2024年河南省中考天一大联考数学试题【含答案解析】

2023—2024学年九年级学业水平诊断（二）数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.的相反数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．根据相反数的概念，即一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．【详解】解：根据概念，的相反数是，即．故选：A2.据公安部消息，截至2023年底，我国新能源汽车保有量达2041万辆．数据“2041万”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：2041万．故选：C．3.洛阳开工建设的地铁3号线，预计2025年基本建成．如图是施工现场的一个螺栓（其底部为正六棱柱），则它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左边看，底层是两个相邻的矩形，上层的中间是一个矩形．故选：B4.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，整数2的混合运算等知识，解题的关键是学会利用乘法公式计算．利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，乘法公式一一判断即可．【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意；B、与，不是同类项，不能合并，本选项错误，不符合题意；C、，本选项错误，不符合题意；D、，本选项正确，符合题意．故选：D．5.已知直线，一副三角板按照如图所示摆放，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质、角的和差运算等知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键．由图形可得，再根据平行线的性质可得，最后运用线段的和差即可解答．【详解】解：如图：∵,,∴,∴．故选A．6.小明统计了2024年年假期间（大年初二到初八）郑州市每天的最高气温（单位：℃）：18，19，20，19，12，14，17，则这组数据的平均数（单位：℃）与众数（单位：℃）分别是（）A.19，17 B.17，19 C.17，18 D.18，19【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平均数的定义、众数的定义等知识点，掌握“平均数=总数量÷总份数”和出现次数最多的数就是众数成为解题的关键．直接根据平均数和众数的定义解答即可．【详解】解：这组数据的平均数为：；因为这组数据19出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数是19．故选B．7.下列关于x的方程中一定没有实数根的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据根的判别式解答即可．【详解】解：A．，方程有2个不相等的实数根，故不符合题意；B．，方程有2个相等的实数根，故不符合题意；C．，方程有2个不相等的实数根，故不符合题意；D．，方程没有实数根，故符合题意；故选：D．8.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．依据题意，抛物线开口向上，从而，故可判断①；又对称轴是直线，从而，进而，故可判断②；又由题意，抛物线与轴有两个不同的交点，从而△，故可以判断③；又当时，，从而，则，故可判断④．【详解】解：由题意，抛物线开口向上，，故①正确．又对称轴是直线，．，故②正确．又由题意，抛物线与轴有两个不同的交点，△，故③正确．又当时，，．，故④错误．综上，正确的有3个．故选：C9.如图，点A，B，C分别在上，连接，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，关键是由圆周角定理，等腰三角形的性质推出，由勾股定理，等腰三角形的性质求出，．过作于，过作于，由等腰三角形的性质推出，，由圆周角定理得到，因此，由，令，则，由勾股定理求出，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，于是得到．【详解】解：过作于，过作于，，，，，，，令，则，，，，，，．故选：C10.如图1，动点P从矩形的顶点A出发，沿的方向以的速度匀速运动到点C．设点P运动所用时间为的面积为，图2是点P运动时随变化的关系图象，则点D到的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查动点问题中三角形的面积，勾股定理，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键．由图2可知，，，求出，，再由勾股定理求解的长，然后利用等面积法求解即可．【详解】解：由图2可知，当时，，即当P运动到点C处时，，当点P到达点B时，的面积最大为，∴，即，解方程组得，，∵，∴，由等面积得，点B到的距离为∴点D到的距离为．故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11.若一次函数的图象与y轴交于负半轴，则b的值可以是_______．（写出一个即可）【答案】1（答案不唯一）．【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是关键．根据一次函数性质进行解答即可．【详解】解：一次函数的图象与轴交于负半轴，，即，不妨．故答案为：1（答案不唯一）．12.不等式组的整数解的个数为________个．【答案】5【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键，先解出不等式组的解集，从而可以得到原不等式组有几个整数解，本题得以解决．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，不等式组的整数解为，，，0，1共5个，故答案为：513.琪琪和妈妈玩摸纸牌游戏，先从一副扑克牌中抽出1张黑桃、3张红桃，然后把它们背面朝上洗匀放在桌子上，随机从中摸取两张，规定两次摸到的扑克牌花色不一样琪琪赢，否则妈妈赢，则琪琪赢的概率是________．【答案】【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸到的扑克牌花色不一样的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：列表如下：黑桃红桃红桃红桃黑桃（黑桃，红桃）（黑桃，红桃）（黑桃，红桃）红桃（红桃，黑桃）（红桃，红桃）（红桃，红桃）红桃（红桃，黑桃）（红桃，红桃）（红桃，红桃）红桃（红桃，黑桃）（红桃，红桃）（红桃，红桃）共有12种等可能的结果，其中两次摸到的扑克牌花色不一样的结果有6种，琪琪赢的概率是．故答案为：．14.如图，在中，，在上取一点E，以点E为圆心，的长为半径作弧，与边恰好相切于点B，则图中阴影部分面积为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．连接，根据平行四边形的性质得到，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据扇形和三角形以及平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接，四边形是平行四边形，，以点为圆心，的长为半径作弧，与边恰好相切于点，，，，，，，，，图中阴影部分面积平行四边形的面积扇形的面积的面积，故答案为：．15.如图，菱形中，，G是对角线的中点，是等腰直角三角形，，将绕点B顺时针旋转，连接．已知，，在旋转过程中，当为直角三角形时，的长为________．【答案】【解析】【分析】由菱形，，可得，是等边三角形，则，，由是等腰直角三角形，可得，在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接，当为直角三角形时，分，，三种情况求解；当时，由题意知，三点共线，，根据，计算求解；当时，当时，由题意知，此两种情况不成立，然后作答即可．【详解】解：∵菱形，，∴，是等边三角形，∴，∵G是对角线的中点，∴，∵是等腰直角三角形，，，∴，，∴在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接，当为直角三角形时，分，，三种情况求解；当时，由题意知，三点共线，∴，∴；当时，，，此时到的距离为，∵，∴此情况不成立；当时，由题意知，此情况不成立，综上所述，的长为，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，余弦，圆，旋转的性质等知识．分类讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查了零指数幂，实数的混合运算和分式的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键．（1）先根据立方根的定义，有理数的乘方和零指数幂进行计算，再算加减即可；（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．详解】解：（1）；（2）．17.为提高我市中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩x（单位：分）进行整理、描述和分析．其部分信息如下．a．甲校学生成绩的扇形统计图（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：73，77，73，78，72，75，77，78．c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如下表：学校平均数中位数甲75..6n乙76.177.5（1）以上成绩统计图表中，．（2）在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有p人，参加竞赛的乙校同学，成绩高于平均分的人数有q人，比较p，q的大小，并说明理由．（3）通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由．并为另一所学校提出一条合理化教学建议．【答案】（1）22.5，74（2），理由见解答；（3）乙校学生的“思维创新能力”更强，理由见解答，建议：加强学生思维训练，鼓励学生进行创造性的活动；多引导学生自主学习，激发学生的学习兴趣和挑战欲望（写出一条，合理即可）．【解析】【分析】本题考查中位数、平均数以及扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提．（1）根据中位数的定义和百分比之和为1求解即可；（2）根据题意求出，即可求解；（3）根据中位数、平均数即可解答．【小问1详解】甲班组人数所占的百分比为，，，甲校学生成绩排在第20，21位的是73，75，所以甲校学生成绩的中位数，故答案为：22.5，74；【小问2详解】，理由如下：抽取的甲校的学生中，成绩的平均分为75，．乙校学生中，成绩的平均分为76，中位数为77，且，．；【小问3详解】乙校学生“思维创新能力”更强，理由如下：在抽取的竞赛学生的成绩中，乙校学生成绩的平均数和中位数均比甲校大．建议：加强学生思维训练，鼓励学生进行创造性的活动；多引导学生自主学习，激发学生的学习兴趣和挑战欲望（写出一条，合理即可）．18.如图，在中，平分．（1）请用无刻度的直尺和圆规过点D作（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中所作交于点F，求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的判定与性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键．（1）根据平行线的判定以及作一个角等于已知角的方法作图即可．（2）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质可得，则．再由角平分线的定义可得，进而可得，则，即．【小问1详解】解：如图，即为所求（方法不唯一）．【小问2详解】证明：，．，，，，，．．平分，．．．．19.位于卫辉市东南隅的镇国塔，是河南省重点保护文物．镇国塔为七层六角楼阁式砖塔，塔每层的六个角上都悬挂着一个风铃，风吹起的时候叮当作响，悦耳动听．某数学小组在老师的指导下，测算镇国塔的高度．如图，已知，在点D处测得镇国塔的顶端E的仰角为，自A向镇国塔走到达点B，测得镇国塔的顶端E的仰角为（点A，B，C在一条直线上）．则数学小组测算的镇国塔的高度是多少？（结果精确到．参考数据：）【答案】数学小组测算的镇国塔的高度约为．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得：，，设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，由题意得：，，设，，，在中，，，在中，，，，，，，解得：，，数学小组测算的镇国塔的高度约为．20.如图，直线与反比例函数的图像交于点和点B，四边形是正方形，其中点C，D分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，过点D作，与反比例函数图象在第二象限内的部分相交于点F．（1）求m和k的值．（2）求点D的坐标．（3）连接，求的面积．【答案】（1）（2）（3）6【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求函数的解析式、正方形的性质、三角形全等的判定和性质、平行线间的距离相等等知识点，灵活运用相关判定和性质是解题的关键．（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）如图：过点A作轴于点G，易证可得，，即可求得点D的坐标；（3）利用中心对称求得B点的坐标，然后根据同底等高的三角形面积相等可知的面积的面积，据此即可解答．【小问1详解】解：∵直线与反比例函数的图像交于点，∴，解得：．【小问2详解】解：如图：过点A作轴于点G，∵四边形是正方形，∴，∴，，∴.，在和中，，∴，∴，∴．【小问3详解】解：如图，连接，∵直线与反比例函数的图像交于点和点B，∴点B的坐标为，∵，∴.21.为了让学生德智体美劳全面发展，提高学生们的动手能力，致远中学成立了烹饪社闭．为满足社团活动的需求，计划购买炒锅20口，通过市场调查了解到：若购进A种炒锅10口，B种炒锅5口，需要1325元；若购进A种炒锅4口，B种炒锅3口，需要595元．（1）求购进A，B两种炒锅每口分别需要多少元？（2）商家了解到学校社团实际需求，特推出以下优惠措施：购买数量少于10口购买数量不少于10口A炒锅不打折打8折B炒锅不打折打7.5折根据需求，要求购买B种炒锅的数量不多于A种炒锅数量的，请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出其所需费用．【答案】（1）100，65；（2）购买种炒锅15口、购买种炒锅5口，1525元．【解析】【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键．（1）设种炒锅每口元，种炒锅每口元，根据题意列方程组并求解即可；（2）设购买种炒锅口，则购买种炒锅口，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，从而求出的取值范围，进而写出所需费用关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当为何值时取最小值，求出的最小值及此时的值即可．【小问1详解】解：设种炒锅每口元，种炒锅每口元．根据题意，得，解得，种炒锅每口100元，种炒锅每口65元．【小问2详解】解：设购买种炒锅口，则购买种炒锅口．根据题意，得，解得，．设所需费用元，则，，随的减小而减小，，当时，取最小值，，此时购买种炒锅（口），购买种炒锅15口、购买种炒锅5口最省钱，所需费用1525元．22.某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线的函数表达式．（2）求水柱落地点与雕塑的水平距离．（3）为实现动态喷水效果，公园管理处决定对该喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱所在抛物线形状不变的前提下，把喷水距离（动态喷水时，点B到的距离）控制在到之间（包含和），求改进后b的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．（1）依据题意，由抛物线的顶点，故可设抛物线的函数表达式为，又过点，从而，解得，进而可以得解；（2）依据题意，由（1），知，再令，则，解得进而可以判断得解；（3）依据题意，由喷出水柱所在抛物线的形状不变，从而可得，又由雕塑高度不变，可得，进而可