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文档简介
7.7空间几何体中求夹角【题型解读】【知识必备】1.异面直线所成的角若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cosθ=|cos〈u,v〉|=eq\f(|u·v|,|u||v|).2.直线与平面所成的角如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos〈u,n〉|=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))=eq\f(|u·n|,|u||n|).3.平面与平面的夹角如图,平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cosθ=|cos〈n1,n2〉|=eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).【题型精讲】【题型一异面直线所成的角】技巧方法用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系;(2)用坐标表示两异面直线的方向向量;(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.例1(2023·陕西安康·高三期末)在三棱锥P—ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC,M、N分别为AC、AB的中点,则异面直线PN和BM所成角的余弦值为(
)A. B. C. D.例2(2023·江苏南通市高三模拟)如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形,并且,,底面,已知,四边形的面积为.(1)证明:直线平面;(2)点为棱的中点,当直线与平面所成的角为时,求直线与所成角的余弦值.【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟)已知直三棱柱的所有棱长都相等,为的中点,则与所成角的正弦值为(
)A. B. C. D.2.(2023·海原县高三模拟)底面为正三角形的直棱柱中,,,,分别为,的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为()A. B. C. D.3.(2023·山西·太原五中高一阶段练习)如图,在直角梯形中,,.已知.将沿直线翻折成,连接.当三棱锥的体积取得最大值时,异面直线与所成角的余弦值为___________;若此时三棱锥外接球的体积为,则a的值为___________.【题型二直线与平面所成的角】技巧方法利用空间向量求线面角的解题步骤例3(2023·全国高三模拟)如图,四棱锥的底面是梯形,,,E为线段中点.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.例4(2023·河北衡水中学高三模拟)已知四棱锥的底面是菱形,对角线、交于点,,,底面,设点满足.(1)若三棱锥体积是,求的值;(2)若直线与平面所成角的正弦值是,求的值.【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,M,N分别为的中点,.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.2.(2023·全国高三模拟)如图所示,在三棱柱中,,点在平面的射影为线段的中点,侧面是菱形,过点,,的平面与棱交于点.(1)证明四边形为矩形;(2)若与平面所成角的正切值为,求与平面所成角的正弦值.【题型三平面与平面的夹角】技巧方法利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤例5(2023·江西高三模拟)如图,是边长为的等边三角形,E,F分别是的中点,G是的重心,将沿折起,使点A到达点P的位置,点P在平面的射影为点G.(1)证明:;(2)求平面与平面夹角的余弦值.例6(2023·重庆八中高三阶段练习)已知正方体,点为中点,直线交平面于点.(1)证明:点为的中点;(2)若点为棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)如图,在直三棱柱中,为的中点.(1)证明:平面.(2)若,求二面角的余弦值.2.(2023·全国·高三专题练习)如图,在三棱台中,侧棱平面点在棱上,且(1)证明:平面;(2)当二面角的余弦值为,求的值.【题型四空间角的综合运用】例7(2023·山东·模拟预测)(多选)已知正方体的边长为2,M为的中点,P为侧面上的动点,且满足平面,则下列结论正确的是(
)A. B.平面C.与所成角的余弦值为 D.动点P的轨迹长为例8(2023·福建·三明一中模拟预测)如图,正方体的棱长为a,E是棱的动点,则下列说法正确的(
)个.①若E为的中点,则直线平面②三棱锥的体积为定值③E为的中点时,直线与平面所成的角正切值为④过点,C,E的截面的面积的范围是A.1 B.2 C.3 D.4【题型精练】1.(2023·广东佛山市高三模拟)(多选)已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形,点M在棱PD上,且,点Q在底面及其边界上运动,且面,则下列说法正确的是(
)A.点Q的轨迹为线段B.与CD所成角的范围为C.的最小值为D.二面角的正切值为2.(2023·云南昆明市高三模拟)如图,在正方体中,为棱上的动点,为棱的中点,则下列选项正确的是(
)A.直线与直线相交B.当为棱上的中点时,则点在平面的射影是点C.存在点,使得直线与直线所成角为D.三棱锥的体积为定值7.7空间几何体中求夹角【题型解读】【知识必备】1.异面直线所成的角若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cosθ=|cos〈u,v〉|=eq\f(|u·v|,|u||v|).2.直线与平面所成的角如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos〈u,n〉|=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))=eq\f(|u·n|,|u||n|).3.平面与平面的夹角如图,平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cosθ=|cos〈n1,n2〉|=eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).【题型精讲】【题型一异面直线所成的角】技巧方法用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系;(2)用坐标表示两异面直线的方向向量;(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.例1(2023·陕西安康·高三期末)在三棱锥P—ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC,M、N分别为AC、AB的中点,则异面直线PN和BM所成角的余弦值为(
)A. B. C. D.答案:B【解析】以点P为坐标原点,以,,方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,令,则,,,,则,,设异面直线PN和BM所成角为,则.故选:B.例2(2023·江苏南通市高三模拟)如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形,并且,,底面,已知,四边形的面积为.(1)证明:直线平面;(2)点为棱的中点,当直线与平面所成的角为时,求直线与所成角的余弦值.答案:(1)证明见解析;(2).【解析】(1)因为四边形的面积为,所以,解得,如图,过点作于点,则,,因为,所以,因为底面,底面,所以,因为,所以直线平面.(2)因为底面,所以为在平面内的投影,故即为直线与平面所成的角,,因为,所以,因为,所以,如图,作空间直角坐标系,则,,,,,,则,故直线与所成角的余弦值为.【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟)已知直三棱柱的所有棱长都相等,为的中点,则与所成角的正弦值为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】取线段的中点,则,设直三棱柱的棱长为,以点为原点,、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、,所以,,,.所以,.故选:C.2.(2023·海原县高三模拟)底面为正三角形的直棱柱中,,,,分别为,的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为()A. B. C. D.答案:C【解析】如图,,,∴,故选:C3.(2023·山西·太原五中高一阶段练习)如图,在直角梯形中,,.已知.将沿直线翻折成,连接.当三棱锥的体积取得最大值时,异面直线与所成角的余弦值为___________;若此时三棱锥外接球的体积为,则a的值为___________.答案:;.【解析】在直角梯形中,∵,,,∴,,可得,即,当平面平面时,三棱锥的体积取得最大值,取中点E,中点F,连接,,则,∵平面平面,且平面平面,∴平面,∵,,∴,以E为坐标原点,分别以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则,,,∴,,设异面直线与所成角为,则,即异面直线与所成角的余弦值为;显然,又,所以点是三棱锥外接球的球心,且球半径.由,解得.故答案为:①;②.【题型二直线与平面所成的角】技巧方法利用空间向量求线面角的解题步骤例3(2023·全国高三模拟)如图,四棱锥的底面是梯形,,,E为线段中点.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.答案:(1)证明见解析;(2).【解析】(1)取中点F,连接交于点O,连接,由,且梯形,有且,故平行四边形,又,故为菱形,所以为的中点,故.又因为,故,因为,面,故面,又面,故.(2)在中,,故,因为,故,由,即,即,故面,以为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,故,故,设面的法向量为,则,令,故,所以,故与平面所成角的正弦值为.例4(2023·河北衡水中学高三模拟)已知四棱锥的底面是菱形,对角线、交于点,,,底面,设点满足.(1)若三棱锥体积是,求的值;(2)若直线与平面所成角的正弦值是,求的值.答案:(1);(2).【解析】(1)因为四边形是菱形,所以,因为底面,所以、,所以、、两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,设,,,因为,所以,于是,所以,过作于,过作于,所以,解得.(2)由(1)知,,,设平面的一个法向量为,,令,,设直线与平面所成的角为,所以,解得或(舍去).【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,M,N分别为的中点,.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.答案:(1)证明见解析;(2).【解析】(1)在中,,,,由余弦定理可得,所以,.由题意且,平面,而平面,所以,又,所以.(2)由,,而与相交,所以平面,因为,所以,取中点,连接,则两两垂直,以点为坐标原点,如图所示,建立空间直角坐标系,则,又为中点,所以.由(1)得平面,所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为.2.(2023·全国高三模拟)如图所示,在三棱柱中,,点在平面的射影为线段的中点,侧面是菱形,过点,,的平面与棱交于点.(1)证明四边形为矩形;(2)若与平面所成角的正切值为,求与平面所成角的正弦值.答案:(1)证明见解析;(2).【解析】(1)证明:取中点为,连接,,在三棱柱中,侧面为平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面.因为平面,且平面平面,所以.因为在三棱柱中,平面平面,平面平面,平面平面,所以,所以四边形为平行四边形.在中,因为,是的中点,所以.由题可知平面,所以,,因为,所以平面,所以,故四边形为矩形;(2)由(1)知,,两两垂直,以,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,又题可知,在中,,所以,所以,,,,则,.因为,所以.设平面的法向量为,则即,所以令,所以.设与平面所成角为,则,故与平面所成角的正弦值为.【题型三平面与平面的夹角】技巧方法利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤例5(2023·江西高三模拟)如图,是边长为的等边三角形,E,F分别是的中点,G是的重心,将沿折起,使点A到达点P的位置,点P在平面的射影为点G.(1)证明:;(2)求平面与平面夹角的余弦值.答案:(1)证明见解析;(2)【解析】(1)连接,因是等边三角形,是的中点,是的重心,所以在上,,又点在平面的射影为点,即平面,平面,所以,又,所以平面,又平面,所以.(2)过点作,连接,与,分别交于点,点.因为分别是,的中点,所以,所以,是平面与平面的交线.由是等边三角形,是的重心,知点,点分别是线段,的中点.平面,平面,所以,又,平面,,则平面,所以平面,又平面,于是,,为平面与平面所成二面角的平面角.由等边三角形的边长为,可得,,,,,在中,由余弦定理,得,所以平面与平面夹角的余弦值为.例6(2023·重庆八中高三阶段练习)已知正方体,点为中点,直线交平面于点.(1)证明:点为的中点;(2)若点为棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值.答案:(1)证明见解析;(2).【解析】(1)如图所示,取的中点,连结,由于为正方体,为中点,故,从而四点共面,即平面CDE即平面,据此可得:直线交平面于点,当直线与平面相交时只有唯一的交点,故点与点重合,即点为中点.(2)以点为坐标原点,方向分别为轴,轴,轴正方形,建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2,设,则:,从而:,设平面的法向量为:,则:,令可得:,设平面的法向量为:,则:,令可得:,从而:,则:,整理可得:,故(舍去).【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)如图,在直三棱柱中,为的中点.(1)证明:平面.(2)若,求二面角的余弦值.答案:(1)证明见解析;(2);【解析】(1)∵为的中点,∴,∵直三棱柱中,面面,面,面面,∴面,又面,即,由题设易知:,故,又,∴,则,又,∴平面.(2)过D作,由(1)可构建以为原点,、、为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系,如下图示:∴由题意:,,,,∴,,,显然,是面的一个法向量,若是面的一个法向量,则,令,则,∴,由图知:钝二面角的余弦值为.2.(2023·全国·高三专题练习)如图,在三棱台中,侧棱平面点在棱上,且(1)证明:平面;(2)当二面角的余弦值为,求的值.答案:(1)证明见解析;(2).【解析】(1)因为,所以,又因为平面,平面,所以,又,所以平面,所以,又因为,,所以,所以,又,所以平面;(2)以为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系,如下图所示:因为,所以,因为,所以,设平面一个法向量为,设平面一个法向量为,且,因为,所以,令,所以,又因为,所以,令,所以,所以,又因为二面角的余弦值为,所以,所以解得(舍去),综上可知:.【题型四空间角的综合运用】例7(2023·山东·模拟预测)(多选)已知正方体的边长为2,M为的中点,P为侧面上的动点,且满足平面,则下列结论正确的是(
)A. B.平面C.与所成角的余弦值为 D.动点P的轨迹长为答案:BCD【解析】如图建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则,所以,由平面,得,即,化简可得:,所以动点P在直线上,对于选项A:,所以与不垂直,所以A选项错误;对于选项B:平面平面,所以平面,B选项正确;对于选项C:,C选项正确;对于选项D:动点P在直线上,且P为侧面上的动点,则P在线段上,,所以,D选项正确;故选:BCD.例8(2023·福建·三明一中模拟预测)如图,正方体的棱长为a,E是棱的动点,则下列说法正确的(
)个.①若E为的中点,则直线平面②三棱锥的体积为定值③E为的中点时,直线与平面所成的角正切值为④过点,C,E的截面的面积的范围是A.1 B.2 C.3 D.4答案:B【解析】如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),,.所以,.对于①:当E为的中点时,.设平面的一个法向量为,则,不妨令x=1,则,所以平面A1BD的一个法向量为.又因为,所以与不垂直,所以直线平面不成立.故①错误;对于②:三棱锥的体积等于三棱锥的体积.又,高为a,所以.故②错误;对于③:当E为的中点时,.平面的一个法向量为,而.设直线B1E与平面所成的角为,所以.所以,所以,即直线与平面所成的角正切值为.故③正确;对于④:设.因为,,所以在上得到投影为.所以点E到直线的距离为.当z=0,即D、E重合时,截面为矩形,其面积为.当时,截面为等腰梯形.设截面交于F.所以,高,所以其面积为.记,所以,所以在上单调递减函数,所以,即.因为,所以当z=a,即D1、E重合时,截面为边长为的正三角形,其面积为.综上所述:.故④正确.故选:B
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