高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.10统计概率和其他专题综合(精讲)(原卷版+解析)

9.10统计概率和其他专题综合【题型解读】【题型精讲】【题型一统计概率和函数综合】例1(2023·华师大二附中高三练习）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验次.二是混合检验，将份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则份血液检验的次数共为次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为，而且各体检人是否患该疾病相互独立.（1）若，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:方案一:采用混合检验;方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.例2为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：减排器等级及利润率如下表，其中．综合得分的范围减排器等级减排器利润率一级品二级品三级品（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？【题型精练】1.(2023·贵州省思南中学高三月考）党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有6例疑似病例，分别对其取样､检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案三：6个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；（2）若，现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求的取值范围.2．(2023·全国高三课时练习）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余.江河不可障，飒沓入敌虚”将矩形棋盘视作坐标系，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从移动到或.（1）若棋盘的右上角为，马从处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率.（2）若棋盘的右上角为，马从处出发，每一步仅向方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段上次数的数学期望.【题型二统计概率和导数综合】例3(2023·四川模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．（1）若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望；（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．例4(2023·武昌模拟）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)（2）假如企业包装时要求把2件优等品和(，且)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为B.①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.【题型精练】1．(2023·石家庄模拟）某种疾病可分为、两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人数占男性病人的，女性患型病的人数占女性病人的.（1）若在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次接种花费元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次花费元，每个周期接种次，每个周期必须完成次接种，若一个周期内至少出现次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当，时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.附：，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8282.(2023·临沂二模）某医疗研究所新研发了一款医疗仪器，为保障该仪器的可靠性，研究所外聘了一批专家检测仪器的可靠性，已知每位专家评估过程相互独立．（1）若安排两位专家进行评估，专家甲评定为“可靠”的概率为，专家乙评定为“可靠”的概率为，只有当两位专家均评定为“可靠”时，可以确定该仪器可靠，否则确定为“不可靠”．现随机抽取4台仪器，由两位专家进行评估，记评定结果不可靠的仪器台数为X，求X的分布列和数学期望；（2）为进一步提高该医疗仪器的可靠性，研究所决定每台仪器都由三位专家进行评估，若每台仪器被每位专家评定为“可靠”的概率均为p（），且每台仪器是否可靠相互独立．只有三位专家都评定仪器可靠，则仪器通过评估．若三位专家评定结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回研究所返修，拟定每台仪器评估费用为100元，若回研究所返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，研究所用于评估和维修的预算是3.3万元，你认为该预算是否合理？并说明理由．【题型三统计概率和数列综合】例5(2023·唐山二模）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．（i）求（直接写出结果即可）；（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．例6(2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．①求，，；②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．【题型精练】1．(2023·高三课时练习）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．2.(2023·广东高三模拟）《山东省高考改革试点方案》规定：从年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为.选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校级学生共人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级的学生原始成绩统计如下成绩93919088878685848382人数1142433327（1）从物理成绩获得等级的学生中任取名，求恰好有名同学的等级分数不小于的概率;（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到名同学的物理高考成绩等级为或结束(最多抽取人)，设抽取的学生个数为，求随机变量的数学期望(注:).9.10统计概率和其他专题综合【题型解读】【题型精讲】【题型一统计概率和函数综合】例1(2023·华师大二附中高三练习）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验次.二是混合检验，将份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则份血液检验的次数共为次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为，而且各体检人是否患该疾病相互独立.（1）若，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:方案一:采用混合检验;方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.答案：见解析【解析】（1）解：该混合样本阴性的概率是，根据对立事件可得，阳性的概率为（2）解：方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为，则的可能取值为，其分布列为:17则，方案二:由题意分析可知，每组3份样本混合检验时，若阴性则检测次数为1，概率为，若阳性，则检测次数,4，概率为，方案二的检验次数记为，则的可能取值为，;其分布列为:258则，，当或时，可得，所以方案一更“优”当或时，可得，所以方案一、二一样“优”当时，可得，所以方案二更“优”.例2为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：减排器等级及利润率如下表，其中．综合得分的范围减排器等级减排器利润率一级品二级品三级品（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？答案：（1）；（2）①二级品数的分布列见详解，；②投资乙型号减排器的平均利润率较大.【解析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为，分层抽样的方法抽取10件，则抽取一级品为（件）则至少有2件一级品的概率，；（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号减排器随机抽取3件，则二级品数所有可能的取值为，且，所以，，，，所以的分布列为0123所以数学期望：；②由题意知，甲型号减排器的利润的平均值：；乙型号减排器的利润的平均值：；，又，则，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大.【题型精练】1.(2023·贵州省思南中学高三月考）党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有6例疑似病例，分别对其取样､检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案三：6个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；（2）若，现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求的取值范围.答案：（1）；（2）.【解析】（1）用表示6例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量，由题意可知：.答：6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为.（2）方案二：混合一起检验，记检验次数为，则.∴，，∴.方案三：每组的三个样本混合在一起化验，记检验次数为，则.∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的取值范围.2．(2023·全国高三课时练习）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余.江河不可障，飒沓入敌虚”将矩形棋盘视作坐标系，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从移动到或.（1）若棋盘的右上角为，马从处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率.（2）若棋盘的右上角为，马从处出发，每一步仅向方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段上次数的数学期望.答案：见解析【解析】（1）解：从出发4步以内到达且不出棋盘的走法共有8种，其中种为：另外4种与以上4种关于直线对称.对于以上4种，记第种路线的概率为，则：，，，.因此总概率为.（2）解：设马有步从走到，步走到.则，解得.即马共走了步，总路径数为路径上经过的点可能在线段上的有，共5个.因此.因此，，，，.所以马停留在线段上次数的分布列为：12345因此的数学期望.【题型二统计概率和导数综合】例3(2023·四川模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．（1）若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望；（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．答案：见解析【解析】（1）解：由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2、3，则，，，随机变量X的分布列如下：X0123P则（2）解：甲队只胜一场的概率为，则．故当时，，递增；当时，，递增；则例4(2023·武昌模拟）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)（2）假如企业包装时要求把2件优等品和(，且)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为B.①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.答案：见解析【解析】（1）解：由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：，即，样本方差，故，所以，则优等品为质量差在内，即，一等品为质量差在内，即，所以正品为质量差在和内，即，所以该企业生产的产品为正品的概率：.（2）解：①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，∴某箱产品抽检被记为B的概率为：.②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，所以，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为.此时，解得：，∴时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为.【题型精练】1．(2023·石家庄模拟）某种疾病可分为、两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人数占男性病人的，女性患型病的人数占女性病人的.（1）若在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次接种花费元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次花费元，每个周期接种次，每个周期必须完成次接种，若一个周期内至少出现次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当，时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.附：，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）；（2）该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.【解析】（1）设男性患者有人，则女性患者有人，列联表如下：Ⅰ型病Ⅱ型病合计男z女合计要使在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则，解得，∵，，的最小整数值为，因此，男性患者至少有人；（2）设甲研发团队试验总花费为元，则的可能取值为、、，，，，，在递减，，设乙研发团队试验总花费为元，则的可能取值为、，，，，设，，函数在递减，，恒成立，所以，该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.2.(2023·临沂二模）某医疗研究所新研发了一款医疗仪器，为保障该仪器的可靠性，研究所外聘了一批专家检测仪器的可靠性，已知每位专家评估过程相互独立．（1）若安排两位专家进行评估，专家甲评定为“可靠”的概率为，专家乙评定为“可靠”的概率为，只有当两位专家均评定为“可靠”时，可以确定该仪器可靠，否则确定为“不可靠”．现随机抽取4台仪器，由两位专家进行评估，记评定结果不可靠的仪器台数为X，求X的分布列和数学期望；（2）为进一步提高该医疗仪器的可靠性，研究所决定每台仪器都由三位专家进行评估，若每台仪器被每位专家评定为“可靠”的概率均为p（），且每台仪器是否可靠相互独立．只有三位专家都评定仪器可靠，则仪器通过评估．若三位专家评定结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回研究所返修，拟定每台仪器评估费用为100元，若回研究所返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，研究所用于评估和维修的预算是3.3万元，你认为该预算是否合理？并说明理由．答案：（1）分布列见解析，；（2）该预算合理，理由见解析.【解析】（1）记事件A：一台机器被评定为不合格，则，题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，4．由题意得：，所以，，，，，．故随机变量X的分布列为：X01234P从而．（2）该预算合理．理由如下：设每台仪器用于评估和维修的费用为元，则的可能取值为，．，．所以，化简得，令，，令解得，当，，在单调递增，当，，在单调递减，所以当时，的最大值为．实施此方案，100台抽检仪器的费用期望值最高为元元，因此该预算合理．【题型三统计概率和数列综合】例5(2023·唐山二模）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．（i）求（直接写出结果即可）；（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．答案：(1)喜爱足球运动与性别有关(2)（i）；（ii）证明见解析，甲的概率大【解析】（1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关．根据列联表数据，经计算得根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001．（2）（i）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故．（ii）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，则，从而，又，是以为首项，公比为的等比数列．则，∴，，，故第19次触球者是甲的概率大例6(2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求