高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.4空间几何体的最值、范围问题(精讲)(原卷版+解析)

7.4空间几何体的最值、范围问题【题型解读】【题型精讲】【题型一切接中的最值、范围问题】例1(2023·陕西安康·高三期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为A．1 B．2 C．3 D．【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟）已知在半径为2的球面上有、、、四点，若，则四面体的体积的最大值为A． B． C． D．2.(2023·海原县高三模拟）已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是A．2 B． C．4 D．【题型二截面中的最值、范围问题】例2(2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，，于，于，若，，则当的面积最大时，的值为A．2 B． C． D．【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）在正三棱锥中，，，两两垂直，，点在线段上，且，过点作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是A． B． C． D．2.(2023·全国高三模拟）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别为棱，的中点，则经过，球的截面面积的最小值为A． B． C． D．【题型三平行、垂直中的最值、范围问题】例3(2023·江西高三模拟）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，动点在底面内（不包括边界）．若平面，则的最小值是A． B． C． D．【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是A． B． C． D．2.(2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，点M，N分别在棱和上，且，则线段的长度的最大值为___________，此时，三棱锥的体积为___________.【题型四其它类型的最值、范围问题】例4(2023·山东·模拟预测）如图，在三棱锥中，．且，则四面体的体积的最大值为（）A． B． C． D．例5(2023·福建·三明一中模拟预测）如图，正方体的棱长为，分别是棱，的中点，过点的平面分别与棱，交于点G，H，给出以下四个命题：①平面与平面所成角的最大值为45°；②四边形的面积的最小值为；③四棱锥的体积为定值；④点到平面的距离的最大值为.其中正确命题的序号为（）A．②③ B．①④ C．①③④ D．②③④【题型精练】1.已知正方体的棱长为1，点，分别为线段，上的动点，点在平面内，则的最小值是（）A． B． C． D．2.正方体的棱长为4，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为16，则动点到点的最小值是（）．A． B． C． D．3.(2023·江西萍乡·三模）（多选）已知边长为2的等边，点、分别是边、上的点，满足且（），将沿直线折到的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（）A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面C．若，当二面角等于60°时，D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为7.4空间几何体的最值、范围问题【题型解读】【题型精讲】【题型一切接中的最值、范围问题】例1(2023·陕西安康·高三期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为A．1 B．2 C．3 D．答案：B【解析】如图所示，由，，可得，，，．设的外接圆的半径为，，．当平面时，该三棱锥取得体积的最大值为由．解得．所以，解得．故选：．【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟）已知在半径为2的球面上有、、、四点，若，则四面体的体积的最大值为A． B． C． D．答案：B【解析】过作平面，使平面，交于，设点到的距离为，则有，当直径通过与的中点连线时，，故．故选：．2.(2023·海原县高三模拟）已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是A．2 B． C．4 D．答案：A【解析】如图，球的直径，，是该球面上的两点，，，，（其中为点到底面的距离），故当最大时，的体积最大，即当面面时，最大，球的直径，，，，，即，此时．故选：．【题型二截面中的最值、范围问题】例2(2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，，于，于，若，，则当的面积最大时，的值为A．2 B． C． D．答案：D【解析】在中，，，，，．底面，得，，平面，可得，，平面平面，且，面，结合平面，可得．中，，可得，平面，平面．．中，，当，即时，有最大值为故选：．【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）在正三棱锥中，，，两两垂直，，点在线段上，且，过点作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是A． B． C． D．答案：A【解析】在正三棱锥中，，，两两垂直，，构造以，，为棱长的正方体，且该正方体棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则该正三棱锥外接球球心为中点，半径为，点在线段上，且，，，，，，过点作该正三棱锥外接球的截面，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为：，过点作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值为．故选：．2.(2023·全国高三模拟）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别为棱，的中点，则经过，球的截面面积的最小值为A． B． C． D．答案：C【解析】因为正方体内接于球，所以，，过球心和点、的大圆的截面图如图所示，则直线被球截得的线段为，过点作，垂足为点，，，所以，在中，．所以所求经过、的平面截球所得的截面的面积的最小值是：．故选：．【题型三平行、垂直中的最值、范围问题】例3(2023·江西高三模拟）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，动点在底面内（不包括边界）．若平面，则的最小值是A． B． C． D．答案：B【解答】如图，在上取中点，在上取中点，连接，，，，且，，平面，则动点的轨迹是，（不含，两点）又平面，则当时，取得最小值，．故选：．【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是A． B． C． D．答案：A【解析】由题意在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，△△，设，，则，到平面的距离为，所以四面体的体积为，当时，体积取得最大值：．故选：．2.(2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，点M，N分别在棱和上，且，则线段的长度的最大值为___________，此时，三棱锥的体积为___________.答案：3【解析】设，，则，，在正方体中，因为，所以，所以，，，因为，所以，即，化简得，所以，所以当时，取得最大值，所以线段的长度的最大值为，此时.故答案为：；3【题型四其它类型的最值、范围问题】例4(2023·山东·模拟预测）如图，在三棱锥中，．且，则四面体的体积的最大值为（）A． B． C． D．答案：B【解析】作BEAD于E，连接CE，如图，因为再平面BEC内相交，所以AD平面BEC，因为CE平面BEC，所以CEAD，因为，所以B与C都是在以A、D为焦点的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB＋BD=AC+CD=2，显然，所以BE=CE.取BC中点F，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值,所以只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，因为AB＋BD=AC+CD=2，，，所以几何体的体积为故选：B例5(2023·福建·三明一中模拟预测）如图，正方体的棱长为，分别是棱，的中点，过点的平面分别与棱，交于点G，H，给出以下四个命题：①平面与平面所成角的最大值为45°；②四边形的面积的最小值为；③四棱锥的体积为定值；④点到平面的距离的最大值为.其中正确命题的序号为（）A．②③ B．①④ C．①③④ D．②③④答案：D【解析】对于①，四边形为平行四边形，又直角梯形和直角梯形全等，得，所以四边形为菱形，且，平面在底面上的射影为四边形，设平面与平面所成角为，则，又，得，可得所成角的最大值不为45°，故①错误；对于②，由，可得菱形的面积的最小值为，故②正确；对于③，四棱锥的体积为，故③正确；对于④，设，，()，设到平面的距离为d，可得，所以(其中)，当即时，取得最大值，故④正确.故选：D.【题型精练】1.已知正方体的棱长为1，点，分别为线段，上的动点，点在平面内，则的最小值是（）A． B． C． D．答案：B【解析】解：点关于的对称点为，关于的对称点为，记为直线与之间的距离，则，由，为到平面的距离，因为，而，故，故选：B.2.正方体的棱长为4，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为16，则动点到点的最小值是（）．A． B． C． D．答案：C【解析】如图所示，作，为垂足，则面过点作，则面所以即为到直线的距离因为，所以所以点的轨迹是以为准线，点为焦点的抛物线如图建立直角坐标系，则点的轨迹方程是点,设所以所以当，取得最大值故选：C3.(2023·江西萍乡·三模）（多选）已知边长为2的等边，点、分别是边、上的点，满足且（），将沿直线折到的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（）A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面C．若，当二面角等于60°时，D．在翻折过程中，四棱