高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.10圆锥曲线中最值、范围模型(精练)(原卷版+解析)

8.10圆锥曲线中最值、范围模型【题型解读】【题型一斜率型最值、范围问题】1.(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为和,且,,,四点中恰有三点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线和与直线分别交于G和H两点,设直线和的斜率分别为和,若线段GH的长度小于,求的最大值.2.(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，以PF1为直径的圆E：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,4)))2＝eq\f(49,16)过焦点F2.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的右顶点为A，与x轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点(M，N与A点不重合)，且满足AM⊥AN，点Q为MN的中点，求直线MN与AQ的斜率之积的取值范围．【题型二距离型最值、范围问题】例2(2023·青岛高三模拟）已知椭圆经过点,离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于两点,求的最大值.2.已知椭圆：的左、右焦点分别为、,是椭圆上一动点,的最大面积为,.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于、两点,、为椭圆上两点,且,求的最大值.【题型三面积型最值、范围问题】例3(2023·全国高三专题练习）已知椭圆的离心率为,其左焦点到点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点,求的面积关于的函数关系式,并求面积最大时直线的方程．2.(2023·山西太原五中高三期末）已知椭圆的离心率为,椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为,直线交椭圆于两点,记直线的斜率为,直线的斜率为,已知.①求证：直线恒过定点；②设和的面积分别为,求的最大值.【题型四数量积型最值、范围问题】例4(2023·湖北模拟）已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1，0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．(1)求C的方程；(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))的取值范围．2.(2023·德阳三模）已知点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(\r(3),3)))在椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，且点M到椭圆C的左、右焦点的距离之和为2eq\r(2)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，若椭圆C的弦AB的中点在线段OM(不含端点O，M)上，求eq\o(OA,\s\up7())·eq\o(OB,\s\up7())的取值范围．【题型五参数型最值、范围问题】1.(2023·湖北模拟）已知椭圆过点．(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C的第四象限的图象上有一个动点M,连接动点M与椭圆C的左顶点A与y的负半轴交于点E,连接动点M与椭圆的上顶点B,与x的正半轴交于点F,记四边形的面积为,的面积为,,求的取值范围．2.(2023·德阳三模）已知双曲线E：（,）一个顶点为,直线l过点交双曲线右支于M,N两点,记,,的面积分别为S,,.当l与x轴垂直时,的值为.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若l交y轴于点P,,,求证：为定值；(3)在（2）的条件下,若,当时,求实数m的取值范围.【题型六坐标型最值、范围问题】1.(2023·湖北模拟）椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),2)，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围．2.(2023·德阳三模）已知A，B，C是椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的三点，其中点A的坐标为(2eq\r(3)，0)，BC过椭圆的中心，且eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|．(1)求椭圆M的方程；(2)过点(0，t)的直线l(斜率存在时)与椭圆M交于两点P，Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且|eq\o(DP,\s\up6(→))|＝|eq\o(DQ,\s\up6(→))|，求实数t的取值范围．8.10圆锥曲线中最值、范围模型【题型解读】【题型一斜率型最值、范围问题】1.(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为和,且,,,四点中恰有三点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线和与直线分别交于G和H两点,设直线和的斜率分别为和,若线段GH的长度小于,求的最大值.【解析】（1）由于,两点关于y轴对称,故由题设知C经过,两点.又由,知C不经过,所以点在C上.所以解得所以椭圆C的标准方程为；（2）设,如图,过点P作直线轴,分别交x轴和直线于M,N两点.易知,则,即,由,得,所以,由,得,从而所以当时,,即的最大值为.2.(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，以PF1为直径的圆E：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,4)))2＝eq\f(49,16)过焦点F2.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的右顶点为A，与x轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点(M，N与A点不重合)，且满足AM⊥AN，点Q为MN的中点，求直线MN与AQ的斜率之积的取值范围．【解析】(1)在圆E的方程中，令y＝0，得x2＝3，解得x＝±eq\r(3)，所以F1，F2的坐标分别为(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)．因为Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，又因为|OE|＝eq\f(1,2)|F2P|，OE∥F2P，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)))，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2×eq\f(7,4)＋eq\f(1,2)＝4，得a＝2，b＝1，即椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)右顶点为A(2,0)，由题意可知直线AM的斜率存在且不为0，设直线AM的方程为y＝k(x－2)，由MN与x轴不垂直，故k≠±1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又点A(2,0)，则由根与系数的关系可得2x1＝eq\f(16k2－4,1＋4k2)，得x1＝eq\f(8k2－2,1＋4k2)，y1＝k(x1－2)＝eq\f(－4k,1＋4k2)，因为AM⊥AN，所以直线AN的方程为y＝－eq\f(1,k)(x－2)，用－eq\f(1,k)替换k可得，x2＝eq\f(8－2k2,4＋k2)，y2＝eq\f(4k,4＋k2)，所以点Q坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(30k2,1＋4k24＋k2)，\f(6kk2－1,1＋4k24＋k2)))，所以直线AQ的斜率k1＝eq\f(\f(6kk2－1,1＋4k24＋k2),\f(30k2,1＋4k24＋k2)－2)＝eq\f(3k1－k2,22k4＋k2＋2)，直线MN的斜率k2＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(\f(4k,4＋k2)＋\f(4k,1＋4k2),\f(8－2k2,4＋k2)－\f(8k2－2,1＋4k2))＝eq\f(5k,41－k2)，所以k1k2＝eq\f(15k2,82k4＋k2＋2)＝eq\f(15,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k2＋\f(2,k2)＋1)))，因为k2>0且k2≠1，所以2k2＋eq\f(2,k2)＋1>2eq\r(2k2×\f(2,k2))＋1＝5，所以0<eq\f(15,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k2＋\f(2,k2)＋1)))<eq\f(3,8)，即k1k2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,8))).所以直线MN与AQ的斜率之积的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,8))).【题型二距离型最值、范围问题】例2(2023·青岛高三模拟）已知椭圆经过点,离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于两点,求的最大值.【解析】（1）由已知得解得,因此椭圆C的方程为；（2）由整理得,设,则,因为,所以MA⊥MB,三角形MAB为直角三角形,设d为点M到直线的距离,故,又因为,,所以,设,则,由于,所以,当,即k=0时,等号成立.因此,的最大值为32.2.已知椭圆：的左、右焦点分别为、,是椭圆上一动点,的最大面积为,.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于、两点,、为椭圆上两点,且,求的最大值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为,,,的最大面积为,,,,椭圆的方程为；（2）由题知,设直线的方程为,,,联立,消去并整理得：,∴,得,,,∴,设,,由复合函数的单调性知：在上单调递增,在单调递减,∴当时,,故.【题型三面积型最值、范围问题】例3(2023·全国高三专题练习）已知椭圆的离心率为,其左焦点到点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点,求的面积关于的函数关系式,并求面积最大时直线的方程．【解析】（1）由题意得：,且,解得：,所以,所以椭圆方程为；（2）联立与椭圆方程可得：,由,解得：；设,则,,由弦长公式可得：,点到直线的距离为,则的面积为,其中,令,,则,由于,所以,,令得：,令得：,即在上单调递增,在上单调递减,所以在处取得极大值,也是最大值,,所以当时,面积取得最大值,此时直线的方程为．2.(2023·山西太原五中高三期末）已知椭圆的离心率为,椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为,直线交椭圆于两点,记直线的斜率为,直线的斜率为,已知.①求证：直线恒过定点；②设和的面积分别为,求的最大值.【解析】（1）由题意,解得,所以椭圆C的方程为．（2）①依题意,设,若直线的斜率为0则P,Q关于y轴对称,必有,不合题意．所以直线斜率必不为0,设其方程为,与椭圆C联立,整理得：,所以,且因为是椭圆上一点,即,所以,则,即因为,所以,此时,故直线恒过x轴上一定点．②由①得：,所以,而,当时的最大值为．【题型四数量积型最值、范围问题】例4(2023·湖北模拟）已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1，0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．(1)求C的方程；(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))的取值范围．【解析】(1)由x2＋y2＋2x－15＝0，得(x＋1)2＋y2＝16，所以圆心为H(－1，0)，半径为4．连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|＝|MB|，所以|MA|＋|MH|＝|MB|＋|MH|＝|BH|＝4，又|AH|＝2<4．根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，所以a2＝4，c2＝1，b2＝3，所求曲线C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)由直线EF与直线PQ垂直，可得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0，于是eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))·(eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AQ,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))．①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，此时可不妨取Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，E(2，0)，F(－2，0)，所以eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))＝－3－eq\f(9,4)＝－eq\f(21,4)．②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝－eq\f(21,4)．③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为y＝k(x－1)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(xP－1，yP)，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(xQ－1，yQ)，则直线EF的方程为y＝－eq\f(1,k)(x－1)．将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得，(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，所以xP＋xQ＝eq\f(8k2,3＋4k2)，xP·xQ＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)．于是eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(xP－1)(xQ－1)＋yP·yQ＝(1＋k2)[xPxQ－(xP＋xQ)＋1]＝(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k2－12,3＋4k2)－\f(8k2,3＋4k2)＋1))＝－eq\f(91＋k2,3＋4k2)．将上面的k换成－eq\f(1,k)，可得eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\f(91＋k2,4＋3k2)，所以eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))＝－9(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3＋4k2)＋\f(1,4＋3k2)))．令1＋k2＝t，则t>1，于是上式化简整理可得，eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝－9teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4t－1)＋\f(1,3t＋1)))＝－eq\f(63t2,12t2＋t－1)＝－eq\f(63,\f(49,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－\f(1,2)))2)．由t>1，得0<eq\f(1,t)<1，所以－eq\f(21,4)<eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))≤－eq\f(36,7)．综合①②③可知，eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，－\f(36,7)))．2.(2023·德阳三模）已知点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(\r(3),3)))在椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，且点M到椭圆C的左、右焦点的距离之和为2eq\r(2)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，若椭圆C的弦AB的中点在线段OM(不含端点O，M)上，求eq\o(OA,\s\up7())·eq\o(OB,\s\up7())的取值范围．【解析】(1)由条件知eq\f(4,3a2)＋eq\f(1,3b2)＝1，2a＝2eq\r(2)，所以a＝eq\r(2)，b＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))在线段OM上．因为kOM＝eq\f(1,2)，所以x1＋x2＝2(y1＋y2)．eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),2)＋yeq\o\al(2,2)＝1，两式相减得eq\f((x1－x2)(x1＋x2),2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，易知x1－x2≠0，y1＋y2≠0，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,2(y1＋y2))＝－1，即kAB＝－1．设直线AB的方程为y＝－x＋m，代入eq\f(x2,2)＋y2＝1并整理得3x2－4mx＋2m2－2＝0．由Δ＝8(3－m2)＞0得m2＜3．由根与系数的关系得x1＋x2＝eq\f(4m,3)，x1x2＝eq\f(2m2－1,3)，又eq\f(x1＋x2,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，所以eq\f(2m,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，所以0＜m＜eq\r(3)．eq\o(OA,\s\up7())·eq\o(OB,\s\up7())＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(－x1＋m)(－x2＋m)＝2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝eq\f(4(m2－1),3)－eq\f(4m2,3)＋m2＝m2－eq\f(4,3)，而0＜m＜eq\r(3)，所以eq\o(OA,\s\up7())·eq\o(OB,\s\up7())的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(5,3)))．【题型五参数型最值、范围问题】1.(2023·湖北模拟）已知椭圆过点．(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C的第四象限的图象上有一个动点M,连接动点M与椭圆C的左顶点A与y的负半轴交于点E,连接动点M与椭圆的上顶点B,与x的正半轴交于点F,记四边形的面积为,的面积为,,求的取值范围．【解析】（1）依题意,得,故C的方程为．（2）依题意,,设,则,所以直线,令,则．直线,令．则,又易知,所以四边形的面积．由题意可知的直线方程为,再设椭圆的参数方程为为参数,则动点M到直线的距离,,化简得．∵,∴,的面积,∴．∵,∴,即．2.(2023·德阳三模）已知双曲线E：（,）一个顶点为,直线l过点交双曲线右支于M,N两点,记,,的面积分别为S,,.当l与x轴垂直时,的值为.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若l交y轴于点P,,,求证：为定值；(3)在（2）的条件下,若,当时,求实数m的取值范围.【解析】（1）由题意得,,则当l与x轴垂直时,不妨设,由,得,将代入方程,得,解得,所以双曲线E的方程为．（2）设,,,由与,得,即,,将代入E的方程得：,整理得：①,同理由可得②．由①②知,,是方程的两个不等实根．由韦达定理知,所以为定值．（3）又,即,整理得：,又,不妨设,则,整理得,又,故,而由（2）知,,故,代入,令,得,由双勾函数在上单调递增,得,所以m的取值范围为．【题型六坐标型最值、范围问题】1.(2023·湖北模拟）椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),2)，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围．【解析】(1)将x＝－c代入椭圆的方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a)．由题意知eq\f(2b2,a)＝1，故a＝2b2．又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，则eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2b，所以a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1．(2)由PM是∠F1PF2的角平分线，可得eq\f(|PF1|,|F1M|)＝eq\f(|PF2|,|F2M|)，即eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(|F1M|,|F2M|)．设点P(x0，y0)(－2＜x0＜2)，又点F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，M(m，0)，则|PF1|＝eq\r((－\r(3)－x0)2＋y\o\al(2,0))＝2＋eq\f(\r(3),2)x0，|PF2|＝eq\r((\r(3)－x0)2＋y\o\al(2,0))＝2－eq\f(\r(3),2)x0．又|F1M|＝|m＋eq\r(3)|，|F2M|＝|m－eq\r(3)|，且－eq\r(3)＜m＜eq\r(3)，所以|F1M|＝m＋eq\r(3)，|F2M|＝eq\r(3)－m．所以eq\f(2＋\f(\r(3),2)x0,2－\f(\r(3),2)x0)＝eq\f(\r(3)＋m,\r(3)－m)，化简得m＝eq\f(3,4)x0，而－2＜x0＜2，因此－eq\f(3,2)＜m＜eq\f(3,2)．故实数m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2)))．2.(20