高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)3.3.2导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题(针对练习)(原卷版+解析)

第三章导数3.3.2导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（针对练习）针对练习针对练习一利用导数处理恒成立问题1．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围.2．已知函数．(1)求函数的极值；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．3．已知函数．(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；(2)求函数的极值点．4．已知函数．(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．5．已知函数.(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求该切线的方程；(2)若，恒成立，求的取值范围.针对练习二利用导数处理能成立问题6．已知函数.(1)求函数的极值；(2)在内存在x，使不等式成立，求实数a的取值范围；7．已知函数f(x)＝ax－2lnx．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．8．已知函数(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．9．已知函数．(1)证明：曲线在点处的切线l恒过定点；(2)若存在使得，求k的取值范围．10．已知，在上是单调递增函数.(1)求a的最小值；(2)当实数a取最小值时，若存在实数x使不等式成立，求实数k的取值范围.针对练习三利用导数处理恒、能成立结合问题11．已知，函数，.（1）求在上的最小值；（2）若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围.（已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增）12．已知函数．（注：是自然对数的底数）(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．13．设函数，函数．（1）求证：方程仅有一个实根；（2）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．14．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若对任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．15．设为实数，函数，.(1)若函数轴有三个不同交点，求的范围(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.针对练习四利用导数讨论零点的个数16．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)讨论在上的零点个数．17．已知，函数.(1)证明：在上有唯一的极值点；(2)当时，求在上的零点个数.18．已知函数.（1）当时，求的单调性及零点的个数；（2）当时，求的零点的个数.19．已知函数[1，.（1）若，求的最大值；（2）讨论y=f(x)零点的个数.20．已知函数(1)判断函数的单调性，并求出的极值；(2)设，讨论函数的零点个数．针对练习五根据零点个数求参数21．已知函数.(1)当时，求f（x）的极值；(2)若函数f（x）至少有两个不同的零点，求a的最大值.22．已知函数.(1)若在处取得极值，求在区间上的值域；(2)若函数有1个零点，求a的取值范围.23．已知函数.(1)求的极值；(2)若有两个零点，求实数m的取值范围.24．函数．(1)若函数有2个零点，求实数a的取值范围；(2)若在上的值域为，求实数a的值．25．已知函数．(1)若，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；(2)若方程有三个不同的根，求a的取值范围．针对练习六利用导数证明一般不等式26．已知函数，.(1)若在定义域上单调递减，求的取值范围；(2)若，，证明：当时，.27．已知．(1)当时，判断函数零点的个数；(2)求证：.28．已知函数．(1)求的最大值；(2)证明：．29．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：.30．已知函数.(1)求的最小值；(2)若，证明：.针对练习七利用导数证明含n的不等式31．已知函数.(1)当时，求函数的最大值；(2)证明：对任意正整数n，32．已知函数，其中(1)若有两个极值点，记为①求的取值范围；②求证：；(2)求证：对任意恒有33．已知函数．(1)若曲线在处的切线与y轴垂直，求零点的个数；(2)若，且，求证：．34．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：；(3)若且，证明：.35．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)证明：.第三章导数3.3.2导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（针对练习）针对练习针对练习一利用导数处理恒成立问题1．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求导得，然后分情况讨论即可通过导函数的正负确定的单调性.（2）将问题先转化为在上恒成立.，构造函数，，对进行分情况讨论，求的最小值，即可求解.(1)的定义域是，.①当时，恒成立，所以在上单调递增；②当时，令，解得或（舍），令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.(2)若在上恒成立，即在上恒成立.令，，则.当时，，，不符合题意；当时，在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，不符合题意；当时，若，即，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，符合题意.若，即，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意；若，即，在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，不符合题意.综上所述，实数a的取值范围是.2．已知函数．(1)求函数的极值；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)极大值为；极小值为.(2).【解析】【分析】（1）由可得极值点为或，代入即可求得极值；（2）参变分离变形可得，令，只要即可.(1)根据题意，由，令可得或，或时，，时，，所以的递增区间为，递减区间为，所以极大值为，极小值为，(2)，可得，由可得，令，由可得，当时，，为增函数，当，，为减函数，，所以，所以实数的取值范围为.3．已知函数．(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；(2)求函数的极值点．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，令，将问题转化为，求出在上的最小值即可；（2）求导可得，分，，，讨论的正负，从而得到的单调性，进一步得到的极值点.(1)由可得：，即，令，则问题转化为，因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，所以，故的范围为：.(2)因为，所以，当时，，当，，单调递减；当时，，单调递增，此时的极值点为；当时，令，得，，当时，，当和时，，单调递增；当时，，单调递减；所以此时的极值点为和；当时，，此时，单调递增，无极值点；当时，，当和时，，单调递增；当时，，单调递减；所以此时的极值点为和；综上所述：当时，极值点为；当时，无极值点；当或时，极值点为和.4．已知函数．(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）求导，，分和讨论求解；（2）对任意的，恒成立，转化为在上恒成立求解．(1)解：，，当时，恒成立，所以在上单调递增．又，，所以此时在上仅有一个零点，符合题意；当时，令，解得；令，解得，所以在上单调递增，所以在上单调递减．要使在上仅有一个零点，则必有，解得．综上，当或时，在上仅有一个零点．(2)因为，所以对任意的，恒成立，等价于在上恒成立．令，则只需即可，则，再令，则，所以在上单调递增．因为，，所以有唯一的零点，且，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，所以，设，则，所以函数在上单调递增．因为，所以，即．所以，则有．所以实数a的取值范围为．5．已知函数.(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求该切线的方程；(2)若，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，结合平行线的性质进行求解即可；（2）对已知不等式进行变形，构造函数，利用导数的性质分类讨论进行求解即可.(1)由题意得，则，得.又，所以该切线的方程为；(2)由，可得.令，，则，即，当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，，即当时，在不恒成立；当时，，在上单调递减，恒有，所以，符合题意.综上，的取值范围为.【点睛】关键点睛：构造新函数，利用导数的性质分类讨论是解题的关键.针对练习二利用导数处理能成立问题6．已知函数.(1)求函数的极值；(2)在内存在x，使不等式成立，求实数a的取值范围；【答案】(1)极小值为，无极大值(2)【解析】【分析】（1）求导，利用导数讨论函数的单调性，由单调性判断极值情况，然后可得；（2）将问题转化为，结合（1）可知.(1)∵，定义域为∴设，可得或（舍），由，得；由，得，所以的单调增区间为，单调减区间为；当x变化时，，的变化情况如下表：1-0+单调递减单调递增当时，有极小值，并且极小值为，无极大值.(2)在内存在x，使不等式成立等价于，由（1）知所以，即a的取值范围为7．已知函数f(x)＝ax－2lnx．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】【分析】（1）根据实数a的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.(1)当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；当a＞0时，令得；令得；综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；(2)由题意知ax－2lnx≤x－2在(0，＋∞)上有解则ax≤x－2＋2lnx，．令，xg'(x)＋0－g(x)↗极大值↘所以，因此有所以a的取值范围为：【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.8．已知函数(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可求出切线方程；（2）把题意转化为：存在，使得不等式成立，构造新函数，对m进行分类讨论，利用导数求，解不等式，即可求出m的范围.(1)当时，,定义域为R，.所以，.所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：，即.(2)不等式可化为：，即存在，使得不等式成立.构造函数，则.①当时，恒成立，故在上单调递增，故，解得：，故；②当时，令，解得：令，解得：故在上单调递减，在上单调递增，又，故，解得：，这与相矛盾，舍去；③当时，恒成立，故在上单调递减，故，不符合题意，应舍去.综上所述：m的取值范围为：.9．已知函数．(1)证明：曲线在点处的切线l恒过定点；(2)若存在使得，求k的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）利用的导数求出在点，的斜率，再求出其切线方程，最后证明过定点；（2）构造函数，讨论的范围，结合切线放缩及三角放缩得到的取值．(1)证明：由得，则，故切线l为，即，恒过定点．(2)即，设，令，则时，时，，所以，即，故当时，不成立；当时，对于，，，单调递增，，故存在唯一．使得，时，，符合题意；当时，对于有，则对任意的，都有成立．综上，k的取值范围是．10．已知，在上是单调递增函数.(1)求a的最小值；(2)当实数a取最小值时，若存在实数x使不等式成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)2；(2).【解析】【分析】(1)结合已知条件，利用在恒成立问题即可求解；(2)根据已知条件对不等式分离参数，然后构造新函数，利用导函数求最值的方法即可求解.【详解】(1)由题意可知，在恒成立，故在恒成立，即，解得，故的最小值为2；(2)当时，存在实数x使不等式成立，由可知，存在实数x使不等式成立，即成立，不妨令，即，由，；；故在上单调递增，在单调递减，从而的最大值为，即，故实数k的取值范围为.针对练习三利用导数处理恒、能成立结合问题11．已知，函数，.（1）求在上的最小值；（2）若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围.（已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据二次函数对称轴是否在区间内，分为，，三种情况讨论即得解；（2）转化为，根据的单调性分，，三种情况求解，再分类讨论求解即可【详解】（1）因为，所以函数图象的对称轴方程.若，即，则在上单调递增，；若，即，则在上单调递减，在上单调递增，；若，即，则在上单调递减，.综上，（2）由题意知，原不等式等价于在内，成立，若，则在上单调递增，.若，则在上单调递减，在上单调递增，.若，则在上单调递减，.故当时，则，解得；当时，则，解得；当时，则，不等式无解；当时，则，因为，，所以不等式无解；当时，则，因为，所以不等式无解.综上，a的取值范围为.12．已知函数．（注：是自然对数的底数）(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程；（2）讨论的符号，判断的单调性，进而确定的零点；（3）要使取到最小值，则，分析可得结合零点代换处理．(1)当时，，故，故在点处的切线方程为，化简得．(2)由题意知有且只有一个根且有正有负．构建，则①当时，当时恒成立，在上单调递增，因为，所以有一个零点，即为的一个极值点；②当时，当时恒成立，即无极值点；③当时，当；当，所以在单调递减，在上单调递增，故，若，则即.当时，，当时，,设，故，故在上为增函数，故，故，故当时，有两个零点，此时有两个极值点．当时，当时恒成立，即无极值点；综上所述：．(3)由题意知，对与任意的，使得恒成立，则，又要使取到最小值，则．当时，，故，所以的最小值为e；当时，当时，，所以无最小值，即无最小值；当时，由（2）得只有一个零点，即且当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，此时，因，所以代入得，令，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，此时，所以的最小值为．13．设函数，函数．（1）求证：方程仅有一个实根；（2）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）结合函数的单调性即可判断函数零点个数.（2）在上的最小值大于在上的最小值，计算函数的最小值并讨论函数的最大值即可.【详解】（1），所以当时，单调递减，当时，单调递增，故，又时时，，所以方程仅有一个实根；（2）由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值．因为，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．，即函数在上的最小值为．函数为直线，当时，，显然不符合题意；当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意．故实数的取值范围是．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．14．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若对任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)【解析】【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，令，求出所对应的两根，再对两根的大小关系分类讨论，分别求出函数的单调区间；（2）)先求得，转化为，对任意恒成立，再构造函数，求其最小值得解.(1)解：因为，，所以，令，解得，，当时，，由得或，由得，所以在区间和上函数单调递增，在区间上函数单调递减．当时，，所以函数在单调递增，没有减区间．当时，，由得或，由得，所以在区间和上函数单调递增，在区间上函数单调递减．(2)解：由（1）知，当时，函数在上单调递增，故当时，，因为对任意，存在，使得不等式成立，所以，得，对任意恒成立．记，则，当时，，若，则，从而，所以函数在上单调递增，所以当时，，符合题意，若，则存在，使得，则在上单调递减，在上单调递增，从而当时，，说明当时，不恒成立，不符合题意，若，则，在上单调递减，所以当时，，不符合题意．综上，实数的取值范围是．15．设为实数，函数，.(1)若函数轴有三个不同交点，求的范围(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；由条件，从而可得答案.（2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.(1)由，解得或；由解得所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又时，；时，函数轴有三个不同交点，则解得所以函数轴有三个不同交点，实数的取值范围(2)对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，因为，且，则且不恒为零，故函数在上单调递增，故，由题意可得，故.所以实数a的取值范围为针对练习四利用导数讨论零点的个数16．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)讨论在上的零点个数．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据不同情况下导数的正负即可判断对应的单调性；（2）根据（1）中所求函数的单调性，结合零点存在定理，逐一分析每种情况下函数零点的个数即可.(1)因为，则，当时，，此时在上单调递减；当时，令，可得，则当时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述：当时，在上单调递减；当时，在单调递增，在上单调递减.(2)当时，在上单调递减，又，故当时，，故此时在无零点；当时，，故在单调递减，同时，此时在无零点；当时，，故在单调递增，在单调递减，，若，即时，，故在无零点；若，即时，，此时在有一个零点；若，即时，，又因为，故在上一定存在一个零点；又因为，且，故在上也一定存在一个零点；下证：，令，则，即在单调递减，故，即故.故当时，有两个零点.综上所述：当时，在无零点；时，在有一个零点；时，有两个零点.【点睛】本题考察利用导数研究含参函数的单调性，以及函数的零点个数，涉及零点存在定理，属综合中档题.17．已知，函数.(1)证明：在上有唯一的极值点；(2)当时，求在上的零点个数.【答案】(1)证明见解析(2)2个【解析】【分析】(1)对函数求导，记，，利用导数讨论的单调性，进而得到的单调性，结合零点的存在性定理即可得出结论；(2)利用导数讨论函数的单调性，结合零点的存在性定理对区间分类讨论即可.(1)证明：，记，，则.由得在上恒成立，从而在上为增函数，并且，.根据零点存在性定理可知，存在唯一的使得，并且当时，，当时，.由于，因此当时，，当时，，当时，，所以是在上唯一的极值点.(2)当时，，并且根据（1）知存在使得在上为减函数，在上为增函数.由于，从而.由于，，根据零点存在性定理可知，在上存在唯一的零点，在上无零点；当时，，因此函数在上无零点；当时，记，则，所以在上为减函数，所以，即对恒成立.因此当时有，因此，结合知函数在上存在唯一的零点，在上无零点.综上所述，函数在上共有2个零点.18．已知函数.（1）当时，求的单调性及零点的个数；（2）当时，求的零点的个数.【答案】（1）单调递减；一个零点；（2）有且仅有一个零点.【解析】【分析】(1)利用二次求导讨论函数的单调性，进而得出零点的个数；(2)利用三次求导讨论函数的单调性，进而得出函数零点的个数.【详解】解：（1），，当时，，所以单调递减.又因为，，所以，有，所以存在一个零点（2）当时，，，所以单调递增，又，，所以，有，且有时，，单调递减；时，，单调递增，又因为，，所以，有.又当时，，，所以.所以当时，，单调递减；时，，单调递增，又，，所以存在，有，当时，，，所以有，当，有.所以，当时，函数有且仅有一个零点19．已知函数[1，.（1）若，求的最大值；（2）讨论y=f(x)零点的个数.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用导数定义得到，然后利用导数求导公式求出a，再根据导数求最值；（2）通过变量分离，问题转化为根的情况，令，根据导数研究函数的单调性，即可求解..【详解】（1），,则，，，，在上为增函数，.（2），即，设，则，时，，在上递增，当时，，在上递减，当时，，且或时，无零点，当或时一个零点，当时有两个零点.20．已知函数(1)判断函数的单调性，并求出的极值；(2)设，讨论函数的零点个数．【答案】(1)答案见解析；(2)答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据导数研究函数单调性，求解极值即可；（2）将问题转化为直线与函数的图像公共点问题，进而数形结合求解即可；(1)解：函数的定义域为．，解得所以，当时，单调递减；当时，单调递增．所以，当时，取得极小值，没有极大值．(2)解：根据题意，函数的零点问题转化为直线与函数的图像公共点问题．由（1）知，时，单调递减；时，单调递增．当趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，所以，的大致图像如图，情形1．或时，直线与函数的图象有一个公共点，函数的零点个数为1．情形2：时，直线与函数的图象有两个公共点，函数的零点个数为2．情形3：时，直线与函数的图象没有公共点，函数的零点个数为0．针对练习五根据零点个数求参数21．已知函数.(1)当时，求f（x）的极值；(2)若函数f（x）至少有两个不同的零点，求a的最大值.【答案】(1)极大值，极小值(2)-3【解析】【分析】（1）先求出单调区间再分别求出极值；（2）通过参变分离转化为研究的单调性和图像，进而求出参数范围.(1)解：f（x）的定义域是（0，+∞），当时，.或.或，故f（x）在区间（0，）与（1，+∞）单调递增，，故f（x）在区间单调递减所以当时，f（x）有极大值当时，f（x）有极小值(2)f（x）至少有两个不同的零点，则等价于方程至少有两个相异实数根，由，得设，则，令，则，令，可得或（舍）.所以在（0，）上，，h（x）单调递减，在（，+∞）上，，h（x）单调递增，所以函数h（x）的最小值为，又，所以当时，又，因此必存在唯一，使得.当x变化时，h（x），，F（x）的变化情况如下表x1h（x）+0-0++0-0+F（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增当时，F（x）有极大值，当时，F（x）有极小值F（1）又，，且时，所以可得时，直线与函数的图象至少有两个公共点，所以a的最大值为-3.22．已知函数.(1)若在处取得极值，求在区间上的值域；(2)若函数有1个零点，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断在区间上的单调性，然后由单调性可得值域；（2）当时，将问题转化为两个函数的交点问题可得；当时，直接判断可知；当时，利用导数求极值，通过极值结合问题分析可解.(1)因为在处取得极值所以，得则时，，在区间上单调递增，所以所以在区间上的值域为(2)的定义域为函数有一个零点有一个实数根与有一个交点.当时，由图可知满足题意；当时，在上无零点；当时，令，得令，得所以，当时，有最大值因为函数有一个零点，所以，解得综上，a的取值范围为.23．已知函数.(1)求的极值；(2)若有两个零点，求实数m的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】【分析】（1）由题知，进而分和两种情况讨论求解；（2）结合（1）得当时，不可能有两个零点；当时，只需的极小值，进而令函数，，再根据单调性和解不等式即可.(1)解：，所以，当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值；当时，令得，令得，此时函数在上单调递增，在上单调递减；所以当时，取得极小值，无极大值.综上，当时，无极值；当时，时取得极小值，无极大值.(2)解：由，所以，当时，由（1）知，函数在上单调递增，不可能有两个零点；当时，由（1）知在上递减，上递增，的极小值为，又，趋向正无穷时趋于正无穷大，所以只需，即可保证有两个零点.故令且，则，所以递减，又，所以，所以时，有两个零点.即m的取值范围是.24．函数．(1)若函数有2个零点，求实数a的取值范围；(2)若在上的值域为，求实数a的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的单调性和最小值，由最小值小于即可解得结果；（2）根据得到，得到函数在上为减函数，进而求出最小值和最大值，结合已知的值域列式可求出的值.(1)的定义域为，，当时，，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以当时，取得最小值，为，因为当趋近于时，趋近于，当趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，所以若函数有2个零点，则，解得.(2)由（1）可知，函数在上为减函数，在上为增函数，且的最小值，为，若在上的值域为，则，即，所以，所以函数在上为减函数，所以，，解得符合题意；综上所述：【点睛】关键点点睛：第二问中，利用函数在上的最小值小于等于在上的最小值，求出的范围，这样避免分类讨论是解题关键.25．已知函数．(1)若，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；(2)若方程有三个不同的根，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）当时，求出函数的导数，再利用导数的几何意义直接求出切线方程作答；（2）求出函数的导数，构造函数，再探讨其性质，利用直线与曲线有三个公共点求解作答.(1)当时，函数定义域为，求导得：，则，而，则有，即，所以所求切线方程为：．(2)函数定义域为，求导得：，而方程，则有三个不同的根，即直线与曲线有三个公共点，令，则，当时，，当或时，，即函数在上单调递增，在和上单调递减，因为，，，在同一坐标系内作出直线及函数的图象，观察图象得，直线与曲线有三个公共点时，，所以a的取值范围是．针对练习六利用导数证明一般不等式26．已知函数，.(1)若在定义域上单调递减，求的取值范围；(2)若，，证明：当时，.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）分析可知对任意的，恒成立，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围；（2）将所证不等式变形为，令，其中，利用导数求得，即可证得结论成立.(1)解：函数的定义域为，，由题意可知，对任意的，恒成立，则，解得.因此，实数的取值范围是.(2)证明：当时，，要证，即证，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则，因此，当时，，对任意的，.27．已知．(1)当时，判断函数零点的个数；(2)求证：.【答案】(1)1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把代入，求导得函数的单调性，再由作答.（2）构造函数，利用导数借助单调性证明作答.(1)当时，，，当且仅当时取“=”，所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，所以函数零点的个数是1.(2)，令，则，因，则，因此，函数在上单调递增，，，所以当时，成立.28．已知函数．(1)求的最大值；(2)证明：．【答案】(1)-1(2)证明见解析【解析】【分析】（1）设，利用导数判断单调性，求出的最大值为；（2）先由（1）可得，证明出；再设，利用导数证明出得到，即证.(1)设，∴，令，解得当，函数单调递增，当时，函数单调递减，∴当时，函数有最大值，最大值为，(2)由（1）可得，所以.再设，∴，∵，在上恒成立，所以在上单调递增，∴，∴，综上可得．29．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导可得，再分和两种情况讨论即可；（2）当根据函数的正负证明，当时，转证，构造函数求导分析单调性与最值即可(1)依题意知，，令得，当时，在上，单调递减，在单调递增；当时，在上，单调递增，在单调递减.(2)依题意，要证，①当时，，，故原不等式成立，②当时，要证：，即证：，令，则，，∴在单调递减，∴，∴在单调递减，∴，即，故原不等式成立.30．已知函数.(1)求的最小值；(2)若，证明：.【答案】(1)0；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；（2）即证，设，求出函数的最小值即得证.(1)解：由题意可得.由，得；由，得.则在上单调递减，在上单调递增，故.(2)证明：要证，即证，即证.设，则.由（1）可知当时，.由，得，由，得，则，当且仅当时，等号成立.即.针对练习七利用导数证明含n的不等式31．已知函数.(1)当时，求函数的最大值；(2)证明：对任意正整数n，【答案】(1)0(2)证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，然后通过导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的最值，（2）当时，可判断出函数在上递减，从而可得，则，，累加可得答案(1)由，得，（）令，则或，因为，所以，所以舍去，所以当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值，(2)当时，，则，所以当时，，所以在上递减，所以，所以，因为，所以，，所以，，，……，，所以，所以【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用