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8.4椭圆及其性质【题型解读】【题型一椭圆的定义及应用】1.(2023·全国·高三阶段练习)“”是“曲线:()是焦点在轴上的椭圆”的(
)A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充分不必要条件2.(2023·江苏省如皋中学高三开学考试)椭圆与关系为()A.有相等的长轴长 B.有相等的离心率C.有相同的焦点 D.有相等的焦距3.△ABC的两个顶点为A(-3,0),B(3,0),△ABC周长为16,则顶点C的轨迹方程为()A.eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1(y≠0) B.eq\f(y2,25)+eq\f(x2,16)=1(y≠0)C.eq\f(x2,16)+eq\f(y2,9)=1(y≠0) D.eq\f(y2,16)+eq\f(x2,9)=1(y≠0)4.(2023·武汉调研)设椭圆eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1的一个焦点为F,则对于椭圆上两动点A,B,△ABF周长的最大值为()A.4+eq\r(5) B.6C.2eq\r(5)+2 D.85.(2023·全国·高三专题练习)已知为椭圆的左焦点,P为椭圆上半部分上任意一点,A(1,1)为椭圆内一点,则的最小值______________6.(2023·四川省隆昌市第一中学高三开学考试)已知为椭圆上的一点,若,分别是圆和上的点,则的最大值为________.【题型二焦点三角形问题】1.(多选)(2023·河北唐山·高三开学考试)已知椭圆:的左、右焦点分别为,,点在上,若是直角三角形,则的面积可能为()A.5 B.4 C. D.2.(2023·山东日照高三模拟)椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,若,则________.3.(2023·重庆一中高三期中)已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于()A.20 B.16 C.18 D.144.(2023·武功县普集高级中学期末)已知为椭圆上一点,、是焦点,,则______.5.(2023·全国高三模拟)设F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在椭圆C上,延长PF2交椭圆C于点Q,且|PF1|=|PQ|,若PF1F2的面积为,则=(
)A. B. C. D.【题型三椭圆的标准方程】1.(2023·全国高三专题练习)过点(,-),且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______.2.(2023·广东深圳市·高三二模)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在y轴上,其面积为8π,过点F1的直线l与椭圆C交于点A,B且△F2AB的周长为32,则椭圆C的方程为()A. B.C. D.3.(2023·全国·高三专题练习)(多选)若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1,则称该椭圆为“倍径椭圆”.则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是()A. B. C. D.4.(2023·全国·模拟预测)已知椭圆的两个焦点为F1(-eq\r(5),0),F2(eq\r(5),0),M是椭圆上一点,若MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,则该椭圆的方程是()A.eq\f(x2,7)+eq\f(y2,2)=1 B.eq\f(x2,2)+eq\f(y2,7)=1C.eq\f(x2,9)+eq\f(y2,4)=1 D.eq\f(x2,4)+eq\f(y2,9)=15.(2023·山西太原五中高三期末)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.eq\f(x2,2)+y2=1 B.eq\f(x2,3)+eq\f(y2,2)=1C.eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1 D.eq\f(x2,5)+eq\f(y2,4)=16.(2023·山西高三开学考试)在平面直角坐标系xoy中,椭圆C的中心为原点,焦点、在x轴上,离心率为,过的直线l交C于A、B两点,且的周长为16,那么C的方程为()A. B.C. D.【题型四椭圆的性质】1.已知点为椭圆的左顶点,为坐标原点,过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l,若直线l上存在点P满足,则椭圆离心率的最大值______________.2.过椭圆的左、右焦点,作倾斜角分别为和的两条直线,.若两条直线的交点P恰好在椭圆上,则椭圆的离心率为(
)A. B.C. D.3.(2023·浙江·高三开学考试)椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线l交椭圆C于A,B两点,若,,则椭圆C的离心率为(
)A. B. C. D.4.(2023·江西·高三开学考试)已知椭圆,直线与椭圆C交于A,B两点,O为原点,若三角形AOB是等腰直角三角形,则椭圆C的离心率为(
)A. B. C. D.5.(2023·全国·高三专题练习)已知A,B是椭圆E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)上的两点,且A,B关于坐标原点对称,F是椭圆的一个焦点,若△ABF面积的最大值恰为2,则椭圆E的长轴长的最小值为________.8.4椭圆及其性质【题型解读】【题型一椭圆的定义及应用】1.(2023·全国·高三阶段练习)“”是“曲线:()是焦点在轴上的椭圆”的(
)A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充分不必要条件答案:C【解析】因为()是焦点在轴上的椭圆,所以,解得:,由可得成立,反之不能推出成立.所以”是“曲线:()是焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选:C.2.(2023·江苏省如皋中学高三开学考试)椭圆与关系为()A.有相等的长轴长 B.有相等的离心率C.有相同的焦点 D.有相等的焦距答案:D【解析】由题意,对于椭圆,焦点在x轴上,a=5,b=3,所以c==4,则离心率e==,对于椭圆,因为25-k>9-k>0,所以焦点在y轴上,a=≠5,b=≠3,所以c==4,则离心率e==≠,故选项D正确,其他选项错误.故选:D.3.△ABC的两个顶点为A(-3,0),B(3,0),△ABC周长为16,则顶点C的轨迹方程为()A.eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1(y≠0) B.eq\f(y2,25)+eq\f(x2,16)=1(y≠0)C.eq\f(x2,16)+eq\f(y2,9)=1(y≠0) D.eq\f(y2,16)+eq\f(x2,9)=1(y≠0)答案:A【解析】由题知点C到A,B两点的距离之和为10,故C的轨迹为以A(-3,0),B(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆,故2a=10,c=3,b2=a2-c2=16.所以方程为eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1.又A,B,C三点不能共线,所以eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1(y≠0).4.(2023·武汉调研)设椭圆eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1的一个焦点为F,则对于椭圆上两动点A,B,△ABF周长的最大值为()A.4+eq\r(5) B.6C.2eq\r(5)+2 D.8答案:D【解析】设F1为椭圆的另外一个焦点,则由椭圆的定义可得|AF|+|BF|+|AB|=2a-|AF1|+2a-|BF1|+|AB|=4a+|AB|-|BF1|-|AF1|=8+|AB|-|BF1|-|AF1|,当A,B,F1三点共线时,|AB|-|BF1|-|AF1|=0,当A,B,F1三点不共线时,|AB|-|BF1|-|AF1|<0,所以当A,B,F1三点共线时,△ABF的周长取得最大值8.5.(2023·全国·高三专题练习)已知为椭圆的左焦点,P为椭圆上半部分上任意一点,A(1,1)为椭圆内一点,则的最小值______________【解析】由椭圆的方程化为,可得,∴.如图所示.∵,∴.当且仅当三点共线时取等号.∴的最小值为.6.(2023·四川省隆昌市第一中学高三开学考试)已知为椭圆上的一点,若,分别是圆和上的点,则的最大值为________.答案:【解析】由题,设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.则椭圆的焦点为.又,.故,当且仅当分别在的延长线上时取等号.此时最大值为.故答案为:.【题型二焦点三角形问题】1.(多选)(2023·河北唐山·高三开学考试)已知椭圆:的左、右焦点分别为,,点在上,若是直角三角形,则的面积可能为()A.5 B.4 C. D.答案:BC【解析】由可得,,所以,根据对称性只需考虑或,当时,将代入可得,如图:,,所以的面积为,当时,由椭圆的定义可知:,由勾股定理可得,因为,所以,解得:,此时的面积为,综上所述:的面积为或.故选:BC.2.(2023·山东日照高三模拟)椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,若,则________.答案:【解析】根据题意,椭圆,其中,,则,点在椭圆上,若,则,在△中,,,,则,则有,故答案为.3.(2023·重庆一中高三期中)已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于()A.20 B.16 C.18 D.14答案:C【解析】根据椭圆方程可知,根据椭圆的定义可知,的周长为,故选C.4.(2023·武功县普集高级中学期末)已知为椭圆上一点,、是焦点,,则______.答案:【解析】由已知得,,所以,从而,在中,,即,①由椭圆的定义得,即,②由①②得,所以.故答案为:5.(2023·全国高三模拟)设F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在椭圆C上,延长PF2交椭圆C于点Q,且|PF1|=|PQ|,若PF1F2的面积为,则=(
)A. B. C. D.答案:B【解析】由椭圆的定义,,由余弦定理有:,化简整理得:,又,由以上两式可得:由,得,∴,又,所以F1PQ为等边三角形,由椭圆对称性可知轴,所以.故选:B.【题型三椭圆的标准方程】1.(2023·全国高三专题练习)过点(,-),且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______.答案:【解析】所求椭圆与椭圆的焦点相同,则其焦点在y轴上,半焦距c有c2=25-9=16,设它的标准方程为(a>b>0),于是得a2-b2=16,又点(,-)在所求椭圆上,即,联立两个方程得,即,解得b2=4,则a2=20,所以所求椭圆的标准方程为.故答案为:2.(2023·广东深圳市·高三二模)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在y轴上,其面积为8π,过点F1的直线l与椭圆C交于点A,B且△F2AB的周长为32,则椭圆C的方程为()A. B.C. D.答案:B【解析】∵焦点F1,F2在y轴上,∴可设椭圆标准方程为,由题意可得,∴,即,∵△F2AB的周长为32,∴4a=32,则a=8,∴,故椭圆方程为.故选:B.3.(2023·全国·高三专题练习)(多选)若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1,则称该椭圆为“倍径椭圆”.则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是()A. B. C. D.答案:BC【解析】设点P到椭圆两个焦点的距离分别为m和,则,即.因为,则,所以.对A,a=4,c=1,不满足;对B,a=3,c=1,满足;对C,a=5,c=2,满足;对D,a=6,,不满足.故选:BC.4.(2023·全国·模拟预测)已知椭圆的两个焦点为F1(-eq\r(5),0),F2(eq\r(5),0),M是椭圆上一点,若MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,则该椭圆的方程是()A.eq\f(x2,7)+eq\f(y2,2)=1 B.eq\f(x2,2)+eq\f(y2,7)=1C.eq\f(x2,9)+eq\f(y2,4)=1 D.eq\f(x2,4)+eq\f(y2,9)=1答案:C【解析】设|MF1|=m,|MF2|=n,因为MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,|F1F2|=2eq\r(5),所以m2+n2=20,mn=8,所以(m+n)2=36,所以m+n=2a=6,所以a=3.因为c=eq\r(5),所以b=eq\r(a2-c2)=2.所以椭圆的方程是eq\f(x2,9)+eq\f(y2,4)=1.5.(2023·山西太原五中高三期末)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.eq\f(x2,2)+y2=1 B.eq\f(x2,3)+eq\f(y2,2)=1C.eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1 D.eq\f(x2,5)+eq\f(y2,4)=1答案:B【解析】设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),由椭圆定义可得|AF1|+|AB|+|BF1|=4a.∵|AB|=|BF1|,∴|AF1|+2|AB|=4a.又|AF2|=2|F2B|,∴|AB|=eq\f(3,2)|AF2|,∴|AF1|+3|AF2|=4a.又|AF1|+|AF2|=2a,∴|AF2|=a,∴A为椭圆的短轴端点.如图,不妨设A(0,b),又F2(1,0),eq\o(AF2,\s\up6(→))=2eq\o(F2B,\s\up6(→)),∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),-\f(b,2))).将B点坐标代入椭圆方程eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1,得eq\f(9,4a2)+eq\f(b2,4b2)=1,∴a2=3,b2=a2-c2=2.∴椭圆C的方程为eq\f(x2,3)+eq\f(y2,2)=1.6.(2023·山西高三开学考试)在平面直角坐标系xoy中,椭圆C的中心为原点,焦点、在x轴上,离心率为,过的直线l交C于A、B两点,且的周长为16,那么C的方程为()A. B.C. D.答案:D【解析】根据题意,的周长为16,即,根据椭圆的性质,有,即;椭圆的离心率为,即,则,故,则,则椭圆的方程为,故选:D.【题型四椭圆的性质】1.已知点为椭圆的左顶点,为坐标原点,过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l,若直线l上存在点P满足,则椭圆离心率的最大值______________.答案:【解析】由对称性不妨设P在x轴上方,设,,∴当且仅当取等号,∵直线l上存在点P满足∴即,∴,即,所以,故椭圆离心率的最大值为.故答案为:.2.过椭圆的左、右焦点,作倾斜角分别为和的两条直线,.若两条直线的交点P恰好在椭圆上,则椭圆的离心率为(
)A. B.C. D.答案:C【解析】在中,由正
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