高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.4椭圆及其性质(精练)(原卷版+解析)

8.4椭圆及其性质【题型解读】【题型一椭圆的定义及应用】1.(2023·全国·高三阶段练习）“”是“曲线：（）是焦点在轴上的椭圆”的（

）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件2.(2023·江苏省如皋中学高三开学考试）椭圆与关系为（）A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率C．有相同的焦点 D．有相等的焦距3.△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0) B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)4.(2023·武汉调研)设椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为()A．4＋eq\r(5) B．6C．2eq\r(5)＋2 D．85.(2023·全国·高三专题练习）已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，则的最小值______________6.(2023·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．【题型二焦点三角形问题】1.（多选）（2023·河北唐山·高三开学考试）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（）A．5 B．4 C． D．2.(2023·山东日照高三模拟）椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则________.3.(2023·重庆一中高三期中）已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（）A．20 B．16 C．18 D．144.(2023·武功县普集高级中学期末）已知为椭圆上一点，、是焦点，，则______．5.(2023·全国高三模拟）设F1，F2是椭圆C：=1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（

）A． B． C． D．【题型三椭圆的标准方程】1.(2023·全国高三专题练习）过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．2.(2023·广东深圳市·高三二模）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（）A． B．C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）（多选）若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（）A． B． C． D．4.(2023·全国·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是()A.eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,7)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝15.(2023·山西太原五中高三期末）已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝16.(2023·山西高三开学考试）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点、在x轴上，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，且的周长为16，那么C的方程为（）A． B．C． D．【题型四椭圆的性质】1.已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.2.过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．3.(2023·浙江·高三开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．4.(2023·江西·高三开学考试）已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．5.(2023·全国·高三专题练习）已知A，B是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为________．8.4椭圆及其性质【题型解读】【题型一椭圆的定义及应用】1.(2023·全国·高三阶段练习）“”是“曲线：（）是焦点在轴上的椭圆”的（

）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件答案：C【解析】因为（）是焦点在轴上的椭圆，所以,解得：，由可得成立，反之不能推出成立.所以”是“曲线：（）是焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件．故选：C．2.(2023·江苏省如皋中学高三开学考试）椭圆与关系为（）A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率C．有相同的焦点 D．有相等的焦距答案：D【解析】由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝，对于椭圆，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠，故选项D正确，其他选项错误.故选：D.3.△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0) B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)答案：A【解析】由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.所以方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.又A，B，C三点不能共线，所以eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0)．4.(2023·武汉调研)设椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为()A．4＋eq\r(5) B．6C．2eq\r(5)＋2 D．8答案：D【解析】设F1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，当A，B，F1三点共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，当A，B，F1三点不共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|<0，所以当A，B，F1三点共线时，△ABF的周长取得最大值8.5.(2023·全国·高三专题练习）已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，则的最小值______________【解析】由椭圆的方程化为，可得，∴．如图所示．∵，∴．当且仅当三点共线时取等号．∴的最小值为．6.(2023·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．答案：【解析】由题,设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.则椭圆的焦点为.又,.故,当且仅当分别在的延长线上时取等号.此时最大值为.故答案为：.【题型二焦点三角形问题】1.（多选）（2023·河北唐山·高三开学考试）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（）A．5 B．4 C． D．答案：BC【解析】由可得，，所以，根据对称性只需考虑或，当时，将代入可得，如图：，，所以的面积为，当时，由椭圆的定义可知：，由勾股定理可得，因为，所以，解得：，此时的面积为，综上所述：的面积为或.故选：BC.2.(2023·山东日照高三模拟）椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则________.答案：【解析】根据题意，椭圆，其中，，则，点在椭圆上，若，则，在△中，，，，则，则有，故答案为．3.(2023·重庆一中高三期中）已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（）A．20 B．16 C．18 D．14答案：C【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.4.(2023·武功县普集高级中学期末）已知为椭圆上一点，、是焦点，，则______．答案：【解析】由已知得，，所以，从而，在中，，即，①由椭圆的定义得，即，②由①②得，所以.故答案为：5.(2023·全国高三模拟）设F1，F2是椭圆C：=1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由椭圆的定义，，由余弦定理有：，化简整理得：，又，由以上两式可得：由，得，∴，又，所以F1PQ为等边三角形，由椭圆对称性可知轴，所以.故选：B.【题型三椭圆的标准方程】1.(2023·全国高三专题练习）过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．答案：【解析】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，设它的标准方程为(a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，又点(，－)在所求椭圆上，即，联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20，所以所求椭圆的标准方程为.故答案为：2.(2023·广东深圳市·高三二模）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（）A． B．C． D．答案：B【解析】∵焦点F1，F2在y轴上，∴可设椭圆标准方程为，由题意可得，∴，即，∵△F2AB的周长为32，∴4a＝32，则a＝8，∴，故椭圆方程为．故选：B．3．(2023·全国·高三专题练习）（多选）若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（）A． B． C． D．答案：BC【解析】设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和，则，即．因为，则，所以．对A，a=4,c=1，不满足；对B，a=3,c=1，满足；对C，a=5,c=2，满足；对D，a=6,，不满足.故选：BC．4.(2023·全国·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是()A.eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,7)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1答案：C【解析】设|MF1|＝m，|MF2|＝n，因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2eq\r(5)，所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.因为c＝eq\r(5)，所以b＝eq\r(a2－c2)＝2.所以椭圆的方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.5.(2023·山西太原五中高三期末）已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1答案：B【解析】设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝eq\f(3,2)|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F2(1,0)，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(b,2))).将B点坐标代入椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(9,4a2)＋eq\f(b2,4b2)＝1，∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.6.(2023·山西高三开学考试）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点、在x轴上，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，且的周长为16，那么C的方程为（）A． B．C． D．答案：D【解析】根据题意，的周长为16，即,根据椭圆的性质，有，即；椭圆的离心率为，即，则，故，则，则椭圆的方程为，故选：D．【题型四椭圆的性质】1.已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.答案：【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，，∴当且仅当取等号，∵直线l上存在点P满足∴即，∴，即，所以，故椭圆离心率的最大值为.故答案为：.2.过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】在中，由正