高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.5平面向量中的最值、范围问题(精练)(原卷版+解析)

5.5平面向量中的最值、范围问题【题型解读】【题型一平面向量数量积的最值范围问题】1.(2023·河南高三月考）已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为___________．2.(2023·陕西·交大附中模拟预测）如图，已知两个模都为10的向量，它们的夹角为，点C在以O为圆心，10为半径的上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．3.(2023·山东·山师附中模拟预测）在平面内，若有，，则的最大值为________．4.(2023·云南玉溪·高三月考）等边的面积为，且的内心为M，若平面内的点N满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．5.(2023·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．6.(2023·四川凉山·三模）已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【题型二平面向量模的最值范围问题】1.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知为单位向量，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．2.(2023·福建泉州·模拟预测）已知平面向量，，满足，且，则最小值为（

）A． B． C． D．3.(2023·全国·高三课时练习）如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（

）A． B．6 C． D．44.(2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知平面向量满足，，，则的最小值为___________.5.(2023·吉林长春·模拟预测）已知在中，，，点是边上的动点，则当取得最小值时，（

）A． B． C． D．【题型三平面向量夹角的最值范围问题】1.(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值．当时，夹角的取值范围为A． B．， C．， D．2.(2023·河北武强中学高三月考）设两向量、满足，，、的夹角为，若向量与向量的夹角为，，求实数的取值范围．【题型四平面向量中系数的最值范围问题】1.(2023·全国·高三专题练习）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（

）A． B． C． D．2.(2023·海南海口·二模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．13.(2023•南通期末）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A． B． C． D．4.(2023•济南期末）在直角中，为直角，，M是内一点，且，若，则的最大值为_________．5.5平面向量中的最值、范围问题【题型解读】【题型一平面向量数量积的最值范围问题】1.(2023·河南高三月考）已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为___________．答案：【解析】如图，，，且，，．由题意可得，，，，，则，（当且仅当时等号成立），的最小值为．故答案为：．2.(2023·陕西·交大附中模拟预测）如图，已知两个模都为10的向量，它们的夹角为，点C在以O为圆心，10为半径的上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】要使最小，即最大而为定值，为定值10只要与同向即可使最大的最小值为.故选：A3.(2023·山东·山师附中模拟预测）在平面内，若有，，则的最大值为________．答案：【解析】根据条件，；；，如图，作，则，连接，取的中点，连接，则；由得，；；作，连接，，则；；点在以为直径的圆上；当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，即最大；又,又,且,所以,所以在上的最大投影为，所以,故答案为：4.(2023·云南玉溪·高三月考）等边的面积为，且的内心为M，若平面内的点N满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】设等边的边长为，则面积，解得以为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.由为的内心，则M在上，且则，由，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上.设，则，即，且，故选:A5.(2023·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．答案：【解析】如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF．设，，，在中，由勾股定理得，则，BN，MN中点分别为E，F，则EF为的中位线，∴且，∴，在中，由勾股定理得，∴，在等边中，F为MN中点，则，，，在中，由余弦定理得，当N与C重合时，，，不存在，但可验证上述等式依然成立，当且仅当时等号成立．∵关于b的函数在上单调递增，∴，当且仅当时等号成立．∴，当且仅当，时等号成立.故答案为：．6.(2023·四川凉山·三模）已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，所以正六边形的内切圆的半径为，外接圆的半径为，又由，因为，即，可得，所以的取值范围是.故选：B.【题型二平面向量模的最值范围问题】1.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知为单位向量，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】设，则，所以为等边三角形，以为原点建立如图所示直角坐标系，则，设，，则，所以在以为圆心，1为半径的圆上，因为，所以.故选：A.2.(2023·福建泉州·模拟预测）已知平面向量，，满足，且，则最小值为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，所以，又，所以，如图所示：不妨设，则，所以，因为，所以，即，表示点C在以为圆心，以2为半径的圆上，所以最小值为，故选：D3.(2023·全国·高三课时练习）如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（

）A． B．6 C． D．4答案：B【解析】解：如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，因为，，所以，所以，，所以，所以，所以当，即时，的最小值为.故选：B4.(2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知平面向量满足，，，则的最小值为___________.答案：【解析】，，，解得：，即，即，不妨令，，设，则，，，则的几何意义为：直线上的点到和的距离之和，即；作出点关于直线的对称点，，（当且仅当三点共线时取等号），设，则，解得：，，即的最小值为.故答案为：.5.(2023·吉林长春·模拟预测）已知在中，，，点是边上的动点，则当取得最小值时，（

）A． B． C． D．答案：A【解析】在中，，，.，则当时，取得最小值，此时，.故选：.【题型三平面向量夹角的最值范围问题】1.(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值．当时，夹角的取值范围为A． B．， C．， D．【解析】解：由题意可得，，，由二次函数知，当上式取最小值时，，由题意可得，求得，，故选：．2.(2023·河北武强中学高三月考）设两向量、满足，，、的夹角为，若向量与向量的夹角为，，求实数的取值范围．【解析】解：两向量、满足，，、的夹角为，不妨设，，则，，．向量与向量的夹角为，，向量，化为，解得或．实数的取值范围是或．【题型四平面向量中系数的最值范围问题】1.(2023·全国·高三专题练习）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），设P的坐标为，所以，，，又，所以，所以，，所以，当且仅当时，等号成立．故选：B．2.(2023·海南海口·二模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．1答案：A【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，∵BC//EF，∴设，则∴，∴∴故选：A.3.(2023•南通期末）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A． B．