高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.7空间几何体中求夹角(精讲)(原卷版+解析)

7.7空间几何体中求夹角【题型解读】【知识必备】1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).【题型精讲】【题型一异面直线所成的角】技巧方法用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．例1(2023·陕西安康·高三期末）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．例2(2023·江苏南通市高三模拟）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，并且，，底面，已知，四边形的面积为.（1）证明：直线平面；（2）点为棱的中点，当直线与平面所成的角为时，求直线与所成角的余弦值.【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．2.(2023·海原县高三模拟）底面为正三角形的直棱柱中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．3.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在直角梯形中，，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为___________.【题型二直线与平面所成的角】技巧方法利用空间向量求线面角的解题步骤例3(2023·全国高三模拟）如图，四棱锥的底面是梯形，，，E为线段中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．例4(2023·河北衡水中学高三模拟）已知四棱锥的底面是菱形，对角线、交于点，，，底面，设点满足．（1）若三棱锥体积是，求的值；（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求的值．【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.2.(2023·全国高三模拟）如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点，，的平面与棱交于点．（1）证明四边形为矩形；（2）若与平面所成角的正切值为，求与平面所成角的正弦值．【题型三平面与平面的夹角】技巧方法利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤例5(2023·江西高三模拟）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．例6(2023·重庆八中高三阶段练习）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．（1）证明：点为的中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点.（1）证明：平面.（2）若，求二面角的余弦值.2.(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，且（1）证明：平面；（2）当二面角的余弦值为，求的值.【题型四空间角的综合运用】例7(2023·山东·模拟预测）（多选）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（

）A． B．平面C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为例8(2023·福建·三明一中模拟预测）如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（

）个．①若E为的中点，则直线平面②三棱锥的体积为定值③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为④过点，C，E的截面的面积的范围是A．1 B．2 C．3 D．4【题型精练】1.(2023·广东佛山市高三模拟）（多选）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（

）A．点Q的轨迹为线段B．与CD所成角的范围为C．的最小值为D．二面角的正切值为2.(2023·云南昆明市高三模拟）如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（

）A．直线与直线相交B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点C．存在点，使得直线与直线所成角为D．三棱锥的体积为定值7.7空间几何体中求夹角【题型解读】【知识必备】1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).【题型精讲】【题型一异面直线所成的角】技巧方法用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．例1(2023·陕西安康·高三期末）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，则，，设异面直线PN和BM所成角为，则.故选：B.例2(2023·江苏南通市高三模拟）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，并且，，底面，已知，四边形的面积为.（1）证明：直线平面；（2）点为棱的中点，当直线与平面所成的角为时，求直线与所成角的余弦值.答案：（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为四边形的面积为，所以，解得，如图，过点作于点，则，，因为，所以，因为底面，底面，所以，因为，所以直线平面.（2）因为底面，所以为在平面内的投影，故即为直线与平面所成的角，，因为，所以，因为，所以，如图，作空间直角坐标系，则，，，，，，则，故直线与所成角的余弦值为.【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，，.所以，.故选：C.2.(2023·海原县高三模拟）底面为正三角形的直棱柱中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．答案：C【解析】如图，，，∴，故选：C3.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在直角梯形中，，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为___________.答案：；.【解析】在直角梯形中，∵，，，∴，，可得，即，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，取中点E，中点F，连接，，则，∵平面平面，且平面平面，∴平面，∵，，∴，以E为坐标原点，分别以､､所在直线为x､y､z轴建立空间直角坐标系，则，，，∴，，设异面直线与所成角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为；显然，又，所以点是三棱锥外接球的球心，且球半径.由，解得.故答案为：①；②.【题型二直线与平面所成的角】技巧方法利用空间向量求线面角的解题步骤例3(2023·全国高三模拟）如图，四棱锥的底面是梯形，，，E为线段中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．答案：(1)证明见解析；(2).【解析】(1)取中点F，连接交于点O，连接，由，且梯形，有且，故平行四边形，又，故为菱形，所以为的中点，故.又因为，故，因为，面，故面，又面，故．(2)在中，，故，因为，故，由，即，即，故面，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，故，故，设面的法向量为，则，令，故，所以，故与平面所成角的正弦值为．例4(2023·河北衡水中学高三模拟）已知四棱锥的底面是菱形，对角线、交于点，，，底面，设点满足．（1）若三棱锥体积是，求的值；（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求的值．答案：（1）；（2）.【解析】（1）因为四边形是菱形，所以，因为底面，所以、，所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，因为，所以，于是，所以，过作于，过作于，所以，解得．（2）由（1）知，，，设平面的一个法向量为，，令，，设直线与平面所成的角为，所以，解得或（舍去）．【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则,又为中点，所以.由（1）得平面，所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为．2.(2023·全国高三模拟）如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点，，的平面与棱交于点．（1）证明四边形为矩形；（2）若与平面所成角的正切值为，求与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：取中点为，连接，，在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．因为平面，且平面平面，所以．因为在三棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以四边形为平行四边形．在中，因为，是的中点，所以．由题可知平面，所以，，因为，所以平面，所以，故四边形为矩形；（2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，又题可知，在中，，所以，所以，，，，则，．因为，所以．设平面的法向量为，则即，所以令，所以．设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为．【题型三平面与平面的夹角】技巧方法利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤例5(2023·江西高三模拟）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．答案：(1)证明见解析；(2)【解析】(1)连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.(2)过点作，连接，与，分别交于点，点.因为分别是，的中点，所以，所以，是平面与平面的交线.由是等边三角形，是的重心，知点，点分别是线段，的中点.平面，平面，所以，又，平面，，则平面，所以平面，又平面，于是，，为平面与平面所成二面角的平面角.由等边三角形的边长为，可得，，，，，在中，由余弦定理，得，所以平面与平面夹角的余弦值为.例6(2023·重庆八中高三阶段练习）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．（1）证明：点为的中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．答案：（1）证明见解析；（2）．【解析】(1)如图所示，取的中点，连结，由于为正方体，为中点，故，从而四点共面，即平面CDE即平面，据此可得：直线交平面于点，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，即点为中点.(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方形，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设，则：，从而：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，从而：，则：，整理可得：，故（舍去）.【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点.（1）证明：平面.（2）若，求二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析；（2）；【解析】（1）∵为的中点，∴，∵直三棱柱中，面面，面，面面，∴面，又面，即，由题设易知：，故，又，∴，则，又，∴平面.（2）过D作，由（1）可构建以为原点，、、为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示：∴由题意：，，，，∴，，，显然，是面的一个法向量，若是面的一个法向量，则，令，则，∴，由图知：钝二面角的余弦值为.2.(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，且（1）证明：平面；（2）当二面角的余弦值为，求的值.答案：（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为，所以，又因为平面，平面，所以，又，所以平面，所以，又因为，，所以，所以，又，所以平面；（2）以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：因为，所以，因为，所以，设平面一个法向量为，设平面一个法向量为，且，因为，所以，令，所以，又因为，所以，令，所以，所以，又因为二面角的余弦值为，所以，所以解得（舍去），综上可知：.【题型四空间角的综合运用】例7(2023·山东·模拟预测）（多选）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（

）A． B．平面C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为答案：BCD【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，所以，由平面，得，即，化简可得：，所以动点P在直线上，对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误；对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确；对于选项C：，C选项正确；对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确；故选：BCD.例8(2023·福建·三明一中模拟预测）如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（

）个．①若E为的中点，则直线平面②三棱锥的体积为定值③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为④过点，C，E的截面的面积的范围是A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，，.所以，.对于①：当E为的中点时，.设平面的一个法向量为,则，不妨令x=1,则，所以平面A1BD的一个法向量为.又因为，所以与不垂直，所以直线平面不成立.故①错误；对于②：三棱锥的体积等于三棱锥的体积.又，高为a,所以.故②错误；对于③：当E为的中点时，.平面的一个法向量为,而.设直线B1E与平面所成的角为，所以.所以，所以，即直线与平面所成的角正切值为.故③正确；对于④：设.因为，，所以在上得到投影为.所以点E到直线的距离为.当z=0，即D、E重合时，截面为矩形，其面积为.当时，截面为等腰梯形.设截面交于F.所以，高，所以其面积为.记，所以，所以在上单调递减函数，所以，即.因为，所以当z=a，即D1、E重合时，截面为边长为的正三角形，其面积为.综上所述：.故④正确.故选：B