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文档简介
1.4不等式的性质及一元二次不等式【题型解读】【知识储备】1.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b,b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a+c>b+c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc注意c的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a+c>b+d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N+,n>1)a,b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N+,n>1)2.两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-b>0⇔a>b,a-b=0⇔a=b,a-b<0⇔a<b))(a,b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>b,\f(a,b)=1⇔a=b,\f(a,b)<1⇔a<b))(a∈R,b>0)3.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0).4.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=-eq\f(b,2a)没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠-\f(b,2a)))))Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅5.分式不等式与整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0);(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.【题型精讲】【题型一不等式性质的应用】必备技巧判断不等式的常用方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.(2)利用特殊值法排除错误答案.(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较.例1(2023·辽宁·东北育才学校一模)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是(
)A.< B.a2>b2C.> D.a|c|>b|c|例2(2023·浙江模拟)已知,是正实数,则下列式子中能使恒成立的是(
)A. B. C. D.【题型精练】1.(2023·北京海淀·二模)已知,且,则(
)A. B.C. D.2.(多选题)(2023·福建三明·模拟预测)设,且,则(
)A. B. C. D.【题型二比较数(式)的大小】必备技巧比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.例3(2023·江苏·高三专题复习)设x,y为正数,比较与的大小.例4(2023·湖南·高三课时练习)比较与的大小.例5(2023·全国·高三专题练习)已知,,,则,,的大小关系为(
)A. B.C. D.【题型精练】1.(2023·重庆·模拟预测)若,则(
)A. B.C. D.2.(2023·广东茂名·高三阶段练习)(多选)已知,,(其中为自然对数的底数),则,,的大小关系为(
)A. B. C. D.3.(2023·重庆市育才中学模拟预测)(多选)若a>b>0>c,则(
)A. B. C. D.【题型三不等式性质的应用】必备技巧不等式性质的应用求代数式的取值范围,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.例6(多选)(2023·山东·模拟预测)已知实数x,y满足则(
)A.的取值范围为 B.的取值范围为C.的取值范围为 D.的取值范围为例7(2023·江西·二模)已知,,则6x+5y的取值范围为______.【题型精练】1.(2023·东北三省四市联考)已知角α,β满足-eq\f(π,2)<α-β<eq\f(π,2),0<α+β<π,求3α-β的取值范围.2.(2023·全国·高三专题练习(文))已知-3<a<-2,3<b<4,则的取值范围为(
)A.(1,3)B.C.D.【题型四一元二次不等式的解法】必备技巧含参的不等式解法(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.例8(2023·河北·模拟预测)已知集合,,则(
)A. B. C. D.例9(2023·河北唐山·高三月考)已知关于x的不等式:.(1)当时,解此不等式;(2)当时,解此不等式.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(且)的图象过定点,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.2.(2023·福建省长汀县第一中学高三阶段练习)解关于的不等式:.【题型五一元二次不等式成立求参】必备技巧一元二次不等式求参(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种,一是在全集R上恒成立,二是在某给定区间上恒成立.对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方;对第二种情况,要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法).例10(2023·全国·高三专题练习)已知,“对恒成立”的一个充要条件是(
)A. B. C. D.例11(2023·宁夏·隆德县中学高三阶段练习)已知命题“,”是真命题,则实数的取值范围(
)A. B.C.)D.例12(2023·全国·高三专题练习)若对任意的恒成立,则m的取值范围是(
)A. B. C. D.例13(2023·全国·高三专题练习)已知,,不等式恒成立,则的取值范围为A.,, B.,,C.,, D.【题型精练】1.(2023·江苏南通·模拟预测)当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.3.(2023·全国·高三专题练习)不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.4.(2023·天津·耀华中学高三期中)若命题“,使得不等式”成立,则实数的取值集合是(
)A. B.C. D.【题型六一元二次方程根的分布】必备技巧一元二次方程根的分布情况表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x1<0,x2<0)两个正根即两根都大于0(x1>0,x2>0)一正根一负根即一个根小于0,一个根大于0(x1<0<x2)大致图象(a>0)得出的结论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)<0,,f0>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)>0,,f0>0))f(0)<0大致图象(a<0)得出的结论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)<0,,f0<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)>0,,f0<0))f(0)>0综合结论(不讨论a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)<0,,a·f0>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)>0,,a·f0>0))a·f(0)<0表二:(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即x1<k,x2<k两根都大于k即x1>k,x2>k一个根小于k,一个根大于k即x1<k<x2大致图象(a>0)得出的结论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)<k,,fk>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)>k,,fk>0))f(k)<0大致图象(a<0)得出的结论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)<k,,fk<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)>k,,fk<0))f(k)>0综合结论(不讨论a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)<k,,a·fk>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)>k,,a·fk>0))a·f(k)<0表三:(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m,n)内两根有且仅有一根在(m,n)内(图象有两种情况,只画了一种)一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,m<n<p<q大致图象(a>0)得出的结论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,fm>0,,fn>0,,m<-\f(b,2a)<n))f(m)·f(n)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0,,fn<0,,fp<0,,fq>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fmfn<0,,fpfq<0))大致图象(a<0)得出的结论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,fm<0,,fn<0,,m<-\f(b,2a)<n))f(m)·f(n)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0,,fn>0,,fp>0,,fq<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fmfn<0,,fpfq<0))综合结论(不讨论a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,fm·fn>0,,m<-\f(b,2a)<n))f(m)·f(n)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fmfn<0,,fpfq<0))根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间(m,n)外,即在区间两侧x1<m,x2>n,(图形分别如下)需满足的条件是(1)a>0时,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0,,fn<0;))(2)a<0时,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0,,fn>0.))对以上的根的分布表中,两根有且仅有一根在(m,n)内有以下特殊情况:(ⅰ)若f(m)=0或f(n)=0,则此时f(m)·f(n)<0不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间(m,n)内,从而可以求出参数的值.如方程mx2-(m+2)x+2=0在区间(1,3)上有一根,因为f(1)=0,所以mx2-(m+2)x+2=(x-1)(mx-2),另一根为eq\f(2,m),由1<eq\f(2,m)<3得eq\f(2,3)<m<2即为所求;(ⅱ)方程有两个相等的根,且这个根在区间(m,n)内,即Δ=0,此时由Δ=0可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数.例14(2023·全国·专题练习)已知方程有两个不相等的实数根,且两个实数根都大于2,则实数m的取值范围是(
)A. B.C. D.例15(2023·浙江·高三专题练习)若关于的方程有两个不同的正根,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.例16(2023·全国·高三专题练习)若不等式在上有解,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.【题型精练】1.(2023·江苏模拟)设a为实数,若方程在区间上有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(
).A. B.C. D.2.(2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试)关于的方程的两根都大于2,则的取值范围是(
)A. B.C. D.3.(2023·全国·单元测试)为何值时,关于的方程的两根:为正数根;为异号根且负根绝对值大于正根;都大于1;一根大于2,一根小于2;(5)两根在0,2之间.1.4不等式的性质及一元二次不等式【题型解读】【知识储备】1.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b,b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a+c>b+c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc注意c的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a+c>b+d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N+,n>1)a,b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N+,n>1)2.两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-b>0⇔a>b,a-b=0⇔a=b,a-b<0⇔a<b))(a,b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>b,\f(a,b)=1⇔a=b,\f(a,b)<1⇔a<b))(a∈R,b>0)3.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0).4.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=-eq\f(b,2a)没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠-\f(b,2a)))))Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅5.分式不等式与整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0);(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.【题型精讲】【题型一不等式性质的应用】必备技巧判断不等式的常用方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.(2)利用特殊值法排除错误答案.(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较.例1(2023·辽宁·东北育才学校一模)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是(
)A.< B.a2>b2C.> D.a|c|>b|c|答案:C【解析】当a=1,b=-2时,满足a>b,但,a2<b2,排除A,B;因>0,a>b,由不等式性质得,C正确;当c=0时,a|c|>b|c|不成立,排除D,故选:C例2(2023·浙江模拟)已知,是正实数,则下列式子中能使恒成立的是(
)A. B. C. D.答案:B【解析】对于A,取,该不等式成立,但不满足;对于C,该不等式等价于,取,,该不等式成立,但不满足;对于D,该不等式等价于,取,,该不等式成立,但不满足;下面证明B法一:不等式等价于,而.函数在上单增,故.法二:若,则,故,矛盾.故选:B【题型精练】1.(2023·北京海淀·二模)已知,且,则(
)A. B.C. D.答案:B【解析】对于A,令,显然,错误;对于B,,又不能同时成立,故,正确;对于C,取,则,错误;对于D,取,则,错误.故选:B.2.(多选题)(2023·福建三明·模拟预测)设,且,则(
)A. B. C. D.答案:BC【解析】因为,,所以,的符号不能确定,当时,,故A错误,因为,,所以,故B正确,因为,所以,故C正确,因为,所以,所以,所以,故D错误,故选:BC【题型二比较数(式)的大小】必备技巧比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.例3(2023·江苏·高三专题复习)设x,y为正数,比较与的大小.【解】因为为整数,则且,由,当且仅当时,等号成立,所以,所以.例4(2023·湖南·高三课时练习)比较与的大小.【解析】,<.例5(2023·全国·高三专题练习)已知,,,则,,的大小关系为(
)A. B.C. D.答案:C【解析】∵,构造函数,,令,则,∴在上单减,∴,故,所以在上单减,∴,同理可得,故,故选:C.【题型精练】1.(2023·重庆·模拟预测)若,则(
)A. B.C. D.答案:A【解析】∵,,∴又,∴∴,又∴综上:故选:A2.(2023·广东茂名·高三阶段练习)(多选)已知,,(其中为自然对数的底数),则,,的大小关系为(
)A. B. C. D.答案:AD【解析】令,,则,所以当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,所以,,又,所以,所以;故选:AD3.(2023·重庆市育才中学模拟预测)(多选)若a>b>0>c,则(
)A. B. C. D.答案:ABD【解析】A:,∵,,,,故A正确;B:,∵,∴,,故B正确;C:时,在单调递减,∵,故C错误;D:∵a>b>0>c,∴-c>0,∴,∵a≠b,故等号取不到,故,故D正确.故选:ABD.【题型三不等式性质的应用】必备技巧不等式性质的应用求代数式的取值范围,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.例6(多选)(2023·山东·模拟预测)已知实数x,y满足则(
)A.的取值范围为 B.的取值范围为C.的取值范围为 D.的取值范围为答案:ABD【解析】因为,所以.因为,所以,则,故A正确;因为,所以.因为,所以,所以,所以,故B正确;因为,所以,则,故C错误;因为,所以,则,故D正确.故选:ABD.例7(2023·江西·二模)已知,,则6x+5y的取值范围为______.答案:【解析】,即故6x+5y的取值范围为.故答案为:【题型精练】1.(2023·东北三省四市联考)已知角α,β满足-eq\f(π,2)<α-β<eq\f(π,2),0<α+β<π,求3α-β的取值范围.【解析】结合题意可知,3α-β=2(α-β)+(α+β),且2(α-β)∈(-π,π),(α+β)∈(0,π),由不等式的性质可知3α-β的取值范围是(-π,2π)2.(2023·全国·高三专题练习(文))已知-3<a<-2,3<b<4,则的取值范围为(
)A.(1,3)B.C.D.答案:A【解析】因为-3<a<-2,所以a2∈(4,9),而3<b<4,故的取值范围为(1,3),故选:A.【题型四一元二次不等式的解法】必备技巧含参的不等式解法(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.例8(2023·河北·模拟预测)已知集合,,则(
)A. B. C. D.答案:B【解析】解不等式,,解不等式得,,;故选:B.例9(2023·河北唐山·高三月考)已知关于x的不等式:.(1)当时,解此不等式;(2)当时,解此不等式.答案:(1)或(2)当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为【解析】(1)当a=-2时,不等式-2x2+5x+3<0整理得(2x+1)(x-3)>0,解得x<-或x>3,当a=-2时,原不等式解集为{x|x<-或x>3}.(2)当a>0时,不等式ax2-(3a+1)x+3<0整理得:(x-3)(x-)<0,
当a=时,=3,此时不等式无解;
当0<a<时,>3,解得3<x<;
当a>时,<3,解得<x<3;
综上:当a=时,解集为;当0<a<时,解集为{x|3<x<};当a>时,解集为{x|<x<3}.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(且)的图象过定点,则不等式的解集为(
)A. B. C. D.答案:D【解析】当时,,故,所以不等式为,解得,所以不等式的解集为.故选:D2.(2023·福建省长汀县第一中学高三阶段练习)解关于的不等式:.【解析】当a+1=0即a=-1时,原不等式变为-x+2<0,即x>2.当a>-1时,原不等式可转化为,∴方程的根为.若-1<a<,则>2,解得2<x<;若a=,则=2,解得x∈∅;若a>,则<2,
解得<x<2.综上,当a>时,原不等式的解集为{x|<x<2};当a=时,原不等式的解集为∅;当-1<a<时,原不等式的解集为{x|2<x<}.当a=-1时,原不等式的解集为{x|x>2}.【题型五一元二次不等式成立求参】必备技巧一元二次不等式求参(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种,一是在全集R上恒成立,二是在某给定区间上恒成立.对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方;对第二种情况,要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法).例10(2023·全国·高三专题练习)已知,“对恒成立”的一个充要条件是(
)A. B. C. D.答案:B【解析】当时,,对恒成立;当时,若,对恒成立,则必须有,解之得,综上,的取值范围为.故“对恒成立”的一个充要条件是,故选:B例11(2023·宁夏·隆德县中学高三阶段练习)已知命题“,”是真命题,则实数的取值范围(
)A. B.C.)D.答案:D【解析】由题意,命题“,”是真命题故,解得或.则实数的取值范围是故选:D.例12(2023·全国·高三专题练习)若对任意的恒成立,则m的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:A【解析】因为对任意的恒成立,所以对任意的恒成立,因为当,,所以,,即m的取值范围是故选:A例13(2023·全国·高三专题练习)已知,,不等式恒成立,则的取值范围为A.,, B.,,C.,, D.答案:C【解析】令,则不等式恒成立转化为在上恒成立.有,即,整理得:,解得:或.的取值范围为.故选:C.【题型精练】1.(2023·江苏南通·模拟预测)当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.答案:A【解析】由题意,当时,不等式恒成立,故解得,故实数的取值范围是故选:A2.(2023·全国·高三专题练习)不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:A【解析】令,对一切均大于0恒成立,所以,或,或,解得或,,或,综上,实数的取值范围是,或.故选:A.3.(2023·全国·高三专题练习)不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.答案:A【解析】令,对一切均大于0恒成立,所以,或,或,解得或,,或,综上,实数的取值范围是,或.故选:A.4.(2023·天津·耀华中学高三期中)若命题“,使得不等式”成立,则实数的取值集合是(
)A. B.C. D.答案:B【解析】命题“,使得不等式”成立,当时,不等式为,显然有解,成立;当时,开口向下,必然,使得不等式成立,;当,即,解得或,所以或.综上可得或.故选:.【题型六一元二次方程根的分布】必备技巧一元二次方程根的分布情况表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x1<0,x2<0)两个正根即两根都大于0(x1>0,x2>0)一正根一负根即一个根小于0,一个根大于0(x1<0<x2)大致图象(a>0)得出的结论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)<0,,f0>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)>0,,f0>0))f(0)<0大致图象(a<0)得出的结论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)<0,,f0<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)>0,,f0<0))f(0)>0综合结论(不讨论a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)<0,,a·f0>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)>0,,a·f0>0))a·f(0)<0表二:(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即x1<k,x2<k两根都大于k即x1>k,x2>k一个根小于k,一个根大于k即x1<k<x2大致图象(a>0)得出的结论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)<k,,fk>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)>k,,fk>0))f(k)<0大致图象(a<0)得出的结论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)<k,,fk<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)>k,,fk<0))f(k)>0综合结论(不讨论a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)<k,,a·fk>0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,-\f(b,2a)>k,,a·fk>0))a·f(k)<0表三:(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m,n)内两根有且仅有一根在(m,n)内(图象有两种情况,只画了一种)一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,m<n<p<q大致图象(a>0)得出的结论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,fm>0,,fn>0,,m<-\f(b,2a)<n))f(m)·f(n)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0,,fn<0,,fp<0,,fq>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fmfn<0,,fpfq<0))大致图象(a<0)得出的结论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,fm<0,,fn<0,,m<-\f(b,2a)<n))f(m)·f(n)<0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0,,fn>0,,fp>0,,fq<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\a
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