高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.2三角函数恒等变换(精讲)(原卷版+解析)

4.2三角函数恒等变换【题型解读】【知识必备】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)(T2α)3．公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下：降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).正切和差公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.配方变形：1＋sinα＝(sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2))2，1－sinα＝(sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2))2.4．辅助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).【题型精讲】【题型一两角和与差公式】必备技巧两角和差公式常见题型及解法(1)两特殊角和差的题型，利用两角和差公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和差公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和差，然后利用两角和差公式求解．例1（1）(2023·四川省岳池中学）（

）A． B． C． D．（2）(2023·江苏省前黄高级中学高一阶段练习）（

）A． B． C． D．（3）(2023·四川凉山·高三期中）_________．（4）(2023·山西应县一中高三期中）的值为（）A． B． C． D．例2(2023·江西省铜鼓中学高三期末）已知，，则的值为（）A． B． C． D．例3(2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（

）A． B． C． D．【跟踪精练】1．(2023·安徽蚌埠·高三期末）求值：（）A． B． C． D．2.(2023·甘肃）_______.3．(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（

）A． B． C． D．【题型二二倍角公式】必备技巧二倍角公式的应用(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．例4(2023·全国高三课时练习）（多选）下列三角式中，值为1的是（）A． B．C． D．例5(2023·全国高三二模）已知，则【跟踪精练】1．(2023·山东·模拟预测）若，，则（

）A． B． C． D．2.(2023·合肥市第八中学高三）已知，则的值是（）A． B． C． D．【题型三辅助角公式的应用】例6(2023·全国·高三课时练习）将下列各式化成的形式(1)；(2)；(3)；(4).【跟踪精练】1.(2023·江西九江·三模）已知，则（

）A． B． C． D．【题型四给值求值】方法技巧给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．例7（1）(2023·商丘市第一高级中学高三期末）已知，，则（）A． B．3 C．13 D．（2）(2023·湖南娄星·娄底一中高三期末）已知为锐角，且，则（）A． B． C． D．（3）(2023·河南林州一中高三月考）若，，，，则（）A． B． C． D．【题型精练】1．(2023·江西省铜鼓中学高三期末）已知，，则的值为（）A． B． C． D．2．(2023·阜新市第二高级中学高三期末）已知，则__________．3.(2023·四川眉山市·仁寿一中高三开学考试）已知，.（1）求；（2）已知，.求.【题型五给值求角】方法技巧已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．例8(2023·辽宁沈阳·高三期中）已知为锐角，为钝角且，，则的值为（）A． B． C． D．例9(2023·湖北东西湖·华中师大一附中高三月考）若，，，，则角的值为（）A． B． C． D．【题型精练】1．(2023·全国高三课时练习）已知，其中，求角的值.2．(2023·江苏南师大二附中高三月考）已知，均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．【题型六恒等变换】方法技巧三角函数式化简的常用方法：（1）异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数；（2）异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一；（3）异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次例10（1）(2023·安徽相山·淮北一中月考）（）A．1 B． C． D．（2）(2023·山西应县一中高三期中）的值为（）A．1 B．2 C．1 D．2【题型精练】1．(2023·福建高三期末）__________.2．(2023·全国专题练习）_______.4.2三角函数恒等变换【题型解读】【知识必备】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)(T2α)3．公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下：降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).正切和差公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.配方变形：1＋sinα＝(sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2))2，1－sinα＝(sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2))2.4．辅助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).【题型精讲】【题型一两角和与差公式】必备技巧两角和差公式常见题型及解法(1)两特殊角和差的题型，利用两角和差公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和差公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和差，然后利用两角和差公式求解．例1（1）(2023·四川省岳池中学）（

）A． B． C． D．答案：A【解析】故选：A（2）(2023·江苏省前黄高级中学高一阶段练习）（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，由两角和的正弦公式，可知故答案为：C（3）(2023·四川凉山·高三期中）_________．答案：【解析】由题意得：由两角和的正切公式，可令，可得故答案为：（4）(2023·山西应县一中高三期中）的值为（）A． B． C． D．答案：A【解析】由题意，得，故选A.例2(2023·江西省铜鼓中学高三期末）已知，，则的值为（）A． B． C． D．答案：B【解析】由，，.故选：B例3(2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】且，，.又，，.当时，，，，不合题意，舍去；当，同理可求得，符合题意.综上所述：.故选：.【跟踪精练】1．(2023·安徽蚌埠·高三期末）求值：（）A． B． C． D．答案：C【解析】解：，故选：C.2.(2023·甘肃）_______.答案：【解析】由题，，，故原式可化为，故答案为：3．(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（

）A． B． C． D．答案：C【详解】均为锐角，即，，，又，，又，.故选：C.【题型二二倍角公式】必备技巧二倍角公式的应用(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．例4(2023·全国高三课时练习）（多选）下列三角式中，值为1的是（）A． B．C． D．答案：ABC【解析】A选项,，故正确.B选项，，故正确.C选项，，故正确.D选项，，故错误故选：ABC例5(2023·全国高三二模）已知，则答案：【解析】.【跟踪精练】1．(2023·山东·模拟预测）若，，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，，所以，所以.故选：D2.(2023·合肥市第八中学高三）已知，则的值是（）A． B． C． D．答案：A【解析】令，则，，故，故选：A.【题型三辅助角公式的应用】例6(2023·全国·高三课时练习）将下列各式化成的形式(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1)；(2)；(3)；(4)【跟踪精练】1.(2023·江西九江·三模）已知，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，即，故选：B【题型四给值求值】方法技巧给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．例7（1）(2023·商丘市第一高级中学高三期末）已知，，则（）A． B．3 C．13 D．（2）(2023·湖南娄星·娄底一中高三期末）已知为锐角，且，则（）A． B． C． D．（3）(2023·河南林州一中高三月考）若，，，，则（）A． B． C． D．答案：（1）D（2）B（3）D【解析】（1），，，，.故选：D（2）∵cos（α）（α为锐角），∴α为锐角，∴sin（α），∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin，故选B．（3），，则，，，，因此，.故选：D.【题型精练】1．(2023·江西省铜鼓中学高三期末）已知，，则的值为（）A． B． C． D．答案：B【解析】由，，.故选：B2．(2023·阜新市第二高级中学高三期末）已知，则__________．答案：【解析】∵，∴,∴．又，∴．∴．答案：3.(2023·四川眉山市·仁寿一中高三开学考试）已知，.（1）求；（2）已知，.求.答案：（1）；（2）.【解析】（1），，（2），【题型五给值求角】方法技巧已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．例8(2023·辽宁沈阳·高三期中）已知为锐角，为钝角且，，则的值为（）A