高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)4.4.1解三角形的实际应用(题型战法)(原卷版+解析)

第四章三角函数与解三角形4.4.1解三角形的实际应用（题型战法）知识梳理一解三角形的最值问题1.三角函数法：在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，这是求解三角最值问题的最常用的方法。另外，在解三角形问题中，两大利器就是正弦定理和余弦定理，它们两个的基本操作方法无非就是“角化边”或者“边化角”，将多元问题降元，转变成一元问题，再结合三角函数的有界性即可求解出最值。2.基本不等式法：利用正弦定理或余弦定理，转化为二元问题，再利用基本不等式及其推论求解最值。二组合图形问题双-余弦定理在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中边长比较多可以尝试在两个三角形内分别使用余弦定理，再根据其中一组角的关系将两个等式联立解方程。双-正弦定理在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中角度比较多可以尝试在两个三角形内分别使用正弦定理，再将两式相除，带入条件进行求解。三中线、角平分线、垂线1.中线：向量恒等式结论2.角平分线：等面积法（大三角形面积等于两小三角形面积之和）、角分线定理3.垂线：等面积法（同一三角形求两次面积相等）四解三角形的实际应用高度测量问题：仰角、俯角距离测量问题：方位角、方向角题型战法题型战法一角、边的最值典例1．在中，内角对应的边分别为，若且为钝角.（1）求角与角的关系；（2）求的取值范围.变式1-1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．(1)若，且，求△ABC的面积；(2)求的最大值．变式1-2．在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范围.变式1-3．已知分别为三个内角的对边，.(1)求；(2)若，求的最大值.变式1-4．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，(1)求角A；(2)若，求a的最小值.题型战法二周长的最值典例2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC周长的取值范围．变式2-1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若_____________．（请从①；②；③这三个条件中任选一个填入上空）(1)求角C；(2)若时，求周长的最大值．变式2-2．在中，角的对边分别为，其中，且.(1)求角的大小；(2)求周长的取值范围.变式2-3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角A的大小；(2)若，求周长的最大值.变式2-4．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求；（2）若的面积为，求周长的最小值．题型战法三面积的最值典例3．在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，并且.(1)求b的值；(2)若，求面积的取值范围.变式3-1．在中，已知向量，，且．(1)求A；(2)若，求面积的最大值．变式3-2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求A；(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.变式3-3．的内角，，的对边分别是，，，设．(1)若，求；(2)若，求的面积的最大值．变式3-4．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________.(1)求角B的大小；(2)点D在BA的延长线上，且A为BD的中点，线段CD的长度为2，求△ABC的面积的最大值.题型战法四组合图形问题典例4．如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．(1)求的值；(2)求的值．变式4-1．如图，在中，的垂直平分线交边于点．（1）求的长；（2）若，求的值．变式4-2．如图，在四边形中，，，.（1）求的长；（2）若的面积为6，求的值.变式4-3．如图，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求的值；(2)在的延长线上有一点D，使得，求．变式4-4．如图，直角中，点M，N在斜边BC上（M，N异于B，C，且N在M，C之间），，，，设.(1)若，求MN的长；(2)求面积的最小值.题型战法五中线、角分线、垂线典例5．已知在中，.(1)求边的长；(2)求边上的中线的长.变式5-1．锐角中，角、、所对的边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围．变式5-2．在①；②；③，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，求的中线长度的最小值.变式5-3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．变式5-4．在中，设内角，，的对边分别为，，，且.（1）若，，成等比数列，求证：；（2）若（为锐角），.求中边上的高.题型战法六解三角形的实际应用问题典例6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（即图中线段），旗杆底部与第一排在同一水平面上．(1)求旗杆长度；(2)若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？变式6-1．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为m，，，在处测得大楼楼顶的仰角为.(1)求两点间的距离；(2)求大楼的高度.（第（2）问不计经纬仪的高度，计算结果精确到m.参考数据：，，）变式6-2．已知村庄在村庄的东偏北方向，且村庄之间的距离是千米，村庄在村庄的北偏西方向，且村庄在村庄的正西方向，现要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场，使得农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍.(1)求村庄之间的距离；(2)求农贸市场到村庄的距离之和.变式6-3．如图，某轮船从海岛A出发沿正北方向航行，灯塔B在海岛A北偏西75°的方向上，且与海岛A相距，灯塔C在海岛A北偏东30°的方向上，且与海岛A相距，该轮船航行到D处时看到灯塔B在北偏西135°的方向上．(1)求D与海岛A的距离；(2)求D与灯塔C的距离．变式6-4．海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为,.(1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？(2)若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援？第四章三角函数与解三角形4.4.1解三角形的实际应用（题型战法）知识梳理一解三角形的最值问题1.三角函数法：在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，这是求解三角最值问题的最常用的方法。另外，在解三角形问题中，两大利器就是正弦定理和余弦定理，它们两个的基本操作方法无非就是“角化边”或者“边化角”，将多元问题降元，转变成一元问题，再结合三角函数的有界性即可求解出最值。2.基本不等式法：利用正弦定理或余弦定理，转化为二元问题，再利用基本不等式及其推论求解最值。二组合图形问题双-余弦定理在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中边长比较多可以尝试在两个三角形内分别使用余弦定理，再根据其中一组角的关系将两个等式联立解方程。双-正弦定理在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中角度比较多可以尝试在两个三角形内分别使用正弦定理，再将两式相除，带入条件进行求解。三中线、角平分线、垂线1.中线：向量恒等式结论2.角平分线：等面积法（大三角形面积等于两小三角形面积之和）、角分线定理3.垂线：等面积法（同一三角形求两次面积相等）四解三角形的实际应用高度测量问题：仰角、俯角距离测量问题：方位角、方向角题型战法题型战法一角、边的最值典例1．在中，内角对应的边分别为，若且为钝角.（1）求角与角的关系；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解.（2）由（1）可得，由，解得，再利用三角函数的性质即可求解.【详解】∵，由正弦定理得，∴.∵B为钝角，∴A为锐角，∴，∴.（2）.∵，∴，∴，∴，∴.变式1-1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．(1)若，且，求△ABC的面积；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由余弦定理及已知可得，再应用三角形面积公式求面积即可.（2）由题设有，根据已知及余弦定理有，再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得，即可得，进而求最值.(1)由，故，而，所以，故.(2)由，故，即，由余弦定理知：，即，所以，即，又，故，由，则或（舍），所以，则，即，，而，所以，当时有最大值为.【点睛】关键点点睛：第二问，注意综合应用正余弦定理得到，再根据三角形内角的性质、三角恒等变换得到的关系及角的范围，进而求最值.变式1-2．在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再利用三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得；(1)解：因为，由正弦定理得，即，即，因为，所以，所以.因为，所以，所以，因为，所以.(2)解：由正弦定理得，所以，所以.因为，所以，所以，所以.变式1-3．已知分别为三个内角的对边，.(1)求；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和差的正弦公式进行求解即可．（2）利用正弦定理得到、，则，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；(1)解：，，即，即，得，即，，，又，所以．(2)解：因为，，由正弦定理其中，由于，所以当时，变式1-4．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，(1)求角A；(2)若，求a的最小值.【答案】(1)(2)2【解析】【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再结合二倍角公式计算可得；（2）由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式计算可得；(1)解：在，由，所以，即，再由正弦定理得，，因为，∴，因为，所以，∴.(2)解：由，即，所以.由当且仅当时，所以的最小值为2.题型战法二周长的最值典例2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;（2）先利用余弦定理及基本不等式得到，然后根据三角形两边之和大于第三边，即可求出周长的取值范围..(1)由，又，由，则.由正弦定理得，所以.由余弦定理得，因为，所以.(2)由余弦定理得，∴，得，当且仅当时取等号．又，（三角形任意两边之和大于第三边）∴，∴周长的取值范围为．变式2-1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若_____________．（请从①；②；③这三个条件中任选一个填入上空）(1)求角C；(2)若时，求周长的最大值．【答案】(1)(2)18【解析】【分析】（1）若选①，首先根据正弦定理得到，再利用余弦定理即可得到，若选②，首先根据正弦定理得到，再利用辅助角公式即可得到，若选③，首先根据正弦定理得到，再利用余弦定理即可得到.（2）利用余弦定理再结合基本不等式求解即可.(1)若选①，因为，所以，，因为，所以.若选②，因为，所以，因为，所以，即.因为，所以，即.若选③，因为，所以，即，所以，，所以.(2)由①②③可得，由余弦定理：，即，所以，解得，当且仅当时取等号.所以周长的最大值是.变式2-2．在中，角的对边分别为，其中，且.(1)求角的大小；(2)求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再根据求出的取值范围，即可得解；(1)解：因为，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因为，所以；(2)解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为变式2-3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角A的大小；(2)若，求周长的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，结合余弦定理可得结果；（2）由余弦定理及均值不等式即可得到结果.(1)∵，∴，∴，∴，又，∴；(2)由余弦定理，得，即．因为，所以．即（当且仅当时等号成立）．所以．故周长的最大值.变式2-4．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求；（2）若的面积为，求周长的最小值．【答案】（1）；（2）9.【解析】【分析】（1）由正弦定理进行边化角的运算，化简可得，求正切值，由角的范围可求出具体值；（2）由面积公式可知，由余弦定理可求出的最小值，由基本不等式可求出的最小值，从而求出周长最小值.【详解】解：（1）由正弦定理：化简，可得，所以，即．又，所以．（2）结合三角形的面积公式得到，即．所以，当且仅当时取等号．又由余弦定理得，所以，当且仅当时取等号．所以周长的最小值为．题型战法三面积的最值典例3．在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，并且.(1)求b的值；(2)若，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得的值.（2）利用余弦定理求得的取值范围，结合三角形的面积公式求得三角形面积的取值范围.(1)由正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，其中R为的外接圆半径.因为，从而，整理得；又在中，，从而，则.(2)由及余弦定理，又为锐角三角形，因此，即，解得.又，因此面积的取值范围是.变式3-1．在中，已知向量，，且．(1)求A；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由，可得，根据数量积的坐标表示及正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；（2）由（1）可得且，利用基本不等式及三角形面积公式计算可得；(1)解：设中，角的对边分别为，∵，∴又，，∴，即，∴由正弦定理得，∴由余弦定理得，又∵

∴.(2)解：由（1）得，又∵∴即且∴面积又由基本不等式得即当且仅当取等号∴面积故面积的最大值为变式3-2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求A；(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据正弦定理将边化角或根据余弦定理将角化边.（2）根据正弦定理和面积公式求解即可.(1)(解法一)因为，所以则，即因为，所以，因为所以.(解法二)由全弦定理，得整理得.所以，因为所以.(2)因为，所以，.所以因为△ABC为锐角三角形，所以解得.所以，所以.变式3-3．的内角，，的对边分别是，，，设．(1)若，求；(2)若，求的面积的最大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）结合正、余弦定理对进行化简，再由余弦定理，即可得解；（2）由余弦定理得出，再结合三角形面积公式和同角三角函数的平方关系，推出关于的函数，从而得解．(1)解：，结合正、余弦定理，可得，化简得，，代入，得，由余弦定理知，，，．(2)解：由（1）知，，由余弦定理知，，的面积，当时，取得最大值，即．变式3-4．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________.(1)求角B的大小；(2)点D在BA的延长线上，且A为BD的中点，线段CD的长度为2，求△ABC的面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据正余弦定理，在三角形中实现边角互化，借助和差公式即可求解.（2）在中，根据余弦定理可得，然后根据不等式即可求解最大值，即可求解面积的最大值.(1)若选①；在中，因为故由可得由正弦定理得，即，则，又，故.选②∴∴.若选③由及正弦定理.．又，所以.即，因为，所以，又，得.综上所述：选择①②③，都有(2)在中，由余弦定理知∴，当且仅当，即时取等号，此时的最大值为2，面积取得最大值题型战法四组合图形问题典例4．如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）同角三角函数关系可得，再应用差角正弦公式求、，进而求.（2）应用正余弦定理分别求出BC、AC即可得结果.(1)∵，∴，则．所以，所以．(2)在中，由正弦定理得，则BC＝BD＋CD＝5，在中，由余弦定理得，即AC＝7，所以．变式4-1．如图，在中，的垂直平分线交边于点．（1）求的长；（2）若，求的值．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理可求出的长；（2）由（1）可得，在中，由余弦定理求出，再利用正弦定理可求出的值【详解】解：（1）在中，，整理得，即，所以或．（2）因为，由（1）得，所以．在中，由余弦定理得．所以．由，得．在中，由正弦定理得，即，所以．变式4-2．如图，在四边形中，，，.（1）求的长；（2）若的面积为6，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得的长；（2）利用面积得出，结合正弦定理可得.【详解】解：（1）由题可知.在中，，所以.（2），则.又，所以.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理.变式4-3．如图，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求的值；(2)在的延长线上有一点D，使得，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）结合正弦定理边化角可求得，进而结合同角基本关系的平方关系即可求出结果.（2）求出，进而在中结合正弦定理即可求出结果.(1)在中，由正弦定理得，又在中，，所以上式可化为．因为，所以，又因为是锐角三角形，．解得．(2)由（1）得：，又是锐角三角形，所以，所以．在中，由正弦定理得：，即，解得．变式4-4．如图，直角中，点M，N在斜边BC上（M，N异于B，C，且N在M，C之间），，，，设.(1)若，求MN的长；(2)求面积的最小值.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）且为锐角，，然后在和中，利用正弦定理可分别求得，，；（2）在和中，由正弦定理分别求得和（均用含的式子表示），所以，然后令，求得其在上的最大值，即可得到面积的最小值.(1)解：，，，，且为锐角，，在中，，由正弦定理得：，代入数据求得，，，在中，，，由正弦定理得：，解得．(2)由正弦定理可知，在中，，在中，，，令，，，当即时，，此时面积取得最小值，为．题型战法五中线、角分线、垂线典例5．已知在中，.(1)求边的长；(2)求边上的中线的长.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先由正弦定理求出AB，再用余弦定理求出或，通过验证得到正确答案；（2）在第一问的基础上，用余弦定理进行求解.(1)由得：，正弦定理得：，即，解得：，由余弦定理得：，解得：或，当时，，不合题意，舍去；当时，，满足题意，综上：(2)因为D为BC中点，所以BD=2，在△BCD中，由余弦定理得：，所以.变式5-1．锐角中，角、、所对的边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理化边为角，结合商数关系及和角公式化简求得，即可得出答案；（2）由已知结合余弦定理及向量数量积的性质表示，然后结合正弦定理和差角公式进行化简，在结合正弦函数的性质即可得解.(1)解：因为，所以，即，又因，所以，所以，因为，所以；(2)解：由余弦定理可得，又，则，由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得，解得，则，所以，所以，所以，所以中线CD长的取值范围为.变式5-2．在①；②；③，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，求的中线长度的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）若选①，则根据正弦定理，边化角，再利用余弦定理即可求得答案；若选②，则根据正弦定理，边化角，再利用两角和的正弦公式化简，求得答案；若选③，则根据正弦定理，边化角，再利用诱导公式结合倍角公式化简，求得答案；（2）根据可得，利用余弦定理得到，在三角形中，由余弦定理求得，即可求得答案.(1)选择条件①：由及正弦定理，得：，即，由余弦定理，得,因为，所以；选择条件②：由及正弦定理，得：，即.即.在中，，所以，即，因为，所以，所以,因为，所以；选择条件③：由及正弦定理，得：，因为,，所以.在中，，则，故.因为，所以，则，故；(2)因为，所以，整理得，在三角形中，由余弦定理得.因为，当且仅当时取等号，所以，即，所以，即，即长度的最小值为.变式5-3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边向角转化，然后利用三角函数的公式变形可得答案；（2）由可得，然后利用基本不等式可得答案.(1)由正弦定理，得，得，得，因为，所以，即.(2)因为，所以.因为，即（当且仅当b＝c＝6时，等号成立），所以．故△ABC面积的最小值为.变式5-4．在中，设内角，，的对边分别为，，，且.（1）若，，成等比数列，求证：；（2）若（为锐角），.求中边上的高.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由，，成等比数列得，再利用余弦定理及基本不等式求出的范围，从而证明；（2）先利用二倍角公式解得；再由正弦定理求得；下面可采用种方法求解.方法一：由余弦定理求得，再利用边上的高代入即得；方法二：先由同角的三角函数的基本关系算出，进而算出，再利用边上的高代入即得【详解】解：（1）证明：因为，，成等比数列，所以而（当且仅当时取等号）又因为为三角形的内角，所以（2）在中，因为，所以.又因为，，所以由正弦定理，解得法1：由，得.由余弦定理，得.解得或（舍）所以边上的高.法2：由，得.又因为，所以所以或（舍）（或：因为，且，所以为锐角，）又因为所以∴所以边上的高.【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，同角的三角函数基本关系式，二倍角公式等知识，考查了学生综合应用公式的计算能力.题型战法六解三角形的实际应用问题典例6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（即图中线段），旗杆底部与第一排在同一水平面上．(1)求旗杆长度；(2)若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？【答案】(1)30（米）(2)0.6（米/秒）【解析】【分析】（1）根据题意在△BCD中利用正弦定理，可求，再在Rt△ABC中根据求解；（2）直接利用速度公式计算．(1)在△BCD中，，，，由正弦定理，得；在Rt△ABC中，（米）．(2)升旗速度（米/秒）．变式6-1．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测