新高考数学二轮复习培优专题训练专题21 数列综合问题的探究（解析版）

专题21数列综合问题的探究1、（2023年全国乙卷数学（文））已知等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．－1 B．SKIPIF1<0 C．0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】依题意，等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，显然函数SKIPIF1<0的周期为3，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0最多3个不同取值，又SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)证明见解析.【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0.（2）方法1：由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.方法2：由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0满足上式，因此当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.3、（2023年新高考天津卷）已知SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式和SKIPIF1<0．(2)已知SKIPIF1<0为等比数列，对于任意SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，（Ⅰ）当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0；（Ⅱ）求SKIPIF1<0的通项公式及其前SKIPIF1<0项和．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.【详解】（1）由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，求和得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）(Ⅰ)由题意可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，据此可得SKIPIF1<0，综上可得：SKIPIF1<0.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：SKIPIF1<0，据此猜测SKIPIF1<0，否则，若数列的公比SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0不恒成立，即SKIPIF1<0不恒成立，此时无法保证SKIPIF1<0，若数列的公比SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0不恒成立，即SKIPIF1<0不恒成立，此时无法保证SKIPIF1<0，综上，数列的公比为SKIPIF1<0，则数列的通项公式为SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和为：SKIPIF1<0.4、【2022年新高考1卷】记Sn为数列an的前n项和，已知a1(1)求an(2)证明：1a【答案】(1)a(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得Snan=1+13n−1=n+23，得到Sn=n+2an（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1a(1)∵a1=1，∴S1=又∵Snan∴Snan=1+∴当n≥2时，Sn−1∴an整理得：n−1a即an∴a=1×3显然对于n=1也成立，∴an的通项公式a(2)1a∴1a1+1a2+⋯+1an(1)证明：a1(2)求集合kb【答案】(1)证明见解析；(2)9．【解析】【分析】（1）设数列an的公差为d（2）根据题意化简可得m=2(1)设数列an的公差为d，所以，a1+d−2(2)由（1）知，b1=a1=d2，所以bk=am+a题组一等差、等比数列的含参问题1-1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．若对任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，求得SKIPIF1<0，由题意，求得SKIPIF1<0并裂项，利用裂项相消，求得SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0为奇数或偶数两种情况，利用函数求最值研究不等式恒成立问题，可得答案.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入上式，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入不等式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，不等式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为奇数时，不等式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0为奇数且SKIPIF1<0），易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.1-2、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的首项为1，公差SKIPIF1<0，其前n项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求公差d；(2)是否存在正整数m，k使得SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)存在，理由见解析【分析】（1）由等差数列求和公式列出方程，求出公差；（2）在第一问的基础上，得到通项公式，利用求和公式得到SKIPIF1<0，法一：由m，k为正整数，列出符合要求的解；法二：得到SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，写成符合要求的解.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）法一：由（1）得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时SKIPIF1<0（舍），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不合题意；SKIPIF1<0满足条件的SKIPIF1<0有三组.法二：由（1）得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.存在满足条件的SKIPIF1<0有三组.1-3、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列．给定SKIPIF1<0，记集合SKIPIF1<0的元素个数为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)求最小自然数n的值，使得SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；；(2)11【分析】（1）利用等比数列的性质求得SKIPIF1<0公差，得通项公式SKIPIF1<0，写出SKIPIF1<0时的集合可得元素个数，即SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，然后分组求和法求得和SKIPIF1<0，用估值法得SKIPIF1<0时和小于2022，SKIPIF1<0时和大于2022，由数列的单调性得结论．【详解】（1）设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，集合SKIPIF1<0中元素个数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，集合SKIPIF1<0中元素个数为SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0=2001<2022，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0=4039>2022，记SKIPIF1<0，显然数列SKIPIF1<0是递增数列，所以所求SKIPIF1<0的最小值是11.1-4、（2023·云南·统考一模）记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设m为整数，且对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求m的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)7【分析】（1）由数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系可得SKIPIF1<0，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出SKIPIF1<0，结合范围即可得解.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不满足上式，故数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0．整理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以符合题设条件的m的最小值为7题组二等差、等比数列中的不等或证明问题2-1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知各项为正数的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)见解析【分析】（1）利用公式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，代入化简得到数列SKIPIF1<0的递推公式，即可求解通项公式；（2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列，因此，SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0；（2）证明：由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，综上可得SKIPIF1<0．2-2、（2023·云南玉溪·统考一模）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解．设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0的公比为q．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，．SKIPIF1<0（说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）(1)请写出你的选择，并求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】(1)选①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；选②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)见解析【分析】（1）由等差数列、等比数列的基本量代入方程组求解即可.（2）运用错位相减法求和即可.【详解】（1）由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，选①，由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.选②，由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）证明：由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0．2-3、（2023·云南红河·统考一模）已知正项数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式：(2)若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)见解析【分析】(1)利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；(2)根据(1)中所求，利用裂项求和法求出SKIPIF1<0，即可证明.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，1为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<01、（2022·河北深州市中学高三期末）已知正项等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若对于一切正整数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为等比数列SKIPIF1<0是正项等比数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不满足题意；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选：B.2、（2021·山东菏泽市·高三期末）已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（）A．1022 B．1023 C．2046 D．2047【答案】D【解析】当时，，∴，又，，∴是等比数列，公比为2，首项为1，所以，由得，即，∴所求和为．故选：D．3、（2023·山西·统考一模）从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增等差数列SKIPIF1<0的前三项.第1列第2列第3列第1行723第2行154第3行698(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式，并求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，求证SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)见解析【分析】（1）由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而根据等差数列公式计算即可；（2）根据SKIPIF1<0，再结合裂项求和法求解即可证明.【详解】（1）解：由题意，选出3个数字组成的等差数列的前三项为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<04、（2023·安徽安庆·校考一模）数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)设SKIPIF1<0，是否存在最大的；正整数SKIPIF1<0，使得对任意SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0成立？若存在求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)存在SKIPIF1<0，理由见解析【分析】（1）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解方程即可求出SKIPIF1<0，由题意知数列SKIPIF1<0为等差数列，即可求出数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）根据SKIPIF1<0的取值得到SKIPIF1<0的符号，然后去掉绝对值后可得所求的SKIPIF1<0；（3）由（1）求得SKIPIF1<0，然后利用裂项相消法求出SKIPIF1<0，并进一步求出SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0．再根据SKIPIF1<0恒成立得到SKIPIF1<0，求得SK