新高考数学二轮复习培优专题训练专题16 圆锥曲线中的椭圆问题（解析版）

专题16圆锥曲线中的椭圆问题1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）设椭圆SKIPIF1<0的离心率分别为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与C交于A，B两点，若SKIPIF1<0面积是SKIPIF1<0面积的2倍，则SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】将直线SKIPIF1<0与椭圆联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因为直线与椭圆相交于SKIPIF1<0点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距离SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故选：C.3、（2023年全国甲卷数学（文））设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【详解】方法一：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B.方法二：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由椭圆方程可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，平方得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B.4、（2023年全国甲卷数学（理））己知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】方法一：设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，由椭圆方程可知，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．故选：B．方法二：因为SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②，联立①②，解得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：B．5、【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，AA．x218+y216【答案】B【解析】解：因为离心率e=ca=1−bA1,A2分别为B为上顶点，所以B(0,b).所以BA1所以−a2+b2故椭圆的方程为x2故选：B.

6、【2022年全国甲卷】椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在A．32 B．22 C．1【答案】A【解析】解：A−a,0设Px1,则kAP故kAP又x12a所以b2a2所以椭圆C的离心率e=c故选：A.7、【2022年新高考1卷】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12．过F【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为e=ca=12，∴a=2c，∴b2=a2−c2=3c2，∴椭圆的方程为x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2−12c2=0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，∵A判别式∆=6∴CD=∴c=138，得∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2，AE=EF2，∴△ADE故答案为：13.8、【2022年新高考2卷】已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M【答案】x+【解析】：令AB的中点为E，因为MA=NB，所以设Ax1,y1，B所以x12所以y1+y2y1−y2令x=0得y=m，令y=0得x=−mk，即M−mk即k×m2−m2k又MN=23，即MN=m2所以直线AB:y=−22x+2故答案为：x+题组一、椭圆的离心率1-1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用数量积知识得SKIPIF1<0，然后利用第一定义及勾股定理得到a、c关系，即可求出离心率【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则点P是以SKIPIF1<0为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设和点P在第一象限，如图连接SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0．故选：A.1-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0(-c，0)，SKIPIF1<0(c，0)，若椭圆C上存在一点M使得SKIPIF1<0的内切圆半径为SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用SKIPIF1<0的面积相等，得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，消去b，整理化简求出离心率的取值范围.【详解】SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0的内切圆半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积可表示为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.两边平方得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0,因为离心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：A.1-3、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于点A和点B，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为原点），则双曲线的离心率为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】只需把SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．【详解】抛物线SKIPIF1<0的准线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选D．1-4、（2022·山东淄博·高三期末）已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为SKIPIF1<0，O为坐标原点，若SKIPIF1<0，则C的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以离心率SKIPIF1<0，故选：A题组二、椭圆性质的综合性问题2-1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）（多选题）已知椭圆SKIPIF1<0的左，右焦点分别为SKIPIF1<0，长轴长为4，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0外，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，则（

）A．椭圆SKIPIF1<0的离心率的取值范围是SKIPIF1<0B．当椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0C．存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值为2【答案】ABC【分析】根据点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0外，即可求出SKIPIF1<0的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A；根据离心率求出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即可判断B；设上顶点SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可判断C；根据SKIPIF1<0利用基本不等式判断D.【详解】由题意得SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0外，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，即椭圆SKIPIF1<0的离心率的取值范围是SKIPIF1<0，故A正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B正确；设椭圆的上顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，故C正确；SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D不正确．故选：ABC2-2、（2022·河北张家口·高三期末）（多选题）已知SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，过点SKIPIF1<0向SKIPIF1<0轴作垂线，垂足为SKIPIF1<0，则（）A．椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0B．四边形SKIPIF1<0的周长一定是SKIPIF1<0C．点SKIPIF1<0与焦点重合时，四边形SKIPIF1<0的面积最大D．直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】由SKIPIF1<0的方程可得离心率为SKIPIF1<0，故A正确；由椭圆定义可知，SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0的周长一定是SKIPIF1<0，故B正确；四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0与焦点重合时，SKIPIF1<0，此时四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，故C错误；设SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABD2-3、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线l交椭圆于A，B两点，若SKIPIF1<0的最大值为5，则下列说法正确的是（）A．椭圆的短轴长为SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0C．椭圆离心率为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0面积最大值为SKIPIF1<0【答案】BC【解析】由题意：SKIPIF1<0，根据椭圆的定义可知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0最大，如图：将SKIPIF1<0代入椭圆方程得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以短轴长为SKIPIF1<0，A错误；此时SKIPIF1<0，B正确；SKIPIF1<0，C正确；对D，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入椭圆方程得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，由对勾函数的图象和性质可知：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数.于是，当u=1，即t=0时，SKIPIF1<0面积最大值为SKIPIF1<0.故D错误.故选：BC.1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）曲线SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0的形状是（）A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线【答案】B【解析】方程表示动点SKIPIF1<0到两定点SKIPIF1<0的距离之和为4．而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的椭圆．故选：B．2、(2022·江苏如皋期初考试)椭圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关系为（）A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率C．有相同的焦点 D．有相等的焦距【答案】D【解析】由题意，对于椭圆EQ\F(x\S(2),25)＋\F(y\S(2),9)＝1，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝EQ\R(,25－9)＝4，则离心率e＝EQ\F(c,a)＝EQ\F(4,5)，对于椭圆EQ\F(x\S(2),9－k)＋\F(y\S(2),25－k)＝1，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝EQ\R(,25－k)≠5，b＝EQ\R(,9－k)≠3，所以c＝EQ\R(,25－k－(9－k))＝4，则离心率e＝EQ\F(c,a)＝EQ\F(4,\R(,25－k))≠EQ\F(4,5)，故选项D正确，其他选项错误；所以答案选D.3、（2022·山师大附中高三模拟）已知椭圆SKIPIF1<0（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率e的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则四边形SKIPIF1<0为矩形．因此SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．故选：A．4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用数量积知识得SKIPIF1<0，然后利用第一定义及勾股定理得到a、c关系，即可求出离心率【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则点P是以SKIPIF1<0为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设和点P在第一象限，如图连接SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0．故选：A.5、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0(-c，0)，SKIPIF1<0(c，0)，若椭圆C上存在一点M使得