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文档简介
9.5二项式定理5大题型【题型解读】【题型一求特定项的系数】1.(2023·广东模拟)若是一组数据的方差,则的展开式的常数项为()A.-210 B.3360 C.210 D.162.(2023·江阴模拟)二项式的展开式中,含项的二项式系数为()A.84 B.56 C.35 D.213.(2023·江西模拟)已知等差数列的第项是展开式中的常数项,则()A. B. C. D.4.(2023·浙江模拟)在的展开式中含和含的项的系数之和为()A.-674 B.-675 C.-1080 D.14855.(2023·全国高三课时练习)在的展开式中,有理项共有()项A.3 B.4 C.5 D.63.(2023·枣庄模拟)在的展开式中,含项的系数为()A.-480 B.480 C.-240 D.2406.(2023·汕头模拟)展开式中的系数为(用数字作答).【题型二已知项的系数求参】1.(2023·四川模拟)已知是的展开式中的某一项,则实数的值为.2.(2023·武昌模拟)展开式中的常数项为-160,则a=(
)A.-1 B.1 C.±1 D.23.(2023·石家庄模拟)已知的展开式中常数项为,则(
)A. B.C. D.4.(2023·临沂二模)已知的展开式中各项系数的和为-3,则该展开式中的系数为()A.-120 B.-40 C.40 D.120【题型三二项式定理的性质】1.(2023·唐山二模)展开式中二项式系数最大的项是(
)A. B. C.和 D.和2.(2023·莆田三模)(多选)已知,则下列说法中正确的有()A.的展开式中的常数项为84B.的展开式中不含的项C.的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等D.的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项3.(2023·高三课时练习)已知的展开式中各项系数之和为64,则该展开式中系数最大的项为___________.4.(2023·广东高三模拟)假如的二项展开式中项的系数是,则二项展开式中系数最小的项是__________.5.(2023·浙江高三模拟)若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则(
).A.9 B.10 C.11 D.12【题型四二项式系数和及系数和问题】1.(2023·岳阳模拟)(多选)已知则()A. B.C. D.2.(2023·鹤壁模拟)设,若则非零实数a的值为()A.2 B.0 C.1 D.-13.(2023·济北中学高三月考)已知,则的值为.4.(2023·上虞模拟)设(2﹣x)100=a0+a1x+a2x2+…a100x100,求下列各式的值.(1)a0;(2)a1+a2+a3+…+a100;(3)a1+a3+a5…+a99;(4)(a0+a2+…+a100)2﹣(a1+a3+…+a99)2;(5)|a0|+|a1|+…+|a100|.5.若的展开式中各项系数的和为256,则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为___________.6.(2023·全国·高三专题练习)在①只有第5项的二项式系数最大;②第4项与第6项的二项式系数相等;③奇数项的二项式系数的和为128;这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,解决下面两个问题.已知(n∈N*),___________(1)求的值:(2)求的值.【题型五二项式定理的应用】1.设,且,若能被13整除,则(
)A.0 B.1 C.11 D.122.设为奇数,那么除以13的余数是()A. B.2 C.10 D.113.(2023·全国高三课时练习)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为.若,,则b的值可以是(
)A.2022 B.2021 C.2020 D.20194.某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理,经过思考,他决定采用精确到0.01的近似值,则这个近似值是________.5.若,则被4除得的余数为.9.5二项式定理5大题型【题型解读】【题型一求特定项的系数】1.(2023·广东模拟)若是一组数据的方差,则的展开式的常数项为()A.-210 B.3360 C.210 D.16答案:B【解析】数据0,2,0,2的平均值为1,故方差,故二项式为,其展开式的通项公式,令,解得,故常数项为.故答案为:B.2.(2023·江阴模拟)二项式的展开式中,含项的二项式系数为()A.84 B.56 C.35 D.21答案:B【解析】因为二项式为,所以其展开式中,含项的二项式系数为:,,,,,.故答案为:B3.(2023·江西模拟)已知等差数列的第项是展开式中的常数项,则()A. B. C. D.答案:D【解析】由二项式定理,展开式中的常数项是,即,因为是等差数列,所以.故选:D.4.(2023·浙江模拟)在的展开式中含和含的项的系数之和为()A.-674 B.-675 C.-1080 D.1485答案:A【解析】,则的系数为1,的系数为,所以在的展开式中含和含的项的系数之和为.故答案为:A.5.(2023·全国高三课时练习)在的展开式中,有理项共有()项A.3 B.4 C.5 D.6答案:C【解析】因为展开式的通项为,因为为整数且,所以可取,所以有理项一共有项,故选:C.3.(2023·枣庄模拟)在的展开式中,含项的系数为()A.-480 B.480 C.-240 D.240答案:A【解析】看成是6个相乘,要得到.分以下情况:6个因式中,2个因式取,1个因式取,3个因式取,此时的系数,所以的系数为-480.故答案为:A6.(2023·汕头模拟)展开式中的系数为(用数字作答).答案:5【解析】因为(1+x)5的展开式通项为(k=0,1,2,3,4,5),①当k=2时,展开式中x2项为,②当k=4时,展开式中x2项为,所以,展开式中x2的系数为10-5=5.故答案为:5【题型二已知项的系数求参】1.(2023·四川模拟)已知是的展开式中的某一项,则实数的值为.答案:±2【解析】因为=,令,得,所以,即,解得.故答案为:±2.2.(2023·武昌模拟)展开式中的常数项为-160,则a=(
)A.-1 B.1 C.±1 D.2答案:B【解析】的展开式通项为,∴令,解得,∴的展开式的常数项为,∴∴故选:B.3.(2023·石家庄模拟)已知的展开式中常数项为,则(
)A. B.C. D.答案:A【解析】展开式中第项当时,,时,,所以的展开式中常数项为,所以,得.故选:A4.(2023·临沂二模)已知的展开式中各项系数的和为-3,则该展开式中的系数为()A.-120 B.-40 C.40 D.120答案:A【解析】在二项式中,令,可得,解得,的展开式通项为,因为,在,令,可得,在中,令,可得,因此,展开式中的系数为.故答案为:A.【题型三二项式定理的性质】1.(2023·唐山二模)展开式中二项式系数最大的项是(
)A. B. C.和 D.和答案:C【解析】展开式的通项公式为,因为展开式共有8项,所以第4项和第5项的二项式系数最大,所以展开式中二项式系数最大的项为和,即为和,故选:C2.(2023·莆田三模)(多选)已知,则下列说法中正确的有()A.的展开式中的常数项为84B.的展开式中不含的项C.的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等D.的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项答案:A,C【解析】因为展开式的通项公式,所以当,A符合题意;当时,,B不符合题意;的展开式中各项系数和为,二项式系数之和为,C符合题意;根据二项式系数的性质可知,最大,所以,的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项,D不符合题意.3.(2023·高三课时练习)已知的展开式中各项系数之和为64,则该展开式中系数最大的项为___________.答案:【解析】令,则的展开式各项系数之和为,则;由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项,设二项展开式中第项的系数最大,则,化简可得:经验证可得,则该展开式中系数最大的项为.故答案为:.4.(2023·广东高三模拟)假如的二项展开式中项的系数是,则二项展开式中系数最小的项是__________.答案:【解析】由二项式知:,而项的系数是,∴时,有且为奇数,又由,∴可得.∴,要使系数最小,为奇数,由对称性知:,∴.故答案为:.5.(2023·浙江高三模拟)若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则(
).A.9 B.10 C.11 D.12答案:B【解析】由题意,二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为,,可得,解得.故选:B.【题型四二项式系数和及系数和问题】1.(2023·岳阳模拟)(多选)已知则()A. B.C. D.答案:A,D【解析】因为,令,则,A符合题意;令,则,所以,B不符合题意;令,则,所以,,,所以,C不符合题意;对两边对取导得,再令得,D符合题意;故答案为:AD2.(2023·鹤壁模拟)设,若则非零实数a的值为()A.2 B.0 C.1 D.-1答案:A【解析】∵,对其两边求导数,∴,令,得,①又,②∴,∴,解得,故答案为:A.3.(2023·济北中学高三月考)已知,则的值为.答案:78【解析】令,可得,令,可得①令,则②所以②①可得:,所以,即。故答案为:78。4.(2023·上虞模拟)设(2﹣x)100=a0+a1x+a2x2+…a100x100,求下列各式的值.(1)a0;(2)a1+a2+a3+…+a100;(3)a1+a3+a5…+a99;(4)(a0+a2+…+a100)2﹣(a1+a3+…+a99)2;(5)|a0|+|a1|+…+|a100|.答案:(1)a0=2100(2)﹣2100(3).(4)1(5)【解析】在(2﹣x)100=a0+a1x+a2x2+…a100x100中,(1)令x=0可得a0=2100.(2)令x=1,可得2100+a1+a2+a3+…+a100=①,∴a1+a2+a3+…+a100=﹣2100.(3)令x=﹣1,可得得2100﹣a1+a2﹣a3+…+a100=②,由①②求得a1+a3+a5…+a99=.(4)由①②还可得到a0+a2+…+a100=,∴(a0+a2+…+a100)2﹣(a1+a3+…+a99)2=(a0+a1+a2+…a100)(a0﹣a1+a2+…+a100)=(2﹣)100•(2+)100=1.(5)|a0|+|a1|+…+|a100|即(2+x)100的展开式中各项系数的和,在(2+x)100的展开式中,令x=1,可得各项系数的和为.5.若的展开式中各项系数的和为256,则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为___________.答案:【解析】取,则的展开式中各项系数的和为:.故,则,的展开式:;的展开式:取得到:,取得到系数为;取得到:,取得到系数为;综上所述:该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为。故答案为:。6.(2023·全国·高三专题练习)在①只有第5项的二项式系数最大;②第4项与第6项的二项式系数相等;③奇数项的二项式系数的和为128;这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,解决下面两个问题.已知(n∈N*),___________(1)求的值:(2)求的值.【解析】(1)若选①:因为只有第5项的二项式系数最大,所以展开式中共有9项,即,得,若选②:因为第4项与第6项的二项式系数相等,所以,若选③:因为奇数项的二项式系数的和为128,所以,解得.因为,令,则有,即有,令,得,所以;综上所述:;(2)由(1)可知:无论选①,②,③都有,,两边求导得,令,则有,所以.【题型五二项式定理的应用】1.设,且,若能被13整除,则(
)A.0 B.1 C.11 D.12答案:D【解析】因为能被13整除,所以能被13整除因为,且,所以,故选:D2.设为奇数,那么除以13的余数是()A. B.2 C.10 D.11答案:C【解析】因为为奇数,则上式=.所以除以13的余数是10.故选:C.3.(2023·全国高三课时练习)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的
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