新高考数学二轮复习专题4.3 正弦定理和余弦定理【八大题型】（举一反三）（原卷版）

专题4.3正弦定理和余弦定理【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】 3【题型2正、余弦定理判定三角形形状】 4【题型3正弦定理判定三角形解的个数】 4【题型4证明三角形中的恒等式或不等式】 5【题型5求三角形（四边形）的面积】 6【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】 8【题型7距离、高度、角度测量问题】 9【题型8正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】 111、正弦定理、余弦定理解三角形正弦定理、余弦定理解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正弦定理、余弦定理在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合命题，需要学生灵活求解.【知识点1解三角形几类问题的解题思路】1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用SKIPIF1<0(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.2.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.3.对三角形解的个数的研究已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若SKIPIF1<0B=SKIPIF1<0>1，则满足条件的三角形的个数为0；

②若SKIPIF1<0B=SKIPIF1<0=1，则满足条件的三角形的个数为1；

③若SKIPIF1<0B=SKIPIF1<0<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.

显然由0<SKIPIF1<0B=SKIPIF1<0<1可得B有两个值，一个大于SKIPIF1<0，一个小于SKIPIF1<0，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于SKIPIF1<0”等，此时需进行讨论.4.与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.【知识点2测量问题的基本类型和解决思路】1．测量问题1.测量距离问题的基本类型和解决方案

当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：类型简图计算方法A,B间不可达也不可视测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得SKIPIF1<0B,C与点A可视但不可达测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+C)，由正弦定理得SKIPIF1<0C,D与点A,B均可视不可达测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.2.测量高度问题的基本类型和解决方案

当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：类型简图计算方法底部

可达测得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可达点B与C,D共线测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.点B与C,D不共线测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.3.测量角度问题的解决方案测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】【例1】（2023·江西上饶·统考二模）在△ABC中，∠C的角平分线交AB于点D，∠B=π6，BC=33，AB=3，则CD=（

）A．362 B．32 C．【变式1-1】（2023·四川巴中·统考一模）在△ABC中，若2cos2A−cosA=2A．π6 B．π3 C．2【变式1-2】（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，c=23，bsinA=asinπ3A．37 B．217 C．21【变式1-3】（2023·河南南阳·统考二模）△ABC是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2−A．2 B．22 C．3【题型2\t"/gzsx/zsd28612/_blank"\o"向量坐标的线性运算解决几何问题"】【例2】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC一定是（A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形【变式2-1】（2023·甘肃酒泉·统考三模）在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2b2=sinA．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）在△ABC中，D是BC边的中点，且AB=3，AC=2，AD=3，则△ABC的形状为（

A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定【变式2-3】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在△ABC和△A1B1C1中，若cosA=A．△ABC与△AB．△ABC与△AC．△ABC是钝角三角形，△AD．△ABC是锐角三角形，△A【题型3\t"/gzsx/zj168410/_blank"\o"正弦定理判定三角形解的个数"正弦定理判定三角形解的个数】【例3】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在△ABC中，cosA=1213，sinB=m，若角C有唯一解，则实数A．513,1 B．513,1【变式3-1】（2023下·河南开封·高一校联考期末）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=22,b=4,A=πA．无解 B．有一解C．有两解 D．解的个数不确定【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断正确的是（

）A．B=60°，c=4，b=5，有两解 B．B=60°，c=4，b=3.9，有一解C．B=60°，c=4，b=3，有一解 D．B=60°，c=4，b=2，无解【变式3-3】（2023·贵州·统考模拟预测）△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，A=60°，a=3.若这个三角形有两解，则b的取值范围是（

A．3<b≤2 B．C．1<b<23 D．【题型4\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"证明三角形中的恒等式或不等式"证明三角形中的恒等式或不等式】【例4】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，23(1)求B的大小；(2)若3a+c=2b，证明：【变式4-1】（2023下·北京·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c−ba(1)求角C的大小；(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.（i）求证:ADBD（ii）若a=2，c=19，求CD【变式4-2】（2023·高一课时练习）如图，已知△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α．(1)证明：PBsin(2)若∠ABC=90∘，AB=BC=1，求【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O恰为MN中点.(1)证明：|AM|⋅|MB|=|AN|⋅|NC|(2)若|AO|=3，|OM|=1，求S【题型5求三角形（四边形）的面积】【例5】（2023·湖南永州·统考一模）在△ABC中，设A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足ccos(1)求角C；(2)若c=5,△ABC的内切圆半径r=34，求【变式5-1】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，其对边分别为a、b、c，若2c−ab(1)求角B的值；(2)若b=2，求△ABC面积S的最大值．【变式5-2】（2023·江西·校联考二模）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinA(1)求角C；(2)若△ABC为锐角三角形，且b=2，求△ABC面积的取值范围.【变式5-3】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2bcos

(1)求B；(2)如图，D,B在AC的两侧，b2=ac且AD=CD=2，求四边形【题型6\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"求三角形中的边长或周长的最值或范围"求三角形中的边长或周长的最值或范围】【例6】（2023·全国·模拟预测）已知△ABC为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB=(1)求ba(2)若a=1，求△ABC周长的取值范围.【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2(1)求角B的值．(2)求a+c2b【变式6-2】（2023·四川雅安·统考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+csin(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积为43，求△ABC周长l【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）从①2sinB=2sinAcosC+sinC，②在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且______．(1)求角A的大小；(2)若4sinB=bsin注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【题型7距离、高度、角度测量问题】【例7】（2023·全国·高一专题练习）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距6+2海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以22海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【变式7-1】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得∠BCD=30°，∠BDC=70°，∠BED=120°，BE=17.2m，DE=10.32m，在点C测得塔顶A的仰角为62°.参考数据：取tan62°=1.88，sin

(1)求BD；(2)求塔高AB（结果精确到1m）.【变式7-2】（2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距256海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45∘，B点北偏西75∘，这时位于B点南偏西45∘且与

(1)求B点到D点的距离BD；(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．【变式7-3】（2023下·上海宝山·高二校考期中）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选（与A在同一水平面的）B､C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，∠ABC=45°，∠BCA=105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角α

(1)求A,C两点间的距离；(2)求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m）【题型8\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"正余弦定理与三角函数性质的结合应用"正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】【例8】（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数fx=3(1)求fx(2)若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3，fA2=2，求【变式8-1】（2023·湖南·模拟预测）已知函数f(x)=23(1)求函数y=log(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若fA2=0【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx(1)求函数y=fx(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2−b【变式8-3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=sinx−π6+m，将y=fx的图象横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再向左平移π（1）求m的值；（2）在锐角△ABC中，若gC2=1．（2023·北京·统考高考真题）在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA．π6 B．π3 C．22