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2024-2025学年河北省衡中清大教育集团高考最后一卷:数学试题试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的部分图像如图所示,若,点的坐标为,若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,则的最小值为()A. B. C. D.2.已知非零向量、,若且,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.3.已知函数,若所有点,所构成的平面区域面积为,则()A. B. C.1 D.4.根据最小二乘法由一组样本点(其中),求得的回归方程是,则下列说法正确的是()A.至少有一个样本点落在回归直线上B.若所有样本点都在回归直线上,则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量(),的值一定与有误差D.若回归直线的斜率,则变量x与y正相关5.袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个小球,从袋子中一次性摸出两个球,记下号码并放回,如果两个号码的和是3的倍数,则获奖,若有5人参与摸球,则恰好2人获奖的概率是()A. B. C. D.6.若单位向量,夹角为,,且,则实数()A.-1 B.2 C.0或-1 D.2或-17.已知定义在上的函数满足,且当时,,则方程的最小实根的值为()A. B. C. D.8.已知函数,,若总有恒成立.记的最小值为,则的最大值为()A.1 B. C. D.9.在中,角的对边分别为,若,则的形状为()A.直角三角形 B.等腰非等边三角形C.等腰或直角三角形 D.钝角三角形10.已知i为虚数单位,则()A. B. C. D.11.已知定义在上的奇函数满足:(其中),且在区间上是减函数,令,,,则,,的大小关系(用不等号连接)为()A. B.C. D.12.已知函数,存在实数,使得,则的最大值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数,满足,则目标函数的最小值为__________.14.如果函数(,且,)在区间上单调递减,那么的最大值为__________.15.直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是________________.16.若满足约束条件,则的最小值是_________,最大值是_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在四棱锥的底面中,,,平面,是的中点,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)线段上是否存在点,使得,若存在指出点的位置,若不存在请说明理由.18.(12分)已知等差数列满足,公差,等比数列满足,,.求数列,的通项公式;若数列满足,求的前项和.19.(12分)已知.(1)当时,求不等式的解集;(2)若,,证明:.20.(12分)某工厂生产某种电子产品,每件产品不合格的概率均为,现工厂为提高产品声誉,要求在交付用户前每件产品都通过合格检验,已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品,且每件产品检验合格与否相互独立.若每件产品均检验一次,所需检验费用较多,该工厂提出以下检验方案:将产品每个一组进行分组检验,如果某一组产品检验合格,则说明该组内产品均合格,若检验不合格,则说明该组内有不合格产品,再对该组内每一件产品单独进行检验,如此,每一组产品只需检验次或次.设该工厂生产件该产品,记每件产品的平均检验次数为.(1)求的分布列及其期望;(2)(i)试说明,当越小时,该方案越合理,即所需平均检验次数越少;(ii)当时,求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数.21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到曲线,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程;(2)曲线上是否存在不同的两点,(以上两点坐标均为极坐标,,),使点、到的距离都为3?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.22.(10分)已知动圆E与圆外切,并与直线相切,记动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点的直线l交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点P使得,求直线l的斜率k的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据图象以及题中所给的条件,求出和,即可求得的解析式,再通过平移变换函数图象关于轴对称,求得的最小值.【详解】由于,函数最高点与最低点的高度差为,所以函数的半个周期,所以,又,,则有,可得,所以,将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,即平移后为偶函数,所以的最小值为1,故选:B.该题主要考查三角函数的图象和性质,根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键,要求熟练掌握函数图象之间的变换关系,属于简单题目.2.D【解析】
设非零向量与的夹角为,在等式两边平方,求出的值,进而可求得向量在向量方向上的投影为,即可得解.【详解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影为.故选:D.本题考查向量投影的计算,同时也考查利用向量的模计算向量的夹角,考查计算能力,属于基础题.3.D【解析】
依题意,可得,在上单调递增,于是可得在上的值域为,继而可得,解之即可.【详解】解:,因为,,所以,在上单调递增,则在上的值域为,因为所有点所构成的平面区域面积为,所以,解得,故选:D.本题考查利用导数研究函数的单调性,理解题意,得到是关键,考查运算能力,属于中档题.4.D【解析】
对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点,但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误;所有样本点都在回归直线上,则变量间的相关系数为,故B错误;若所有的样本点都在回归直线上,则的值与相等,故C错误;相关系数r与符号相同,若回归直线的斜率,则,样本点分布应从左到右是上升的,则变量x与y正相关,故D正确.故选D.本题主要考查线性回归方程的性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.C【解析】
先确定摸一次中奖的概率,5个人摸奖,相当于发生5次试验,根据每一次发生的概率,利用独立重复试验的公式得到结果.【详解】从6个球中摸出2个,共有种结果,两个球的号码之和是3的倍数,共有摸一次中奖的概率是,5个人摸奖,相当于发生5次试验,且每一次发生的概率是,有5人参与摸奖,恰好有2人获奖的概率是,故选:.本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率,考查独立重复试验的概率,解题时主要是看清摸奖5次,相当于做了5次独立重复试验,利用公式做出结果,属于中档题.6.D【解析】
利用向量模的运算列方程,结合向量数量积的运算,求得实数的值.【详解】由于,所以,即,,即,解得或.故选:D本小题主要考查向量模的运算,考查向量数量积的运算,属于基础题.7.C【解析】
先确定解析式求出的函数值,然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的,通过计算即可得到答案.【详解】当时,,所以,故当时,,所以,而,所以,又当时,的极大值为1,所以当时,的极大值为,设方程的最小实根为,,则,即,此时令,得,所以最小实根为411.故选:C.本题考查函数与方程的根的最小值问题,涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识,本题有一定的难度及高度,是一道有较好区分度的压轴选这题.8.C【解析】
根据总有恒成立可构造函数,求导后分情况讨论的最大值可得最大值最大值,即.根据题意化简可得,求得,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题,总有即恒成立.设,则的最大值小于等于0.又,若则,在上单调递增,无最大值.若,则当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增.故在处取得最大值.故,化简得.故,令,可令,故,当时,,在递减;当时,,在递增.故在处取得极大值,为.故的最大值为.故选:C本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解的最大值.属于难题.9.C【解析】
利用正弦定理将边化角,再由,化简可得,最后分类讨论可得;【详解】解:因为所以所以所以所以所以当时,为直角三角形;当时即,为等腰三角形;的形状是等腰三角形或直角三角形故选:.本题考查三角形形状的判断,考查正弦定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.10.A【解析】
根据复数乘除运算法则,即可求解.【详解】.故选:A.本题考查复数代数运算,属于基础题题.11.A【解析】因为,所以,即周期为4,因为为奇函数,所以可作一个周期[-2e,2e]示意图,如图在(0,1)单调递增,因为,因此,选A.点睛:函数对称性代数表示(1)函数为奇函数,函数为偶函数(定义域关于原点对称);(2)函数关于点对称,函数关于直线对称,(3)函数周期为T,则12.A【解析】
画出分段函数图像,可得,由于,构造函数,利用导数研究单调性,分析最值,即得解.【详解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故选:A本题考查了导数在函数性质探究中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.-1【解析】
作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.【详解】作出实数x,y满足对应的平面区域如图阴影所示;由z=x+2y﹣1,得yx,平移直线yx,由图象可知当直线yx经过点A时,直线yx的纵截距最小,此时z最小.由,得A(﹣1,﹣1),此时z的最小值为z=﹣1﹣2﹣1=﹣1,故答案为﹣1.本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,是基础题14.18【解析】
根据函数单调性的性质,分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【详解】解:①当时,,在区间上单调递减,则,即,则.②当时,,函数开口向上,对称轴为,因为在区间上单调递减,则,因为,则,整理得,又因为,则.所以即,所以当且仅当时等号成立.综上所述,的最大值为18.故答案为:18本题主要考查一次函数与二次函数的单调性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.15.【解析】因为sinα∈[-1,1],所以-sinα∈[-1,1],所以已知直线的斜率范围为[-1,1],由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是.答案:16.06【解析】
作不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求出结果.【详解】作出可行域,如图中的阴影部分:求的最值,即求直线在轴上的截距最小和最大时,当直线过点时,轴上截距最大,即z取最小值,.当直线过点时,轴上截距最小,即z取最大值,.故答案为:0;6.本题主要考查了线性规划中的最值问题,利用数形结合是解决问题的基本方法,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,点为线段的中点.【解析】
(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形,得到证明.(Ⅱ)建立如图所示坐标系,平面法向量为,平面的法向量,计算夹角得到答案.(Ⅲ)设,计算,,根据垂直关系得到答案.【详解】(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形.平面.(Ⅱ)平面,四边形为正方形.所以,,两两垂直,建立如图所示坐标系,则,,,,设平面法向量为,则,连结,可得,又所以,平面,平面的法向量,设二面角的平面角为,则.(Ⅲ)线段上存在点使得,设,,,,所以点为线段的中点.本题考查了线面平行,二面角,根据垂直关系确定位置,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18.,;.【解析】
由,公差,有,,成等比数列,所以,解得.进而求出数列,的通项公式;当时,由,所以,当时,由,,可得,进而求出前项和.【详解】解:由题意知,,公差,有1,,成等比数列,所以,解得.所以数列的通项公式.数列的公比,其通项公式.当时,由,所以.当时,由,,两式相减得,所以.故所以的前项和,.又时,,也符合上式,故.本题主要考查等差数列和等比数列的概念,通项公式,前项和公式的应用等基础知识;考查运算求解能力,方程思想,分类讨论思想,应用意识,属于中档题.19.(1)(2)见证明【解析】
(1)利用零点分段法讨论去掉绝对值求解;(2)利用绝对值不等式的性质进行证明.【详解】(1)解:当时,不等式可化为.当时,,,所以;当时,,.所以不等式的解集是.(2)证明:由,,得,,,又,所以,即.本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解,含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.20.(1)见解析,(2)(i)见解析(ii)时平均检验次数最少,约为594次.【解析】
(1)由题意可得,的可能取值为和,分别求出其概率即可求出分布列,进而可求出期望.(2)(i)由记,根据函数的单调性即可证出;记,当且取最小值时,该方案最合理,对进行赋值即可求解.【详解】(1)由题,的可能取值为和,故的分布列为由记,因为,所以在上单调递增,故越小,越小,即所需平均检验次数越少,该方案越合理记当且取最小值时,该方案最合理,因为,,所以时平均检验次数最少,约为次.本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望,考查了分析问
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