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文档简介
专题3.2函数的单调性、极值与最值【七大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用导数判断单调性、求单调区间】 2【题型2由函数的单调性求参数】 3【题型3利用导数求函数的极值(点)】 3【题型4根据极值(点)求参数】 4【题型5利用导数求函数的最值】 4【题型6已知函数最值求参数】 5【题型7函数单调性、极值与最值的综合应用】 51、函数的单调性、极值与最值导数与函数是高中数学的核心内容,是高考常考的热点内容,从近三年的高考情况来看,高考中常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值等;与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查,此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想,此类问题在选择、填空、解答题中都有考查,而在解答题中进行考查时试题难度较大.【知识点1导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤;(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f'(x);(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略:(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式,首先看能否因式分解,再讨论二次项系数的正负及两根的大小;若不能因式分解,则需讨论判别式△的正负,二次项系数的正负,两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路:(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点2函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)解方程f'(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号;(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路:
已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,要注意:根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略:(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤:①求函数在(a,b)内的极值;②求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b);③将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤:求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.【题型1利用导数判断单调性、求单调区间】【例1】(2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测)函数y=−x2+lnx的单调递增区间为(
)A.12,e B.(0,e【变式1-1】(2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模)下列函数中,既是偶函数又在0,+∞上单调递增的函数是(
A.fx=xC.fx=【变式1-2】(2023·上海静安·统考二模)函数y=xlnA.严格增函数B.在0,1eC.严格减函数D.在0,1e【变式1-3】(2023·全国·模拟预测)已知函数fx=lnx−2+A.2,3 B.3,4 C.−∞,3【题型2由函数的单调性求参数】【例2】(2023·广西玉林·统考二模)若函数f(x)=(ax+1)ex在1,2上为增函数,则a的取值范围是(A.−12C.−14【变式2-1】(2023·宁夏银川·银川一中校考三模)若函数f(x)=x22−lnx在区间A.0<m<23C.23≤m≤1 D.【变式2-2】(2023下·重庆·高二校联考期中)若函数fx=x2−alnx−x−2023A.−∞,1 B.−∞,1【变式2-3】(2023·全国·模拟预测)已知函数gx=ax−12x+1−lnA.−∞,4 B.−∞,【题型3利用导数求函数的极值(点)】【例3】(2023·全国·模拟预测)函数f(x)=2x−tanx−π在区间−A.π2+1,−π2C.3π2−1,−π【变式3-1】(2023·河南洛阳·校联考模拟预测)已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R,且f′xA.有一个极小值点,一个极大值点 B.有两个极小值点,一个极大值点C.最多有一个极小值点,无极大值点 D.最多有一个极大值点,无极小值点【变式3-2】(2023·河北·模拟预测)若函数fx=sinx−xπA.1 B.2 C.3 D.4【变式3-3】(2023·河南·统考三模)已知函数f(x)=x2lnA.f(x)在x=1e处得到极大值−12e B.C.f(x)在x=1e处得到极小值−12e D.【题型4根据极值(点)求参数】【例4】(2023·贵州遵义·统考三模)已知函数fx=ax+lnxb+1在A.-1 B.0 C.1 D.2【变式4-1】(2023·陕西商洛·统考三模)若函数f(x)=x3+ax2A.[−3,6] B.(−3,6)C.(−∞,−3]∪[6,+【变式4-2】(2023·四川绵阳·统考一模)若函数y=cosωx+π6(ω>0)在区间−πA.13,76 B.1【变式4-3】(2023·高二课时练习)已知函数f(x)=x3+ax2A.−1<a<2 B.a<−3或a>6 C.−3<a<6 D.a<−1或a>2【题型5利用导数求函数的最值】【例5】(2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测)当x=2时,函数fx=x3+bx2A.8 B.12 C.16 D.32【变式5-1】(2023·广西玉林·校联考模拟预测)已知正实数x,y满足yex=lnx−A.−1 B.0 C.1 D.2【变式5-2】(2023·江西赣州·南康中学校联考模拟预测)已知函数fx=e2x−2tex+1A.1e B.1e2+1【变式5-3】(2023·陕西汉中·统考一模)设定义在R上的函数fx满足f′x+fxA.fx在R上单调递减 B.fx在C.fx在R上有最大值 D.fx在【题型6已知函数最值求参数】【例6】(2023·广西·统考模拟预测)已知函数fx=lnx+ax存在最大值0,则A.−2 B.−1e【变式6-1】(2023·四川宜宾·统考三模)若函数fx=x−m2−2,x<02xA.m<0 B.m≤0 C.m>0 D.m≥0【变式6-2】(2023·上海松江·统考二模)已知函数y=13x3−x2−3x+a,A.−6<t<0 B.−6<t≤0C.−6<t<2 D.−6<t≤2【变式6-3】(2023·高二课时练习)已知函数f(x)=ex+x3A.(-e,2) B.(-e,1-e) C.(1,2) D.(−【题型7函数单调性、极值与最值的综合应用】【例7】(2023·全国·模拟预测)已知函数fx=sin(1)若a≤−2,讨论f′x在(2)若函数gx=fx+f′x【变式7-1】(2023·吉林·统考一模)已知函数f(x)=e(1)若函数fx在0,π上单调递增,求正实数(2)求证:当m=1时,fx在−π,+∞上存在唯一极小值点【变式7-2】(2023·吉林长春·东北师大附中校考二模)已知函数fx(1)讨论函数fx(2)若m>0,fx的最小值是1+lnm【变式7-3】(2023·陕西汉中·校联考模拟预测)已知函数fx=xln(1)若a=1,求fx(2)若fx恰有2个不同的极值点,求a(3)若fx恰有2个不同的零点,求a1.(2023·全国·统考高考真题)函数fx=x3+ax+2A.−∞,−2 B.−∞,−32.(2023·全国·统考高考真题)已知函数fx=aex−lnxA.e2 B.e C.e−13.(2023·全国·统考高考真题)已知函数fx的定义域为R,fxy=A.f0=0C.fx是偶函数 D.x=0为f4.(2023·全国·统考高考真题)若函数fx=alnA.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>05.(2023·全国·统考高考真题)设a∈0,1,若函数fx=ax+1+a6.(2023·全国·统考高考真题)已知函数fx(1)当a=−1时,求曲线y=fx在点1,f(2)若函数fx在0,+∞单调递增,求7.(2023·北京·统考高考真题)设函数f(x)=x−x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1)求a,b的值;(2)设函数g(x)=f′(x)(3)求f(x)的极值点个数.8.(2
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