人教高中数学A版必修一 《对数的概念对数的运算》总结内容

4.3.1

对数的概念指数函数与对数函数一、对数的概念1.(1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…依次类推,那么1个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数N是多少?提示:N=2x.(2)上述问题中,若已知分裂后得到的细胞的个数分别为8个,16个,则分裂的次数分别是多少?提示:3次,4次.(3)上述问题中,如果已知细胞分裂后的个数N,能求出分裂次数x吗?提示:能,x=log2N.2.填空:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.一二三一二三3.在对数式x=logaN中,底数a和真数N的取值范围是什么,为什么?提示:由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a,所以a的取值范围为a>0,且a≠1;由于在指数式中ax=N,而ax>0,所以N>0.4.对数式与指数式的互化(1)在指数式和对数式中都含有a,x,N这三个量,那么这三个量在两个式子中各有什么异同点?提示:一二三(2)53=125化为对数式是什么?log416=2化为指数式是什么?指数式与对数式具有怎样的关系?提示:log5125=3,42=16.当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=logaN.(3)(-3)2=9能否直接化为对数式log(-3)9=2?提示:不能,因为只有符合a>0,a≠1时,才有ax=N⇔x=logaN.一二三答案:(1)B

(2)D

(3)C一二三(4)判断正误①因为(-2)2=4,所以log-24=2.(

)②log34与log43表示的含义相同.(

)答案:(1)B

(2)D

(3)C

(4)①×

②×一二三二、常用对数与自然对数1.(1)10b=a用对数式如何表示?提示:b=log10a,简记为b=lg

a.(2)在科学计算器上,有一个特殊符号“ln”,你知道它是什么吗?提示:符号“ln”是一种对数符号,它是用来计算以“e”为底的对数的.(3)lnM=n用指数式如何表示?提示:en=M.2.填空3.做一做(1)lg105=

;(2)lne=

.

答案:(1)5

(2)1一二三三、对数的基本性质1.(1)“60=?”化成对数式呢?提示:1

log61=0.(2)“51=?”化成对数式呢?提示:5

log55=1.2.填空对数的基本性质(1)负数和零没有对数.(2)loga1=0(a>0,a≠1).(3)logaa=1(a>0,a≠1).一二三3.做一做(2)若log3(log2x)=0,则x=

.

解析:(2)由已知得log2x=1,故x=2.答案:(1)D

(2)2探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对数式与指数式的互化例1

将下列指数式与对数式互化:分析:利用当a>0,且a≠1时,logaN=b⇔ab=N进行互化.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.logaN=b与ab=N(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下图:2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1将下列指数式与对数式互化:(5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用对数式与指数式的关系求值例2求下列各式中x的值:(1)4x=5·3x;

(2)log7(x+2)=2;分析:利用指数式与对数式之间的关系求解.(2)∵log7(x+2)=2,∴x+2=72=49,∴x=47.(3)∵ln

e2=x,∴ex=e2,∴x=2.(5)∵lg

0.01=x,∴10x=0.01=10-2,∴x=-2.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟指数式ax=N与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2求下列各式中的x值:(2)∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,∴x=3.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用对数的基本性质与对数恒等式求值例3

求下列各式中x的值:(1)ln(log2x)=0;

(2)log2(lgx)=1;分析:利用logaa=1,loga1=0(a>0,且a≠1)及对数恒等式求值.解:(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1,∴x=21=2.(2)∵log2(lg

x)=1,∴lg

x=2,∴x=102=100.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a>0,a≠1);(3)logaa=1(a>0,a≠1)进行对数的化简与求值.2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式

=N(a>0,且a≠1,N>0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练3求下列各式中x的值:解:(1)∵ln(lg

x)=1,∴lg

x=e,∴x=10e.(2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=1,∴x=5.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练因忽视底数的取值范围而致错典例

已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值.错解由对数的性质可得x2+3x=x+3,解得x=1或x=-3.以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:上述解法的错误在于忘记检验底数需大于0且不等于1.解得x=1.故实数x的值为1.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练防范措施1.在对数表达式x=logaN中,需满足底数a>0,且a≠1,真数N>0.2.在利用对数式的性质求出a的值后,务必验证底数和真数是否满足对数式的意义.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练对数式log(a-2)(5-a)中实数a的取值范围是(

)A.(-∞,5)B.(2,5)C.(2,3)∪(3,5)D.(2,+∞)解析:要使对数式b=log(a-2)(5-a)有意义,故选C.答案:C探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.将log5b=2化为指数式是(

)A.5b=2 B.b5=2 C.52=b D.b2=5答案:C答案:C探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即ab=N⇔b=logaN.现在已知a=log23,则2a=

.

解析:由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.答案:3探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.若loga2=m,loga3=n,则a2m+n=

.

解析:因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3.所以a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.答案:126.求下列各式中x的值:(3)由log3(lg

x)=1,得lg

x=3,故x=103=1

000.4.3.2

对数的运算指数函数与对数函数一二一、对数的运算性质1.(1)指数的运算法则有哪些?提示:①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);③(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);④(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)计算log24,log28及log232的值,你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗?提示:∵log24=2,log28=3,log232=5,∴log24+log28=log2(4×8)=log232;一二(3)计算lg10,lg100,lg1000及lg104的值,你能发现什么规律?提示:lg

10=1,lg

100=lg

102=2,lg

1

000=lg

103=3,lg

104=4,可见lg

10n=nlg

10=n.2.填表对数的运算性质一二3.做一做(1)化简2lg5+lg4-的结果为(

)A.0 B.2 C.4 D.6解析:原式=2lg

5+2lg

2-2=2(lg

5+lg

2)-2=0.答案:A(2)判断正误:log3[(-4)×(-5)]=log3(-4)+log3(-5).(

)答案:×一二二、换底公式一二2.做一做(2)化简log47·log74=

.

(3)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log125=

.

探究一探究二探究三探究四思想方法对数运算性质的应用例1

计算下列各式的值:分析:利用对数的运算性质进行计算.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法(2)原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(1+lg

2)+(lg

2)2=2(lg

5+lg

2)+lg

5+lg

2(lg

5+lg

2)=2+lg

5+lg

2=2+1=3.反思感悟对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg

2+lg

5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法换底公式的应用例2

计算下列各式的值:分析:用换底公式将对数化为同底的对数后再化简求值.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练2化简:(1)log23·log36·log68;(2)(log23+log43)(log32+log274).随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法

对数运算性质的综合应用例3(1)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)分析:(1)先利用指数式和对数式的互化公式,将18b=5化成log185=b,再利用换底公式,将log3645化成以18为底的对数,最后进行对数的运算.(2)用对数式表示出x,y,z后再代入所求(证)式子进行求解或证明.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟

对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练3(1)已知log325=q,log43=p,则lg2=(

)答案:B随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练

换底公式在实际中的应用例4分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小:把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,说明声音环境优良,60~110为过渡区,110以上为有害区.(1)试列出分贝y与声压P的函数关系式.(2)某地声压P=0.002帕,则该地为以上所说的什么区?声音环境是否优良?(3)假若某精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声,某记者用仪器测得其中一次掌声的音量达到了90分贝,试求此时会场内的声压是多少.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟

解决对数应用题的一般步骤

探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练变式训练4一台机器原价20万元,由于磨损,该机器每年比上一年的价值降低8.75%,问经过多少年这台机器的价值为8万元?(lg2≈0.3010,lg9.125≈0.9602)解:设经过x年,这台机器的价值为8万元,则8=20(1-0.087

5)x,即0.912

5x=0.4,两边取以10为底的对数,

所以约经过10年这台机器的价值为8万元.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练对数方程的求解方法典例

解下列方程:(2)lgx+2log(10x)x=2;(3)(2x2-3x+1)=1.解得x=15或x=-5(舍去),经检验x=15是原方程的解.探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练归纳总结(1)在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程.(2)解对数方程可将其转化为同底数对数后求解,或通过换元转化为代数方程求解,注意在将对数方程化为代数方程的过程中,未知数的范围扩大或缩小容易导致增、失根.