的系数为1;②底数为大于0且不等于1的常数;③真数仅有自变量x这三个条件,才是对数函数.如:y=2logax;y=loga(4-x);y=logax2都不是对数函数.4.做一做:下列函数是对数函数的是(

)A.y=logax+2(a>0,且a≠1,x>0)B.y=log2(x>0)C.y=logx3(x>0,且x≠1)D.y=log6x(x>0)答案:D一二三二、对数函数的图象和性质1.(1)在同一坐标系中,函数y=log2x与y=

的图象如图所示.你能描述一下这两个函数的相关性质(定义域、值域、单调性、奇偶性)吗?提示:一二三提示:关于x轴对称.提示:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴,0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴.一二三2.填表对数函数的图象和性质一二三3.做一做(1)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是

(

)A.0.5 B.2 C.e D.π(2)下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是(

)A.y=5x

B.y=lgx+2C.y=x2+1 D.y=(3)函数的f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点

.

解析:(1)∵函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,∴0<a<1,只有选项A符合题意.(3)由对数函数的性质可知,当x-2=1,即x=3时,y=-6,即函数恒过定点(3,-6).答案:(1)A

(2)D

(3)(3,-6)一二三三、反函数1.函数y=log2x与y=2x的定义域和值域之间有什么关系?其图象之间是什么关系?提示:函数y=log2x与y=2x的定义域和值域之间是互换的,两者的图象关于直线y=x对称.2.填空对数函数y=logax(a>0且a≠1)和指数函数y=ax(a>0且a≠1)互为反函数.它们的图象关于直线y=x对称.一二三3.做一做(2)函数g(x)=log8x的反函数是

.

(3)判断正误:若函数y=f(x)的图象经过点(a,b),则其反函数的图象过(b,a).(

)探究一探究二探究三探究四探究五对数函数的概念例1

(1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx,则m=

.①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.分析:(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解即可;(2)根据已知设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数;然后利用指对互化解方程.思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四探究五(1)解析:由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.答案:2(2)解:①由题意设f(x)=logax(a>0,且a≠1),解得a=16,故f(x)=log16x.②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四探究五反思感悟1.对数函数是一个形式定义:2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可求出.思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四探究五变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=

.(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=

.

(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练与对数函数有关的定义域、值域问题例2(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(

)A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1)D.[0,1](2)已知函数f(x)=的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是

.

探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练解析:(1)由题意得x2-x>0,解得x>1或x<0,故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练反思感悟

定义域问题注意事项(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式被开方式大于或等于零等.(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练对数函数的图象例3函数y=log2x,y=log5x,y=lgx的图象如图所示.(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出(3)从(2)的图中你发现了什么?探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练解:(1)①对应函数y=lg

x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练反思感悟

对数函数图象的变化规律:1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练变式训练2作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.解:先画出函数y=lg

x的图象(如图①).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).图①

图②

探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).图③由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练利用对数函数的性质比较大小例4

比较下列各组中两个值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).分析:(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较大小;(2)分别比较两个对数与0的大小;(3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)<f(2),即log31.9<log32.(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.(3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141;当0<a<1时,函数y=logax在定义域内是减函数,则有logaπ<loga3.141.综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141;当0<a<1时,logaπ<loga3.141.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练反思感悟

求复合函数的单调区间的步骤1.求出函数的定义域;2.将复合函数分解为基本初等函数;3.分别确定各个基本初等函数的单调性;4.根据复合函数原理求出复合函数的单调区间.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练变式训练3比较下列各组中两个值的大小:(1)ln0.3,ln2;(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);(3)log30.2,log40.2;(4)log3π,logπ3.解:(1)因为函数y=ln

x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln

0.3<ln

2.(2)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2;当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.故当a>1时,loga3.1<loga5.2;当0<a<1时,loga3.1>loga5.2.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练(3)(方法一)因为0>log0.23>log0.24,(方法二)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示,由图可知log40.2>log30.2.(4)因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且π>3,所以log3π>log33=1.同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练求复合函数的单调区间例5求函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调区间.分析:利用复合函数法确定其单调区间.解:令u=x2-2x+2,则u=(x-1)2+1≥1>0.当x≥1时,u=x2-2x+2是增函数,又y=log0.2u是减函数,所以y=log0.2(x2-2x+2)在[1,+∞)上是减函数.同理可得函数y=log0.2(x2-2x+2)在(-∞,1]上是增函数.故函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-∞,1],单调减区间为[1,+∞).探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练变式训练

4求函数y=loga(a-ax)的单调区间.解:(1)当a>1时,y=logat是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax<a,所以x<1.所以y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是减函数.(2)当0<a<1时,y=logat是减函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax<a,所以x<1.所以y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是增函数.综上所述,当a>1时,函数y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是减函数;当0<a<1时,函数y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是增函数.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练与对数函数有关的图象变换问题答案:(-∞,-2)探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练答案:③

探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练A.[-1,3) B.(-1,3)

C.(-1,3] D.[-1,3]答案:CA.[-1,0] B.[0,1]C.[1,+∞) D.(-∞,-1]答案:A探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练A.y<x<1 B.x<y<1C.1<x<y

D.1<y<x答案:D4.若函数f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是

.

解析:令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,∴f(x)的图象恒过定点(2,2).答案:(2,2)探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为

.

解析:因为f(x)=log0.2x在定义域内为减函数,且0.2<0.3<1<4,所以log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,即1>a>0>c.同理log26>log22=1,所以b>a>c.答案:b>a>c探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练6.已知函数f(x)=log3x.(1)作出这个函数的图象;(2)若f(a)<f(2),利用图象求a的取值范围.解:(1)作出函数y=log3x的图象如图所示.(2)由图象知,函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增.当0<a<2时,恒有f(a)<f(2),故所求a的取值范围为(0,2).4.4.3

不同函数增长的差异指数函数与对数函数一二一、指数函数与一次函数、二次函数增长的差异比较1.(1)阅读下面材料并回答问题1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只,可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已.他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子,澳大利亚人才算松了一口气.想想看,澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75亿只?答案:由于兔子在适宜环境下,其繁育的数量呈指数增长趋势,指数增长又称为“爆炸性增长”,因此发展十分迅猛.一二(2)你能借助图象得出在x∈R时,2x=x,2x=x2的根的个数吗?在(0,+∞)上存在满足2x<x的x吗?在(0,+∞)上满足2x>x2的x的范围是什么?答案:2x=x无根,2x=x2的根有3个(2正1负);在(0,+∞)上,存在这样的数x0满足

<x0.在(0,+∞)上,当0<x<2或x>4时均有2x>x2成立.2.填空(1)一般地,指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长差异都与上述情况类似.即使k的值远远大于a的值,y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度,即总存在这样的x0∈(0,+∞),当x>x0时,恒有(2)对于y=ax(a>1)与二次函数y=x2也有这样的结论,即存在x0∈(0,+∞),使当x>x0时总有一二3.做一做(1)下列函数中,增长速度最快的是(

)A.y=2xB.y=3xC.y=5xD.y=10x(2)在x∈(0,+∞)时,满足2x<x2的x的取值范围为

.

解析:(1)四个选项中的函数都是指数函数,且底数均大于1,D项中底数10最大,则函数y=10x的增长速度最快.答案:(1)D

(2)2<x<4一二二、对数函数与一次函数、二次函数增长的差异比较1.log2x=x有根吗?log2x=x2呢?在(0,+∞)内存在x使log2x>x吗?对于log2x>x2结论又如何?答案:结合图象(略)分析可知,log2x=x只有一个根,log2x=x2也只有一个根.存在这样的x0∈(0,+∞)使log2x0>x0,同样也存在这样的x0∈(0,+∞)使log2x0>成立,但最终随着x取值足够大,log2x<x2,log2x<x恒成立.一二2.填空(1)一般地,虽然对数函数y=logax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在区间(0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同.随着x的增大,一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度,而对数函数y=logax(a>1)的增长速度越来越慢.不论a的值比k的值大多少,在一定范围内,logax可能会大于kx,但由于logax的增长慢于kx的增长,因此总会存在一个x0,当x>x0时,恒有logax<kx.(2)对于y=logax(a>1)与y=x2也存在类似结论,即总会存在一个x0,当x>x0时,恒有logax<x2.一二3.做一做(1)下列函数增长速度最快的是(

)A.y=log2xB.y=log6xC.y=log8xD.y=lgx(2)方程x2-log2x=0的解的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.0解析:(1)四个选项中的对数函数在区间(0,+∞)上均是增函数,选项A中y=log2x的底数2最小,则函数y=log2x的增长速度最快.答案:(1)A

(2)D探究一探究二探究三规范解答随堂演练研究函数y=2x,y=x2,y=log2x的增长差异例1在同一坐标系内作出函数y=2x,y=x2,y=log2x的图象并探究它们的增长情况.分析:先比较y=2x和y=x2,再比较y=log2x和y=x2,最后综合判断得出整体规律.解:在同一直角坐标系内作出函数y=2x,y=x2,y=log2x的图象,如图所示,观察归纳可知,当0<x<2时,2x>x2>log2x.当2<x<4时,x2>2x>log2x.当x>4时,2x>x2>log2x.探究一探究二探究三规范解答随堂演练反思感悟

在(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=x2都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x2(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢,总会存在一个x0,当x>x0时,有logax<x2<ax.探究一探究二探究三规范解答随堂演练变式训练1四人赛跑,假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.假设他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是

(

)A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4xC.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x解析:当x足够大时,跑在最前面的人具有的函数关系为指数型函数.答案:D探究一探究二探究三规范解答随堂演练根据数据信息判断函数类型例2在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数)(

)探究一探究二探究三规范解答随堂演练解析:散点图如图所示:由散点图可知,此函数图象不是直线,排除A选项;此函数图象是“上升”的,因此该函数为增函数,排除C,D选项,故选B.答案:B探究一探究二探究三规范解答随堂演练反思感悟

判断函数类型的三种方法1.当函数关系式确定时,一般把数值代入分析即可.2.当函数关系不明确时,可先画出散点图,再根据散点图与各种类型函数的增长规律进行选择.3.当需要独立建立模型时,要设出函数模型逐一验证筛选.探究一探究二探究三规范解答随堂演练变式训练2在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据(见下表).现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(

)A.y=2x

B.y=log2xC.y=(x2-1) D.y=2.61x解析:将数据代入验证各选项,与函数性质的应用相结合.答案:B探究一探究二探究三规范解答随堂演练图象信息迁移问题例3如图所示的是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中,正确的有(

)(1)这几年人民生活水平逐年得到提高;(2)人民生活费收入增长最快的一年是2016年;(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2017年;(4)虽然2018年生活费收入增长是缓慢的,但由于生活费价格指数也略有降低,因而人民生活有较大的改善.A.1项 B.2项 C.3项 D.4项探究一探究二探究三规范解答随堂演练解析:由题意,“生活费收入指数”减“生活费价格指数”所得的差是逐年增大的,故(1)正确;“生活费收入指数”在2016~2017年最陡,故(2)正确;“生活费价格指数”在2017~2018年最平缓,故(3)不正确;由于“生活费价格指数”略呈下降趋势,而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势,故(4)正确.答案:C反思感悟

用函数图象分析函数模型是一种常见的题型.主要考查学生的识图能力,利用图象信息分析问题和解决问题的能力.这类问题应结合图象的特征,观察坐标轴所代表的含义,紧扣题目的语言描述,并把它转化为数学特征(单调性、最值等),即可得到完美的解决.探究一探究二探究三规范解答随堂演练变式训练3某天0时,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常(正常体温为37℃),但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是(

)探究一探究二探究三规范解答随堂演练解析:观察图象A,体温逐渐降低,不符合题意;图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”;图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”.综上,只有C是正确的.答案:C探究一探究二探究三规范解答随堂演练选择恰当函数模型解决实际问题典例

某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金总数不超过利润的25%.现有三个奖励方案模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合该公司的要求?分析:某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时,奖金总数不超过5万元,同时奖金总数不超过利润的25%,由于公司总的利润目标为1

000万元,所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润.于是,只需在区间[10,1

000],分别检验三个模型是否符合公司要求.探究一探究二探究三规范解答随堂演练解:借助计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限内的大致图象(如图所示):观察图象发现,在区间[10,1

000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方,只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方,这说明只有按模型y=log2x+1进行奖励时才符合公司的要求,下面通过计算确认上述判断.对于模型y=0.25x,它在区间[10,1

000]上递增,当x∈(20,1

000)时,y>5,因此该模型不符合要求;探究一探究二探究三规范解答随堂演练对于模型y=1.002x,由函数图象,并利用计算器,可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x=5,由于它在区间[10,1

000]上递增,因此当x>x0时,y>5,因此该模型y=1.002x也不符合要求;对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1

000]上递增,而且当x=1

000时,y=log71

000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否不超过利润的25%,即当x∈[10,1

000]时,是否有令y=log7x+1-0.25x,x∈[10,1

000].利用计算机作出函数f(x)的图象(如图所示).由图象可知它是递减的,因此f(x)<f(10)≈-0.316

7<0,即y=log7x+1<0.25x,所以当x∈[10,1

000]时,<0.25.说明按模型y=log7x+1时,奖金不会超过利润的25%.探究一探究二探究三规范解答随堂演练反思感悟

1.通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义,认识数学的价值,认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系,从而体会数学的实用价值,享受数学的应用美.2.通过对实际问题的解决,熟悉选择函数模型解决实际问题的基本流程,并增强了解决实际问题的能力.3.此类问题还要注意理论联系实际,函数性质结合函数图象综合分析.探究一探究二探究三规范解答随堂演练1.存在x0,当x>x0时,下列不等式恒成立的是(

)A.2x<log2x<x2 B.x2<log2x<2xC.log2x<2x<x2 D.log2x<x