新高考数学二轮复习重难点01 利用基本不等式求最值【八大题型】（举一反三）（原卷版）

重难点01利用基本不等式求最值【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直接法求最值】 2【题型2配凑法求最值】 2【题型3常数代换法求最值】 2【题型4消元法求最值】 3【题型5构造不等式法求最值】 3【题型6多次使用基本不等式求最值】 4【题型7实际应用中的最值问题】 4【题型8与其他知识交汇的最值问题】 6基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.【知识点1利用基本不等式求最值的方法】1．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求SKIPIF1<0的最值”的问题，先将SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2基本不等式的实际应用】1．基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.【题型1直接法求最值】【例1】（2023上·北京·高一校考阶段练习）已知a>0，则a+1a+1的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式1-1】（2023·北京东城·统考一模）已知x>0，则x−4+4x的最小值为（A．－2 B．0 C．1 D．2【变式1-2】（2023上·山东·高一统考期中）函数y=x2−x+9x（A．1 B．3 C．5 D．9【变式1-3】（2023下·江西·高三校联考阶段练习）3+1x2A．93 B．7+42 C．8【题型2配凑法求最值】【例2】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知a>1，则a+16a−1的最小值为（A．8 B．9 C．10 D．11【变式2-1】（2023上·吉林·高一校考阶段练习）已知x>3，则y=2x−3+2xA．6 B．8 C．10 D．12【变式2-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设x>2，则函数y=4x−1+4x−2，的最小值为（A．7 B．8 C．14 D．15【变式2-3】（2023上·辽宁·高一校联考期中）若x>0，y>0且满足x+y=xy，则2xx−1+4yA．6+26 B．4+62 C．2+4【题型3常数代换法求最值】【例3】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知a>0，b>0，若2a+3b=1，则2a+bA．8 B．9 C．10 D．11【变式3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，点M1,4在直线xa+ybA．4 B．6 C．9 D．12【变式3-2】（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足2x+8y−xy=0，则2x+y的最大值为（

A．25 B．16 C．3【变式3-3】（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1A．1 B．2 C．3 D．4【题型4消元法求最值】【例4】（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）已知正数x，y满足3x−4=9y，则【变式4-1】（2023上·安徽池州·高一统考期中）已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则.【变式4-2】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为.【变式4-3】（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数a, b, c, d满足a2 【题型5构造不等式法求最值】【例5】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是（

）A．ab的最大值为8B．1a−1C．a+b有最小值3+D．a2【变式5-1】（2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知x>0，y>0，且x+y+xy−3=0；则下列结论正确的是（

）A．xy的最小值是1 B．x+y的最小值是2C．x+4y的最小值是8 D．x+2y的最大值是4【变式5-2】（2023上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．若x>2，则函数y=x+1B．若x>0，y>0，3x+1C．若x>0，y>0，x+y+xy=3，则xy的最小值为1D．若x>1，y>0，x+y=2，则1x−1+【变式5-3】（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法错误的是（

）A．yx+3yC．x+2y的最大值为2 D．x【题型6多次使用基本不等式求最值】【例6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2bA．5 B．52 C．52【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考一模）设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1x+2A．22−1 B．22+1【变式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，则当4y+A．1 B．32 C．2 D．【变式6-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）若a>0,b>0,a+b=1，则a2+3aba+2bA．2 B．2−2 C．3−2【题型7实际应用中的最值问题】【例7】（2023上·四川眉山·高一校联考期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【变式7-1】（2023上·山东·高一校联考期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.2≤x≤6(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900ax+2x元(a>0)（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求【变式7-2】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的13．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1≤x≤5)(1)记y为甲工程队整体报价，求y关于x的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t(x+1)x元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t【变式7-3】（2023上·重庆·高一校考阶段练习）为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=x(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（AD和CD分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【题型8与其他知识交汇的最值问题】【例8】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c+bcos(1)求A；(2)若角A的平分线交BC于D点，且AD=1，求△ABC面积的最小值.【变式8-1】（2023上·安徽铜陵·高二校联考期中）已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π(1)求圆C的方程；(2)若直线l，l′都经过点(0,2)，且l⊥l′，直线l交圆C于M，N两点，直线l′交圆C于P，【变式8-2】（2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习）已知在定义域内单调的函数fx满足f(1)设fx+1(2)解不等式f7+2x(3)设gx=fx−lnx，若【变式8-3】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点(1)证明：点P在A1(2)若AB=BC，求直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值.1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足x2+yA．x+y≤1 B．x+y≥−2C．x2+2．（2020·山东·统考高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（

）A．a2+C．log2a+3．（2020·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2A．4 B．8 C