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文档简介
7.4空间几何体的最值、范围问题【题型解读】【题型精讲】【题型一切接中的最值、范围问题】例1(2023·陕西安康·高三期末)已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上,底面满足,,若该三棱锥体积的最大值为,则其外接球的半径为A.1 B.2 C.3 D.【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟)已知在半径为2的球面上有、、、四点,若,则四面体的体积的最大值为A. B. C. D.2.(2023·海原县高三模拟)已知球的直径,,是该球面上的两点,,则三棱锥的体积最大值是A.2 B. C.4 D.【题型二截面中的最值、范围问题】例2(2023·山西·太原五中高一阶段练习)如图,在三棱锥中,底面,,于,于,若,,则当的面积最大时,的值为A.2 B. C. D.【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)在正三棱锥中,,,两两垂直,,点在线段上,且,过点作该正三棱锥外接球的截面,则所得截面圆面积的最小值是A. B. C. D.2.(2023·全国高三模拟)棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,,分别为棱,的中点,则经过,球的截面面积的最小值为A. B. C. D.【题型三平行、垂直中的最值、范围问题】例3(2023·江西高三模拟)如图,在棱长为2的正方体中,点是的中点,动点在底面内(不包括边界).若平面,则的最小值是A. B. C. D.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)棱长为1的正方体中,点,分别是线段,(不包括端点上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)如图,在正方体中,,点M,N分别在棱和上,且,则线段的长度的最大值为___________,此时,三棱锥的体积为___________.【题型四其它类型的最值、范围问题】例4(2023·山东·模拟预测)如图,在三棱锥中,.且,则四面体的体积的最大值为()A. B. C. D.例5(2023·福建·三明一中模拟预测)如图,正方体的棱长为,分别是棱,的中点,过点的平面分别与棱,交于点G,H,给出以下四个命题:①平面与平面所成角的最大值为45°;②四边形的面积的最小值为;③四棱锥的体积为定值;④点到平面的距离的最大值为.其中正确命题的序号为()A.②③ B.①④ C.①③④ D.②③④【题型精练】1.已知正方体的棱长为1,点,分别为线段,上的动点,点在平面内,则的最小值是()A. B. C. D.2.正方体的棱长为4,点在棱上,且,点是正方体下底面内(含边界)的动点,且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为16,则动点到点的最小值是().A. B. C. D.3.(2023·江西萍乡·三模)(多选)已知边长为2的等边,点、分别是边、上的点,满足且(),将沿直线折到的位置,在翻折过程中,下列结论成立的是()A.在边上存在点,使得在翻折过程中,满足平面B.存在,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面平面C.若,当二面角等于60°时,D.在翻折过程中,四棱锥体积的最大值记为,的最大值为7.4空间几何体的最值、范围问题【题型解读】【题型精讲】【题型一切接中的最值、范围问题】例1(2023·陕西安康·高三期末)已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上,底面满足,,若该三棱锥体积的最大值为,则其外接球的半径为A.1 B.2 C.3 D.答案:B【解析】如图所示,由,,可得,,,.设的外接圆的半径为,,.当平面时,该三棱锥取得体积的最大值为由.解得.所以,解得.故选:.【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟)已知在半径为2的球面上有、、、四点,若,则四面体的体积的最大值为A. B. C. D.答案:B【解析】过作平面,使平面,交于,设点到的距离为,则有,当直径通过与的中点连线时,,故.故选:.2.(2023·海原县高三模拟)已知球的直径,,是该球面上的两点,,则三棱锥的体积最大值是A.2 B. C.4 D.答案:A【解析】如图,球的直径,,是该球面上的两点,,,,(其中为点到底面的距离),故当最大时,的体积最大,即当面面时,最大,球的直径,,,,,即,此时.故选:.【题型二截面中的最值、范围问题】例2(2023·山西·太原五中高一阶段练习)如图,在三棱锥中,底面,,于,于,若,,则当的面积最大时,的值为A.2 B. C. D.答案:D【解析】在中,,,,,.底面,得,,平面,可得,,平面平面,且,面,结合平面,可得.中,,可得,平面,平面..中,,当,即时,有最大值为故选:.【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)在正三棱锥中,,,两两垂直,,点在线段上,且,过点作该正三棱锥外接球的截面,则所得截面圆面积的最小值是A. B. C. D.答案:A【解析】在正三棱锥中,,,两两垂直,,构造以,,为棱长的正方体,且该正方体棱长为,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则该正三棱锥外接球球心为中点,半径为,点在线段上,且,,,,,,过点作该正三棱锥外接球的截面,当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为,当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为:,过点作该正三棱锥外接球的截面,则所得截面圆面积的最小值为.故选:.2.(2023·全国高三模拟)棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,,分别为棱,的中点,则经过,球的截面面积的最小值为A. B. C. D.答案:C【解析】因为正方体内接于球,所以,,过球心和点、的大圆的截面图如图所示,则直线被球截得的线段为,过点作,垂足为点,,,所以,在中,.所以所求经过、的平面截球所得的截面的面积的最小值是:.故选:.【题型三平行、垂直中的最值、范围问题】例3(2023·江西高三模拟)如图,在棱长为2的正方体中,点是的中点,动点在底面内(不包括边界).若平面,则的最小值是A. B. C. D.答案:B【解答】如图,在上取中点,在上取中点,连接,,,,且,,平面,则动点的轨迹是,(不含,两点)又平面,则当时,取得最小值,.故选:.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)棱长为1的正方体中,点,分别是线段,(不包括端点上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是A. B. C. D.答案:A【解析】由题意在棱长为1的正方体中,点,分别是线段,(不包括端点)上的动点,且线段平行于平面,△△,设,,则,到平面的距离为,所以四面体的体积为,当时,体积取得最大值:.故选:.2.(2023·全国·高三专题练习)如图,在正方体中,,点M,N分别在棱和上,且,则线段的长度的最大值为___________,此时,三棱锥的体积为___________.答案:3【解析】设,,则,,在正方体中,因为,所以,所以,,,因为,所以,即,化简得,所以,所以当时,取得最大值,所以线段的长度的最大值为,此时.故答案为:;3【题型四其它类型的最值、范围问题】例4(2023·山东·模拟预测)如图,在三棱锥中,.且,则四面体的体积的最大值为()A. B. C. D.答案:B【解析】作BEAD于E,连接CE,如图,因为再平面BEC内相交,所以AD平面BEC,因为CE平面BEC,所以CEAD,因为,所以B与C都是在以A、D为焦点的椭球上,且BE、CE都垂直于焦距AD,AB+BD=AC+CD=2,显然,所以BE=CE.取BC中点F,要求四面体ABCD的体积的最大值,因为AD是定值,只需三角形EBC的面积最大,因为BC是定值,所以只需EF最大即可,当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大,因为AB+BD=AC+CD=2,,,所以几何体的体积为故选:B例5(2023·福建·三明一中模拟预测)如图,正方体的棱长为,分别是棱,的中点,过点的平面分别与棱,交于点G,H,给出以下四个命题:①平面与平面所成角的最大值为45°;②四边形的面积的最小值为;③四棱锥的体积为定值;④点到平面的距离的最大值为.其中正确命题的序号为()A.②③ B.①④ C.①③④ D.②③④答案:D【解析】对于①,四边形为平行四边形,又直角梯形和直角梯形全等,得,所以四边形为菱形,且,平面在底面上的射影为四边形,设平面与平面所成角为,则,又,得,可得所成角的最大值不为45°,故①错误;对于②,由,可得菱形的面积的最小值为,故②正确;对于③,四棱锥的体积为,故③正确;对于④,设,,(),设到平面的距离为d,可得,所以(其中),当即时,取得最大值,故④正确.故选:D.【题型精练】1.已知正方体的棱长为1,点,分别为线段,上的动点,点在平面内,则的最小值是()A. B. C. D.答案:B【解析】解:点关于的对称点为,关于的对称点为,记为直线与之间的距离,则,由,为到平面的距离,因为,而,故,故选:B.2.正方体的棱长为4,点在棱上,且,点是正方体下底面内(含边界)的动点,且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为16,则动点到点的最小值是().A. B. C. D.答案:C【解析】如图所示,作,为垂足,则面过点作,则面所以即为到直线的距离因为,所以所以点的轨迹是以为准线,点为焦点的抛物线如图建立直角坐标系,则点的轨迹方程是点,设所以所以当,取得最大值故选:C3.(2023·江西萍乡·三模)(多选)已知边长为2的等边,点、分别是边、上的点,满足且(),将沿直线折到的位置,在翻折过程中,下列结论成立的是()A.在边上存在点,使得在翻折过程中,满足平面B.存在,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面平面C.若,当二面角等于60°时,D.在翻折过程中,四棱
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