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4.5解三角形6大常考题型【题型解读】【知识必备】1.正弦定理、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2Ra2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=eq\f(a,2R),sinB=eq\f(b,2R),sinC=eq\f(c,2R);(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAcosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc);cosB=eq\f(c2+a2-b2,2ac);cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)2.三角形面积公式:S△ABC=eq\f(1,2)ah(h表示边a上的高);S△ABC=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)bcsinA=eq\f(1,2)acsinB;3.解三角形多解情况在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解4.实际应用(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).(3)方向角:相对于某一正方向的水平角.(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③).(2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向.(3)南偏西等其他方向角类似.(4)坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度).坡度又称为坡比.5.相关应用(1)正弦定理的应用=1\*GB3①边化角,角化边=2\*GB3②大边对大角大角对大边=3\*GB3③合分比:(2)内角和定理:=1\*GB3①同理有:,.=2\*GB3②;=3\*GB3③斜三角形中,=4\*GB3④;=5\*GB3⑤在中,内角成等差数列.【题型精讲】【题型一已知边角元素解三角形】必备技巧已知边角元素解三角形技巧正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素.例1(多选)(2023·山东济南一模)在中,角,,所对的边分别为,,,下列结论正确的是()A. B.C. D.例2(多选)(2023·重庆市育才中学高三二模)已知在中,角,,所对的边分别为,,,且,,,则下列说法正确的是A.或 B.C. D.该三角形的面积为例3(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若,角C为钝角,.(1)求的值;(2)求边c的长.【跟踪精练】1.(2023·四川·树德中学模拟)在中,角所对的边分别为,若,则(
)A. B.或C. D.或2.(2023·河南·高三阶段练习)在中,内角,,所对的边分别是,,.若,,,则(
)A. B. C.或 D.或3.(2023·全国·高三专题练习)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=4,b=3,c=2,则中线AD的长为(
)A. B. C. D.【题型二已知边角关系解三角形】必备技巧已知边角关系解三角形正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.例4(2023·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测)在中,内角的对边分别为,,,已知.(1)若,求的值;(2)若,的面积为,求边,的值.例5(2023·全国·高三专题练习)△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△的面积为.(1)证明:;(2)若,求.【跟踪精练】1.(新课标Ⅰ)的内角,,的对边分别为,,.设.(1)求;(2)若,求.2.(2023·山东潍坊·模拟预测)在中,内角的对边分别为,.(1)求角;(2)是边上的点,若,,求的值.【题型三判断三角形形状】必备技巧判断三角形形状的方法(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系.(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.例6(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中,已知a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC,则该三角形的形状是(
)A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形例7(2023·四川省峨眉第二中学校月考)在中,已知,且,则的形状为(
)A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)对于,有如下四个命题:
①若,则为等腰三角形,②若,则是直角三角形③若,则是钝角三角形④若,则是等边三角形.其中正确的命题序号是_________2.(2023·全国·高三专题练习)在中,已知,则的形状一定是(
)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形【题型四三角形解的个数问题】例8(2023·全国·高三专题练习)已知在中,、、分别为角、、的对边,则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是(
)A.,, B.,,C.,, D.,,例9(2023·浙江·高三专题练习)中,角,,的对边分别是,,,,,若这个三角形有两解,则的取值范围是(
)A. B.C. D.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)在中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是(
)A. B.C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,满足条件,的三角形有两个,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【题型五解三角形中的最值范围问题】方法技巧解三角形中最值范围问题基本处理方法1.用余弦定理结合基本不等式求解,2.要求的量转化为某角的三角函数,求函数的最值或值域。(注意角的范围)例10(2023·宁夏石嘴山·一模)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为的中点,若.(1)求角B;(2)若,求的最小值.例11(2023·广东江门·模拟预测)在锐角中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足.(1)求角B的大小;(2)若,求的取值范围.【题型精练】1.(2023·全国·高三课时练习)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2bsinA-eq\r(3)a=0.(1)求角B的大小;(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围.2.(2023·陕西高三期中)在∆ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,CB=2CD.(1)若cos∠CDB=−55,求∆ABC【题型六解三角形实际应用问题】方法技巧解三角形实际应用从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题,然后利用正弦定理、余弦定理求解,很好地体现了数学抽象的数学素养.例12(2023·山东省六地市部分学校高三3月线考)泉城广场上矗立着的“泉标”,成为泉城济南的标志和象征.为了测量“泉标”高度,某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为,沿点A向北偏东前进100m到达点B,在点B处测得“泉标”顶端的仰角为,则“泉标”的高度为()A.50m B.100m C.120m D.150m【题型精练】1.(2023·山东泰安·高三期末)在某海域处的巡逻船发现南偏东方向,相距海里的处有一可疑船只,此可疑船只正沿射线(以点为坐标原点,正东,正北方向分别为轴,轴正方向,1海里为单位长度,建立平面直角坐标系)方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截,巡逻船出发小时后,可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击,则恰好1小时与可疑船只相遇.(1)求的值;(2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截,能否搃截成功?若能,求出搃截时间,若不能,请说明理由.4.5解三角形6大常考题型【题型解读】【知识必备】1.正弦定理、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2Ra2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=eq\f(a,2R),sinB=eq\f(b,2R),sinC=eq\f(c,2R);(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAcosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc);cosB=eq\f(c2+a2-b2,2ac);cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)2.三角形面积公式:S△ABC=eq\f(1,2)ah(h表示边a上的高);S△ABC=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)bcsinA=eq\f(1,2)acsinB;3.解三角形多解情况在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解4.实际应用(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).(3)方向角:相对于某一正方向的水平角.(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③).(2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向.(3)南偏西等其他方向角类似.(4)坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度).坡度又称为坡比.5.相关应用(1)正弦定理的应用=1\*GB3①边化角,角化边=2\*GB3②大边对大角大角对大边=3\*GB3③合分比:(2)内角和定理:=1\*GB3①同理有:,.=2\*GB3②;=3\*GB3③斜三角形中,=4\*GB3④;=5\*GB3⑤在中,内角成等差数列.【题型精讲】【题型一已知边角元素解三角形】必备技巧已知边角元素解三角形技巧正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素.例1(多选)(2023·山东济南一模)在中,角,,所对的边分别为,,,下列结论正确的是()A. B.C. D.答案:ABC【解析】由在中,角,,所对的边分别为,,,知:在选项中,由余弦定理得:,故正确;在选项中,由正弦定理得:,,故正确;在选项中,,由余弦定理得:,整理,得,故正确;在选项中,由余弦定理得:,故错误.故选:.例2(多选)(2023·重庆市育才中学高三二模)已知在中,角,,所对的边分别为,,,且,,,则下列说法正确的是A.或 B.C. D.该三角形的面积为答案:BC【解析】由余弦定理得,所以.由正弦定理得,所以,由于,所以.所以.三角形的面积为.故BC选项正确,AD选项错误.故选:BC例3(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若,角C为钝角,.(1)求的值;(2)求边c的长.答案:(1)(2)【解析】(1)因为C为钝角,由,则,则,C为钝角可得为锐角,所以,,可得.(2)由(1)可知:,则,,则,正弦定理:,,可得:.【跟踪精练】1.(2023·四川·树德中学模拟)在中,角所对的边分别为,若,则(
)A. B.或C. D.或答案:C【解析】由得,,由余弦定理得,因为,所以.故选:C2.(2023·河南·高三阶段练习)在中,内角,,所对的边分别是,,.若,,,则(
)A. B. C.或 D.或答案:A【解析】由正弦定理可得,则,故或.因为,所以,所以.故选:A3.(2023·全国·高三专题练习)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=4,b=3,c=2,则中线AD的长为(
)A. B. C. D.答案:D【解析】如图,由余弦定理得AB2=DA2+DB2-2DA·DBcos∠ADB,AC2=DA2+DC2-2DA·DCcos∠ADC,又cos∠ADB=-cos∠ADC两式相加得AB2+AC2=2DA2+DB2+DC2,即22+32=2DA2+22+22,∴2DA2=5,∴DA=.故选:D【题型二已知边角关系解三角形】必备技巧已知边角关系解三角形正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.例4(2023·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测)在中,内角的对边分别为,,,已知.(1)若,求的值;(2)若,的面积为,求边,的值.答案:(1)(2),或,【解析】(1)因为,由正弦定理得,即,因为,所以,由为三角形内角得;由,则,所以,,;(2)因为的面积,所以,由余弦定理得,则,由解得,或,.例5(2023·全国·高三专题练习)△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△的面积为.(1)证明:;(2)若,求.答案:(1)证明见解析;(2).【解析】(1)由题设,,又,所以,由正弦定理可得,所以,又,所以,即.(2)由(1)及题设,,且,所以,则,故,又,可得,若,则,而,故不合题设;所以,所以.【跟踪精练】1.(新课标Ⅰ)的内角,,的对边分别为,,.设.(1)求;(2)若,求.【解析】(1)的内角,,的对边分别为,,.设.则,由正弦定理得:,,,.(2),,由正弦定理得,解得,,,.2.(2023·山东潍坊·模拟预测)在中,内角的对边分别为,.(1)求角;(2)是边上的点,若,,求的值.答案:(1)(2)【解析】(1)由得:,由正弦定理得:,,又,,;有意义,,,即,又,.(2),,设,则,在中,由正弦定理得:,即;在中,由余弦定理得:;,解得:,即,又,.【题型三判断三角形形状】必备技巧判断三角形形状的方法(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系.(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.例6(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中,已知a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC,则该三角形的形状是(
)A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形答案:C【解析】∵a2+b2-c2=ab,∴,又,∴,由2cosAsinB=sinC,得∴,即,又,故三角形为等边三角形.故选:C例7(2023·四川省峨眉第二中学校月考)在中,已知,且,则的形状为(
)A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案:B【解析】由题意,,则,又,则,由可得,即,所以,由,知,综上可知即的形状是等边三角形.故选:B【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)对于,有如下四个命题:
①若,则为等腰三角形,②若,则是直角三角形③若,则是钝角三角形④若,则是等边三角形.其中正确的命题序号是_________答案:③④【解析】对于①可推出或,故不正确;②若,显然满足条件,但不是直角三角形;③由正弦定理得,所以,是钝角三角形;④由正弦定理知,由于半角都是锐角,所以,三角形是等边三角形.故答案为:③④2.(2023·全国·高三专题练习)在中,已知,则的形状一定是(
)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形答案:B【解析】由正弦定理得,整理得:即,又因为,所以,所以,移项得:,所以三角形一定为直角三角形.故选:B【题型四三角形解的个数问题】例8(2023·全国·高三专题练习)已知在中,、、分别为角、、的对边,则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是(
)A.,, B.,,C.,, D.,,答案:B【解析】对于A选项,由正弦定理可得,且,故有两解;对于B选项,由正弦定理可得,且,故只有一解;对于C选项,由正弦定理可得,故无解;对于D选项,因为,则角为的最大内角,且,故无解.故选:B.例9(2023·浙江·高三专题练习)中,角,,的对边分别是,,,,,若这个三角形有两解,则的取值范围是(
)A. B.C. D.答案:B【解析】因为这个三角形有两解,故满足,即,解得.故选:B【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)在中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是(
)A. B.C. D.答案:D【解析】对于A选项,,,,又,由正弦定理得:,,三角形三边确定,此时三角形只有一解,不合题意;对于B选项,,,,由余弦定理得:,三角形三边唯一确定,此时三角形有一解,不合题意;对于C选项,,三边均为定值,三角形唯一确定,故选项C不合题意;对于D选项,,,,由正弦定理得:,,,,有两解,符合题意,故选:D.2.(2023·全国·高三专题练习)在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,满足条件,的三角形有两个,则的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】因为,,由正弦定理可得,所以,又满足题意的三角形有两个,所以只需,即,解得.故选:C.【题型五解三角形中的最值范围问题】方法技巧解三角形中最值范围问题基本处理方法1.用余弦定理结合基本不等式求解,2.要求的量转化为某角的三角函数,求函数的最值或值域。(注意角的范围)例10(2023·宁夏石嘴山·一模)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为的中点,若.(1)求角B;(2)若,求的最小值.答案:(1)(2)【解析】(1)解:由,利用正弦定理可得:,,
∵,∴,∴;(2)由D为的中点,∴,∴,,又∵,∴
,
∴,∴,
当且仅当时,取最小值.例11(2023·广东江门·模拟预测)在锐角中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足.(1)求角B的大小;(2)若,求的取值范围.答案:(1)(2)【解析】(1)因为,所以由正弦定理可得,化简得,所以由余弦定理得,因为,所以(2)因为,所以,由正弦定理得,,所以,因为为锐角三角形,所以,得,所以,所以,所以,,所以,即的取值范围为【题型精练】1.(2023·全国·高三课时练习)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2bsinA-eq\r(3)a=0.(1)求角B的大小;(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围.【解析】(1)由正弦定理,得2sinBsinA=eq\r(3)sinA,又在△ABC中,sinA>0,故sinB=eq\f(\r(3),2),由题意得B=eq\f(π,3).(2)由A+B+C=π,得C=eq\f(2π,3)-A.由△ABC是锐角三角形,得A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(π,2))).由cosC=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)-A))=-eq\f(1,2)cosA+eq\f(\r(3),2)sinA,得cosA+cosB+cosC=eq\f(\r(3),2)sinA+eq\f(1,2)cosA+eq\f(1,2)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,6)))+eq\f(1,2)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)+1,2),\f(3,2))).故cosA+cosB+cosC的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)+1,2),\f(3,2))).2.(2023·陕西高三期中)在∆ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,CB=2CD.(1)若cos∠CDB=−55,求∆ABC答
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