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文档简介
第四章三角函数与解三角形4.4.1解三角形的实际应用(题型战法)知识梳理一解三角形的最值问题1.三角函数法:在三角函数中,正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性,这是求解三角最值问题的最常用的方法。另外,在解三角形问题中,两大利器就是正弦定理和余弦定理,它们两个的基本操作方法无非就是“角化边”或者“边化角”,将多元问题降元,转变成一元问题,再结合三角函数的有界性即可求解出最值。2.基本不等式法:利用正弦定理或余弦定理,转化为二元问题,再利用基本不等式及其推论求解最值。二组合图形问题双-余弦定理在由两个三角形拼接而成的组合图形中,如果条件中边长比较多可以尝试在两个三角形内分别使用余弦定理,再根据其中一组角的关系将两个等式联立解方程。双-正弦定理在由两个三角形拼接而成的组合图形中,如果条件中角度比较多可以尝试在两个三角形内分别使用正弦定理,再将两式相除,带入条件进行求解。三中线、角平分线、垂线1.中线:向量恒等式结论2.角平分线:等面积法(大三角形面积等于两小三角形面积之和)、角分线定理3.垂线:等面积法(同一三角形求两次面积相等)四解三角形的实际应用高度测量问题:仰角、俯角距离测量问题:方位角、方向角题型战法题型战法一角、边的最值典例1.在中,内角对应的边分别为,若且为钝角.(1)求角与角的关系;(2)求的取值范围.变式1-1.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)若,且,求△ABC的面积;(2)求的最大值.变式1-2.在中,角,,的对边分别为,,,且.(1)求角;(2)若,求的取值范围.变式1-3.已知分别为三个内角的对边,.(1)求;(2)若,求的最大值.变式1-4.在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,,(1)求角A;(2)若,求a的最小值.题型战法二周长的最值典例2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,且.(1)求角B的大小;(2)若,求△ABC周长的取值范围.变式2-1.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若_____________.(请从①;②;③这三个条件中任选一个填入上空)(1)求角C;(2)若时,求周长的最大值.变式2-2.在中,角的对边分别为,其中,且.(1)求角的大小;(2)求周长的取值范围.变式2-3.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求角A的大小;(2)若,求周长的最大值.变式2-4.在中,角,,所对的边分别为,,,且满足.(1)求;(2)若的面积为,求周长的最小值.题型战法三面积的最值典例3.在锐角中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,并且.(1)求b的值;(2)若,求面积的取值范围.变式3-1.在中,已知向量,,且.(1)求A;(2)若,求面积的最大值.变式3-2.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.(1)求A;(2)若是锐角三角形,且,求面积的取值范围.变式3-3.的内角,,的对边分别是,,,设.(1)若,求;(2)若,求的面积的最大值.变式3-4.在①;②;③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题,问题:在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且___________.(1)求角B的大小;(2)点D在BA的延长线上,且A为BD的中点,线段CD的长度为2,求△ABC的面积的最大值.题型战法四组合图形问题典例4.如图,在中,,AB=8,点D在边BC上,,CD=2.(1)求的值;(2)求的值.变式4-1.如图,在中,的垂直平分线交边于点.(1)求的长;(2)若,求的值.变式4-2.如图,在四边形中,,,.(1)求的长;(2)若的面积为6,求的值.变式4-3.如图,在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.(1)求的值;(2)在的延长线上有一点D,使得,求.变式4-4.如图,直角中,点M,N在斜边BC上(M,N异于B,C,且N在M,C之间),,,,设.(1)若,求MN的长;(2)求面积的最小值.题型战法五中线、角分线、垂线典例5.已知在中,.(1)求边的长;(2)求边上的中线的长.变式5-1.锐角中,角、、所对的边分别为、、,且.(1)求角的大小;(2)若边,边的中点为,求中线长的取值范围.变式5-2.在①;②;③,这三个条作中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)求角C的大小;(2)若,求的中线长度的最小值.变式5-3.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求A的大小;(2)若A的角平分线交BC于D,且AD=3,求△ABC面积的最小值.变式5-4.在中,设内角,,的对边分别为,,,且.(1)若,,成等比数列,求证:;(2)若(为锐角),.求中边上的高.题型战法六解三角形的实际应用问题典例6.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡角为的观礼台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为和,第一排和最后一排的距离为米(即图中线段),旗杆底部与第一排在同一水平面上.(1)求旗杆长度;(2)若国歌播放的时间约为50秒,升旗手应以约多大的速度匀速升旗?变式6-1.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼,某学生选,两处作为测量点,测得的距离为m,,,在处测得大楼楼顶的仰角为.(1)求两点间的距离;(2)求大楼的高度.(第(2)问不计经纬仪的高度,计算结果精确到m.参考数据:,,)变式6-2.已知村庄在村庄的东偏北方向,且村庄之间的距离是千米,村庄在村庄的北偏西方向,且村庄在村庄的正西方向,现要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场,使得农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍.(1)求村庄之间的距离;(2)求农贸市场到村庄的距离之和.变式6-3.如图,某轮船从海岛A出发沿正北方向航行,灯塔B在海岛A北偏西75°的方向上,且与海岛A相距,灯塔C在海岛A北偏东30°的方向上,且与海岛A相距,该轮船航行到D处时看到灯塔B在北偏西135°的方向上.(1)求D与海岛A的距离;(2)求D与灯塔C的距离.变式6-4.海岸上建有相距海里的雷达站C,D,某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后,调配附近的A船紧急前往救援,雷达站测得角度数据为,.(1)救援出发时,A船距离雷达站C距离为多少?(2)若A船以30海里每小时的速度前往B处,能否在3小时内赶到救援?第四章三角函数与解三角形4.4.1解三角形的实际应用(题型战法)知识梳理一解三角形的最值问题1.三角函数法:在三角函数中,正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性,这是求解三角最值问题的最常用的方法。另外,在解三角形问题中,两大利器就是正弦定理和余弦定理,它们两个的基本操作方法无非就是“角化边”或者“边化角”,将多元问题降元,转变成一元问题,再结合三角函数的有界性即可求解出最值。2.基本不等式法:利用正弦定理或余弦定理,转化为二元问题,再利用基本不等式及其推论求解最值。二组合图形问题双-余弦定理在由两个三角形拼接而成的组合图形中,如果条件中边长比较多可以尝试在两个三角形内分别使用余弦定理,再根据其中一组角的关系将两个等式联立解方程。双-正弦定理在由两个三角形拼接而成的组合图形中,如果条件中角度比较多可以尝试在两个三角形内分别使用正弦定理,再将两式相除,带入条件进行求解。三中线、角平分线、垂线1.中线:向量恒等式结论2.角平分线:等面积法(大三角形面积等于两小三角形面积之和)、角分线定理3.垂线:等面积法(同一三角形求两次面积相等)四解三角形的实际应用高度测量问题:仰角、俯角距离测量问题:方位角、方向角题型战法题型战法一角、边的最值典例1.在中,内角对应的边分别为,若且为钝角.(1)求角与角的关系;(2)求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理的边角互化即可求解.(2)由(1)可得,由,解得,再利用三角函数的性质即可求解.【详解】∵,由正弦定理得,∴.∵B为钝角,∴A为锐角,∴,∴.(2).∵,∴,∴,∴,∴.变式1-1.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)若,且,求△ABC的面积;(2)求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由余弦定理及已知可得,再应用三角形面积公式求面积即可.(2)由题设有,根据已知及余弦定理有,再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得,即可得,进而求最值.(1)由,故,而,所以,故.(2)由,故,即,由余弦定理知:,即,所以,即,又,故,由,则或(舍),所以,则,即,,而,所以,当时有最大值为.【点睛】关键点点睛:第二问,注意综合应用正余弦定理得到,再根据三角形内角的性质、三角恒等变换得到的关系及角的范围,进而求最值.变式1-2.在中,角,,的对边分别为,,,且.(1)求角;(2)若,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边化角,再利用两角和的正弦公式及诱导公式计算可得;(2)利用正弦定理将边化角,再利用三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得;(1)解:因为,由正弦定理得,即,即,因为,所以,所以.因为,所以,所以,因为,所以.(2)解:由正弦定理得,所以,所以.因为,所以,所以,所以.变式1-3.已知分别为三个内角的对边,.(1)求;(2)若,求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据正弦定理,结合两角和差的正弦公式进行求解即可.(2)利用正弦定理得到、,则,再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得;(1)解:,,即,即,得,即,,,又,所以.(2)解:因为,,由正弦定理其中,由于,所以当时,变式1-4.在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,,(1)求角A;(2)若,求a的最小值.【答案】(1)(2)2【解析】【分析】(1)利用诱导公式及正弦定理将边化角,再结合二倍角公式计算可得;(2)由数量积的定义求出,再由余弦定理及基本不等式计算可得;(1)解:在,由,所以,即,再由正弦定理得,,因为,∴,因为,所以,∴.(2)解:由,即,所以.由当且仅当时,所以的最小值为2.题型战法二周长的最值典例2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,且.(1)求角B的大小;(2)若,求△ABC周长的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;(2)先利用余弦定理及基本不等式得到,然后根据三角形两边之和大于第三边,即可求出周长的取值范围..(1)由,又,由,则.由正弦定理得,所以.由余弦定理得,因为,所以.(2)由余弦定理得,∴,得,当且仅当时取等号.又,(三角形任意两边之和大于第三边)∴,∴周长的取值范围为.变式2-1.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若_____________.(请从①;②;③这三个条件中任选一个填入上空)(1)求角C;(2)若时,求周长的最大值.【答案】(1)(2)18【解析】【分析】(1)若选①,首先根据正弦定理得到,再利用余弦定理即可得到,若选②,首先根据正弦定理得到,再利用辅助角公式即可得到,若选③,首先根据正弦定理得到,再利用余弦定理即可得到.(2)利用余弦定理再结合基本不等式求解即可.(1)若选①,因为,所以,,因为,所以.若选②,因为,所以,因为,所以,即.因为,所以,即.若选③,因为,所以,即,所以,,所以.(2)由①②③可得,由余弦定理:,即,所以,解得,当且仅当时取等号.所以周长的最大值是.变式2-2.在中,角的对边分别为,其中,且.(1)求角的大小;(2)求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用两角和的正弦公式及诱导公式得到,再由正弦定理得到,即可得到,即可得解;(2)利用余弦定理及基本不等式得到,再根据求出的取值范围,即可得解;(1)解:因为,即,所以,即,所以,又,,所以,所以,因为,所以;(2)解:因为、,由余弦定理,即,即当且仅当时取等号,所以,所以,所以,所以,所以,即三角形的周长的取值范围为变式2-3.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求角A的大小;(2)若,求周长的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理可得,结合余弦定理可得结果;(2)由余弦定理及均值不等式即可得到结果.(1)∵,∴,∴,∴,又,∴;(2)由余弦定理,得,即.因为,所以.即(当且仅当时等号成立).所以.故周长的最大值.变式2-4.在中,角,,所对的边分别为,,,且满足.(1)求;(2)若的面积为,求周长的最小值.【答案】(1);(2)9.【解析】【分析】(1)由正弦定理进行边化角的运算,化简可得,求正切值,由角的范围可求出具体值;(2)由面积公式可知,由余弦定理可求出的最小值,由基本不等式可求出的最小值,从而求出周长最小值.【详解】解:(1)由正弦定理:化简,可得,所以,即.又,所以.(2)结合三角形的面积公式得到,即.所以,当且仅当时取等号.又由余弦定理得,所以,当且仅当时取等号.所以周长的最小值为.题型战法三面积的最值典例3.在锐角中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,并且.(1)求b的值;(2)若,求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简已知条件,从而求得的值.(2)利用余弦定理求得的取值范围,结合三角形的面积公式求得三角形面积的取值范围.(1)由正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,其中R为的外接圆半径.因为,从而,整理得;又在中,,从而,则.(2)由及余弦定理,又为锐角三角形,因此,即,解得.又,因此面积的取值范围是.变式3-1.在中,已知向量,,且.(1)求A;(2)若,求面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由,可得,根据数量积的坐标表示及正弦定理将角化边,再利用余弦定理计算可得;(2)由(1)可得且,利用基本不等式及三角形面积公式计算可得;(1)解:设中,角的对边分别为,∵,∴又,,∴,即,∴由正弦定理得,∴由余弦定理得,又∵
∴.(2)解:由(1)得,又∵∴即且∴面积又由基本不等式得即当且仅当取等号∴面积故面积的最大值为变式3-2.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.(1)求A;(2)若是锐角三角形,且,求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据正弦定理将边化角或根据余弦定理将角化边.(2)根据正弦定理和面积公式求解即可.(1)(解法一)因为,所以则,即因为,所以,因为所以.(解法二)由全弦定理,得整理得.所以,因为所以.(2)因为,所以,.所以因为△ABC为锐角三角形,所以解得.所以,所以.变式3-3.的内角,,的对边分别是,,,设.(1)若,求;(2)若,求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)结合正、余弦定理对进行化简,再由余弦定理,即可得解;(2)由余弦定理得出,再结合三角形面积公式和同角三角函数的平方关系,推出关于的函数,从而得解.(1)解:,结合正、余弦定理,可得,化简得,,代入,得,由余弦定理知,,,.(2)解:由(1)知,,由余弦定理知,,的面积,当时,取得最大值,即.变式3-4.在①;②;③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题,问题:在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且___________.(1)求角B的大小;(2)点D在BA的延长线上,且A为BD的中点,线段CD的长度为2,求△ABC的面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据正余弦定理,在三角形中实现边角互化,借助和差公式即可求解.(2)在中,根据余弦定理可得,然后根据不等式即可求解最大值,即可求解面积的最大值.(1)若选①;在中,因为故由可得由正弦定理得,即,则,又,故.选②∴∴.若选③由及正弦定理..又,所以.即,因为,所以,又,得.综上所述:选择①②③,都有(2)在中,由余弦定理知∴,当且仅当,即时取等号,此时的最大值为2,面积取得最大值题型战法四组合图形问题典例4.如图,在中,,AB=8,点D在边BC上,,CD=2.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)同角三角函数关系可得,再应用差角正弦公式求、,进而求.(2)应用正余弦定理分别求出BC、AC即可得结果.(1)∵,∴,则.所以,所以.(2)在中,由正弦定理得,则BC=BD+CD=5,在中,由余弦定理得,即AC=7,所以.变式4-1.如图,在中,的垂直平分线交边于点.(1)求的长;(2)若,求的值.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】(1)在中,利用余弦定理可求出的长;(2)由(1)可得,在中,由余弦定理求出,再利用正弦定理可求出的值【详解】解:(1)在中,,整理得,即,所以或.(2)因为,由(1)得,所以.在中,由余弦定理得.所以.由,得.在中,由正弦定理得,即,所以.变式4-2.如图,在四边形中,,,.(1)求的长;(2)若的面积为6,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用余弦定理可得的长;(2)利用面积得出,结合正弦定理可得.【详解】解:(1)由题可知.在中,,所以.(2),则.又,所以.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,已知角较多时一般选用正弦定理,已知边较多时一般选用余弦定理.变式4-3.如图,在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.(1)求的值;(2)在的延长线上有一点D,使得,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)结合正弦定理边化角可求得,进而结合同角基本关系的平方关系即可求出结果.(2)求出,进而在中结合正弦定理即可求出结果.(1)在中,由正弦定理得,又在中,,所以上式可化为.因为,所以,又因为是锐角三角形,.解得.(2)由(1)得:,又是锐角三角形,所以,所以.在中,由正弦定理得:,即,解得.变式4-4.如图,直角中,点M,N在斜边BC上(M,N异于B,C,且N在M,C之间),,,,设.(1)若,求MN的长;(2)求面积的最小值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)且为锐角,,然后在和中,利用正弦定理可分别求得,,;(2)在和中,由正弦定理分别求得和(均用含的式子表示),所以,然后令,求得其在上的最大值,即可得到面积的最小值.(1)解:,,,,且为锐角,,在中,,由正弦定理得:,代入数据求得,,,在中,,,由正弦定理得:,解得.(2)由正弦定理可知,在中,,在中,,,令,,,当即时,,此时面积取得最小值,为.题型战法五中线、角分线、垂线典例5.已知在中,.(1)求边的长;(2)求边上的中线的长.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先由正弦定理求出AB,再用余弦定理求出或,通过验证得到正确答案;(2)在第一问的基础上,用余弦定理进行求解.(1)由得:,正弦定理得:,即,解得:,由余弦定理得:,解得:或,当时,,不合题意,舍去;当时,,满足题意,综上:(2)因为D为BC中点,所以BD=2,在△BCD中,由余弦定理得:,所以.变式5-1.锐角中,角、、所对的边分别为、、,且.(1)求角的大小;(2)若边,边的中点为,求中线长的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由已知利用正弦定理化边为角,结合商数关系及和角公式化简求得,即可得出答案;(2)由已知结合余弦定理及向量数量积的性质表示,然后结合正弦定理和差角公式进行化简,在结合正弦函数的性质即可得解.(1)解:因为,所以,即,又因,所以,所以,因为,所以;(2)解:由余弦定理可得,又,则,由正弦定理可得,所以,,所以,由题意得,解得,则,所以,所以,所以,所以中线CD长的取值范围为.变式5-2.在①;②;③,这三个条作中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)求角C的大小;(2)若,求的中线长度的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】(1)若选①,则根据正弦定理,边化角,再利用余弦定理即可求得答案;若选②,则根据正弦定理,边化角,再利用两角和的正弦公式化简,求得答案;若选③,则根据正弦定理,边化角,再利用诱导公式结合倍角公式化简,求得答案;(2)根据可得,利用余弦定理得到,在三角形中,由余弦定理求得,即可求得答案.(1)选择条件①:由及正弦定理,得:,即,由余弦定理,得,因为,所以;选择条件②:由及正弦定理,得:,即.即.在中,,所以,即,因为,所以,所以,因为,所以;选择条件③:由及正弦定理,得:,因为,,所以.在中,,则,故.因为,所以,则,故;(2)因为,所以,整理得,在三角形中,由余弦定理得.因为,当且仅当时取等号,所以,即,所以,即,即长度的最小值为.变式5-3.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求A的大小;(2)若A的角平分线交BC于D,且AD=3,求△ABC面积的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边向角转化,然后利用三角函数的公式变形可得答案;(2)由可得,然后利用基本不等式可得答案.(1)由正弦定理,得,得,得,因为,所以,即.(2)因为,所以.因为,即(当且仅当b=c=6时,等号成立),所以.故△ABC面积的最小值为.变式5-4.在中,设内角,,的对边分别为,,,且.(1)若,,成等比数列,求证:;(2)若(为锐角),.求中边上的高.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)由,,成等比数列得,再利用余弦定理及基本不等式求出的范围,从而证明;(2)先利用二倍角公式解得;再由正弦定理求得;下面可采用种方法求解.方法一:由余弦定理求得,再利用边上的高代入即得;方法二:先由同角的三角函数的基本关系算出,进而算出,再利用边上的高代入即得【详解】解:(1)证明:因为,,成等比数列,所以而(当且仅当时取等号)又因为为三角形的内角,所以(2)在中,因为,所以.又因为,,所以由正弦定理,解得法1:由,得.由余弦定理,得.解得或(舍)所以边上的高.法2:由,得.又因为,所以所以或(舍)(或:因为,且,所以为锐角,)又因为所以∴所以边上的高.【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用,同角的三角函数基本关系式,二倍角公式等知识,考查了学生综合应用公式的计算能力.题型战法六解三角形的实际应用问题典例6.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡角为的观礼台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为和,第一排和最后一排的距离为米(即图中线段),旗杆底部与第一排在同一水平面上.(1)求旗杆长度;(2)若国歌播放的时间约为50秒,升旗手应以约多大的速度匀速升旗?【答案】(1)30(米)(2)0.6(米/秒)【解析】【分析】(1)根据题意在△BCD中利用正弦定理,可求,再在Rt△ABC中根据求解;(2)直接利用速度公式计算.(1)在△BCD中,,,,由正弦定理,得;在Rt△ABC中,(米).(2)升旗速度(米/秒).变式6-1.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼,某学生选,两处作为测量点,测
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