新高考数学二轮复习培优专题训练专题12 运用空间向量研究立体几何问题（1）（原卷版）

专题12运用空间向量研究立体几何问题（1）1、（2023年全国甲卷数学（理））在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为1．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0距离为2，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．2、（2023年新课标全国Ⅰ卷）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，当二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0．3、（2023年新课标全国Ⅱ卷）如图，三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为BC的中点．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)点F满足SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．4、（2023年全国乙卷数学(理)（文））如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，SKIPIF1<0，点F在AC上，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)证明：平面SKIPIF1<0平面BEF；(3)求二面角SKIPIF1<0的正弦值.5、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．6、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．7、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A1B1C

(1)求A到平面A1BC(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A8、【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．(1)证明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．题组一、线面角1-1、（2023·安徽宿州·统考一模）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0靠近点SKIPIF1<0的三等分点.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值.1-2、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）如图，在正三棱柱SKIPIF1<0中，D为棱SKIPIF1<0上的点，E，F，G分别为AC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若直线FG与平面BCD所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求AD的长．1-3、（2023·山西晋中·统考三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E是CD的中点，AE与BD交于点F，G是SKIPIF1<0的重心．(1)求证：SKIPIF1<0平面PCD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，求直线AG与平面PBD所成角的正弦值．题组二、面面角2-1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，在长方体SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为2的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.(1)证明：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.2-2、（2023·山西临汾·统考一模）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值.2-3、（2023·云南红河·统考一模）如图，在多面体ABCDEF中，A，B，C，D四点共面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AF⊥平面ABCD，SKIPIF1<0．(1)求证：CD⊥平面ADF；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值．题组三、线面角与面面角的综合3-1、（2023·湖南邵阳·统考三模）如图所示，在直四棱柱ABCD-SKIPIF1<0中，底面ABCD为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为线段SKIPIF1<0上一点.(1)求证：SKIPIF1<0；3-2、（2023·湖南岳阳·统考三模）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，D为AC的中点，AB=BC=2，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且满足：三棱柱SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小为60°，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.1、（2022·山东青岛·高三期末）如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，SKIPIF1<0底面ABCD，M为BC中点，且SKIPIF1<0.（1）求证：面SKIPIF1<0面PDB；（2）若两条异面直线AB与PC所成的角为45°，求面PAM与面PBC夹角的余弦值.2、（2022·山东德州·高三期末）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点Q为BC的中点，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若直线AC与平面SKIPIF1<0所成角的大小为30°，求锐二面角SKIPIF1<0的大小.3、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，四边形ABCD是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是PB的中点．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面PBC；(2)若二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，求a的值；(3)在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．4、（2023·湖北·校联考三模）已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）SKIPIF1<0的各条棱长均为2，且有SKIPIF1<0．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．5、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）如图，直三棱柱SKIPIF1<0内接于圆柱，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0为圆柱底面的直径；(2)若M为SKIPIF1<0中点，N为SKIPIF1<0中点，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值．6、（2023·江苏南通·统考一模）如图，在SKIPIF1<0