高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.8函数零点的6大题型(精讲)(原卷版+解析)

2.8函数零点的6大题型【题型解读】【知识储备】1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．【题型精讲】【题型一求函数的零点】必备技巧探究函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．例1(2023·历城二中高三月考)求函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零点；例2(2023·全国高三专题练习）已知函数则函数的所有零点之和为___________.【题型精练】1.(2023·上海高三期末）已知函数，则该函数的零点是_________.2.(2023·北京高三专题练习）函数的零点是_______.【题型二求函数零点所在的区间】必备技巧确定函数f(x)零点所在区间的常用方法利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．例3(2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末）函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．例4(2023·北京清华附中高三月考）函数的零点一定位于区间（）A． B． C． D．【题型精练】1.(2023·新疆高三三模）函数的零点所在的区间为（）．A． B． C． D．2.(2023·全国高三专题练习）函数，则函数的零点所在区间是（）A． B． C． D．【题型三求函数零点的个数】必备技巧判断函数零点个数的常用方法(1)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(2)转化成两个函数图象的交点个数问题．例5(2023·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7例6(2023·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【题型精练】1．(2023·福建省永泰县第一中学月考）已知，则函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42.(2023·江西高三模考）已知函数，则在上的零点个数为（）A．6 B．7C．8 D．93.(2023·重庆九龙坡·高三期末）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.【题型四复合函数的零点】方法技巧复合函数的零点确定复合函数零点的个数或方程解的个数问题：关于复合函数y＝f(g(x))的零点的个数或方程解的个数问题，先换元解套，令t＝g(x)，则y＝f(t)，再作出y＝f(t)与t＝g(x)的图像．由y＝f(t)的图象观察有几个t的值满足条件，结合t的值观察t＝g(x)的图象，求出每一个t被几个x对应，将x的个数汇总后即为y＝f(g(x))的根的个数，即“从外到内”．此法称为双图象法(换元法＋数形结合)．例7(2023·全国高三专题练习）已知函数，则方程的根的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6例8(2023·山东济南高三二模）已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－1|－1，0<x≤2，,eq\f(1,2)f(x－2)，x>2，))则关于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的实数根个数为()A．B．C．D．【题型精练】1.(2023·山东青岛高三二模）已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为________．2．(2023·浙江省高三二模）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，x≤0，,log2x，x＞0，))，则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数判断正确的是()A．当a>0时，有4个零点；当a<0时，有1个零点B．当a>0时，有3个零点；当a<0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点【题型五已知函数零点求参】例9(2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例10(2023·河南高三月考）已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．例11(2023·北京高三期末）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0，))若关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，则实数a的值为()A．－2B．1C．2D．3【题型精练】1.（多选）(2023·江苏省太湖高级中学高三阶段练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．32.(2023·全国高三模拟）已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是___________.3.已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0.))若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．【题型六函数零点间的运算】例12(2023·贵州贵阳市高三期末）函数在区间上所有零点的和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8例13(2023·安徽蚌埠·高三期末）已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（

）A．0 B．2 C．－1 D．－2【题型精练】1.(2023·福建高三二模）已知函数则函数的所有零点之和为___________.2.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log3x|，0<x≤3，,\f(1,3)x2－\f(10,3)x＋8，x>3，))若方程f(x)＝m(m∈R)有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，且满足x1<x2<x3<x4，则eq\f(x3－3x4－3,x1x2)的取值范围是()A．(0，4]B．(0，3)C．(3，4]D．(1，3)2.8函数零点的6大题型【题型解读】【知识储备】1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．【题型精讲】【题型一求函数的零点】必备技巧探究函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．例1(2023·历城二中高三月考)求函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零点；【解析】当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍)；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.所以函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零点为－3和e2.例2(2023·全国高三专题练习）已知函数则函数的所有零点之和为___________.答案：【解析】x≤0时，，，由，可得或，或；时，，，由，可得或，或；函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为故答案为：．【题型精练】1.(2023·上海高三期末）已知函数，则该函数的零点是_________.答案：【解析】函数的零点即为相应方程的根，所以要求函数的零点，即x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，又，所以舍去，＝0，又，可得x，所以函数的零点为．故答案为：．2.(2023·北京高三专题练习）函数的零点是_______.答案：【解析】解：，即，，因为，所以，对两边取以3为底的对数得，，故答案为：【题型二求函数零点所在的区间】必备技巧确定函数f(x)零点所在区间的常用方法利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．例3(2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末）函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】,由对数函数和幂函数的性质可知，函数在时为单调增函数，，，，，因为在内是递增，故，函数是连续函数，由零点判断定理知，的零点在区间内，故选：B．例4(2023·北京清华附中高三月考）函数的零点一定位于区间（）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意得为连续函数，且在单调递增，，，，根据零点存在性定理，，所以零点一定位于区间.故选：C【题型精练】1.(2023·新疆高三三模）函数的零点所在的区间为（）．A． B． C． D．答案：D【解析】函数为上的增函数，由，，可得函数的零点所在的区间为．故选：D.2.(2023·全国高三专题练习）函数，则函数的零点所在区间是（）A． B． C． D．答案：C【解析】因为函数的图象在上连续，且函数在上单调递增，因为，，所以，，，因此，函数的零点所在的区间为.故选：C.【题型三求函数零点的个数】必备技巧判断函数零点个数的常用方法(1)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(2)转化成两个函数图象的交点个数问题．例5(2023·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7答案：D【解析】当时，，则；以此类推，当时，；…；在平面直角坐标系中作出函数与的部分图象如图所示.由图可知，与的图象有7个不同的交点故选：D例6(2023·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：D【解析】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，由题设知，在上的图象如下图示，∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，∴在y轴左侧也有3个交点，故一共有6个交点.故选：D.【题型精练】1．(2023·福建省永泰县第一中学月考）已知，则函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】函数的零点，即方程的解，即，即与的交点的横坐标，因为，在同一平面直角坐标系画出函数图象如下所示：由函数图象可知与有两个交点，故函数又2个零点故选：B2.(2023·江西高三模考）已知函数，则在上的零点个数为（）A．6 B．7C．8 D．9答案：B【解析】由题意，当时，作出函数与的图像.由图可知，函数与在和内各有一个交点，所以在上有2个零点.由当时，，由函数周期性的性质可得当时，上有2个零点,当时，上有2个零点,当时，上有1个零点,所以在上有7零点个数故选：B．3.(2023·重庆九龙坡·高三期末）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为__________.答案：10【解析】因为，所以，所以函数是以2为周期的周期函数，令，则，在同一平面直角坐标系中作出函数的图像，如图所示，由图可知函数有10个交点，所以函数在区间内的零点有10个.故答案为：10.【题型四复合函数的零点】方法技巧复合函数的零点确定复合函数零点的个数或方程解的个数问题：关于复合函数y＝f(g(x))的零点的个数或方程解的个数问题，先换元解套，令t＝g(x)，则y＝f(t)，再作出y＝f(t)与t＝g(x)的图像．由y＝f(t)的图象观察有几个t的值满足条件，结合t的值观察t＝g(x)的图象，求出每一个t被几个x对应，将x的个数汇总后即为y＝f(g(x))的根的个数，即“从外到内”．此法称为双图象法(换元法＋数形结合)．例7(2023·全国高三专题练习）已知函数，则方程的根的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：D【解析】令，则方程化为，解得或，作出函数的图象，由图可知，方程的根的个数为6．故选：D.例8(2023·山东济南高三二模）已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－1|－1，0<x≤2，,eq\f(1,2)f(x－2)，x>2，))则关于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的实数根个数为()A．B．C．D．答案：B【解析】已知方程6f2(x)－f(x)－1＝0可解，得f1(x)＝eq\f(1,2)，f2(x)＝－eq\f(1,3)，只需统计y＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,3)与y＝f(x)的交点个数即可．由奇函数可先做出x>0的图像，x>2时，f(x)＝eq\f(1,2)f(x－2)，则x∈(2，4]的图像只需将x∈(0，2]的图像纵坐标缩为一半即可．正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像．通过数形结合可得共有7个交点．在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间．【题型精练】1.(2023·山东青岛高三二模）已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为________．答案：5【解析】令y＝2f2(x)－3f(x)＝0，则f(x)＝0或f(x)＝eq\f(3,2)．函数f(x)＝的图象如图所示：由图可得，f(x)＝0有2个根，f(x)＝eq\f(3,2)有3个根，故函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为5．2．(2023·浙江省高三二模）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，x≤0，,log2x，x＞0，))，则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数判断正确的是()A．当a>0时，有4个零点；当a<0时，有1个零点B．当a>0时，有3个零点；当a<0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点答案：A【解析】所求函数的零点，即方程f(f(x))＝－1的解的个数，令t＝f(x)，先作出y＝f(t)的图像，直线y＝ax＋1为过定点(0，1)的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论．当a>0时，如图1所示，先拆外层可得t1＝－eq\f(2,a)＜0，t2＝eq\f(1,2)，如图2所示，而t1有两个对应的x，t2也有两个对应的，共计4个；当a<0时，如图3所示，先拆外层可得t＝eq\f(1,2)，如图4所示，t＝eq\f(1,2)只有一个满足的x，所以共1个零点．结合选项，可判断出A正确．【题型五已知函数零点求参】例9(2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】∵和在上是增函数，∴在上是增函数，∴只需即可，即，解得.故选：D.例10(2023·河南高三月考）已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．答案：D【解析】画出的函数图象，设，该直线恒过点，结合函数图象，可知若方程有四个不同的实数根，则且直线与曲线，，有两个不同的公共点，所以在内有两个不等实根，令，实数满足，解得，又，所以实数的取值范围是.故选：D.例11(2023·北京高三期末）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0，))若关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，则实数a的值为()A．－2B．1C．2D．3答案：C【解析】作出函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0))的图象(图略)，令f(x)＝t，关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0等价于t2－at＋1＝0，因为t1·t2＝1，所以t1，t2同号，只有t1，t2同正时，方程才有根，假设t1＜t2，则0＜t1＜1，t2＞1，此时关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有5个不同的根，只有t1＝t2＝1，关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，此时a＝2，故选C．【题型精练】1.（多选）(2023·江苏省太湖高级中学高三阶段练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：BC【解析】因为函数在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，由函数的一个零点在区间内，得，解得,故选：BC2.(2023·全国高三模拟）已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是___________.答案：【解析】方程.画出与的函数图象如图所示：因为直线过，联立得，由，得.又过与两点的直线的斜率，由图知：当直线过点时，为函数与有两个交点的临界点，此时，由图可知，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围为.故答案为：3.已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0.))若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))【解析】令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a＜eq\f(5,4)时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))．【题型六函数零点间的运算】例12(2023·贵州贵阳市高三期末）函数在区间上所有零点的和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8答案：D【解析】，令，则，则函数的零点就是和交点的横坐标，可得和的函数图象都关于对称，则交点也关于对称，画出两个函数的图象，观察图象可知，和在有8个交点，即有8个零点，且关于对称，故所有零点的和为.故选：D.例13(2023·安徽蚌埠·高