2024-2025学年海南省万宁市民族中学高三教学质量检测试题（Ⅱ）数学试题理试题含解析

2024-2025学年海南省万宁市民族中学高三教学质量检测试题（Ⅱ）数学试题理试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数，则（）A． B． C． D．202．已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A在右支，B在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为()A． B． C．4 D．24．在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（）A． B． C． D．5．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为()A．2 B． C． D．6．已知是虚数单位，若，则（）A． B．2 C． D．37．已知复数为虚数单位），则z的虚部为（）A．2 B． C．4 D．8．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（）A． B． C． D．9．已知，，，，则（）A． B． C． D．10．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]11．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（）A．36 B．21 C．12 D．612．已知复数满足，且，则（）A．3 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图是一个算法流程图，若输出的实数的值为，则输入的实数的值为______________.14．在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为________.15．若函数（）的图象与直线相切，则______.16．已知，圆，直线PM，PN分别与圆O相切，切点为M，N，若，则的最小值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，其中.（1）求的值；（2）若，且，求的值.19．（12分）已知函数，它的导函数为．（1）当时，求的零点；（2）当时，证明：．20．（12分）已知.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ），，，求实数的取值范围.21．（12分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件为“选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望22．（10分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所．（1）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率；（2）若已知甲同学特别喜欢高校，他必选校，另在四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所．（i）求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率；（ii）记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数，求随机变量的分布列及数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

化简得到，再计算模长得到答案.【详解】，故.故选：.本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.2．D【解析】

根据双曲线的定义可得的边长为，然后在中应用余弦定理得的等式，从而求得离心率．【详解】由题意，，又，∴，∴，在中，即，∴．故选：D．本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示，然后用余弦定理建立关系式．3．D【解析】

设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．【详解】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选：D．本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．4．A【解析】

根据题意，用表示出与，求出的值即可.【详解】解：根据题意，设，则，又，，，故选：A.本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.5．C【解析】

利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，所以，.故选：C.本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.6．A【解析】

直接将两边同时乘以求出复数，再求其模即可.【详解】解：将两边同时乘以，得故选：A考查复数的运算及其模的求法，是基础题.7．A【解析】

对复数进行乘法运算，并计算得到，从而得到虚部为2.【详解】因为，所以z的虚部为2.本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意.8．D【解析】

分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.【详解】设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.9．D【解析】

令，求，利用导数判断函数为单调递增，从而可得，设，利用导数证出为单调递减函数，从而证出，即可得到答案.【详解】时，令，求导，，故单调递增：∴，当，设，，又，，即，故.故选：D本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.10．B【解析】

作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在的交点（）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.11．B【解析】

先找到与平面平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.【详解】考虑与平面平行的平面，平面，平面，共有，故选：B.本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.12．C【解析】

设,则,利用和求得,即可.【详解】设,则,因为,则,所以,又,即,所以,所以,故选:C本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可.【详解】解：程序的功能是计算，若输出的实数的值为，则当时，由得，当时，由，此时无解.故答案为：.本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.14．【解析】

设，可表示出，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积．【详解】设则，由两两垂直知三棱锥的三条棱的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为，∴当时，．故答案为：．本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和．15．2【解析】

设切点由已知可得,即可解得所求.【详解】设，因为，所以，即，又，.所以，即，.故答案为:.本题考查导数的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较易.16．【解析】

由可知R为中点,设,由过切点的切线方程即可求得,，代入，，则在直线上，即可得方程为，将，代入化简可得，则直线过定点,由则点在以为直径的圆上，则.即可求得.【详解】如图，由可知R为MN的中点，所以，，设，则切线PM的方程为，即，同理可得，因为PM，PN都过，所以，，所以在直线上，从而直线MN方程为，因为，所以，即直线MN方程为，所以直线MN过定点,所以R在以OQ为直径的圆上，所以.故答案为:.本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）；（3）【解析】

（1）依题意，得，，由此能求出椭圆C的方程.（2）点与点关于轴对称，设，，设，由于点在椭圆C上，故，由，知，由此能求出圆T的方程.（3）设，则直线MP的方程为：，令，得，同理：，由此能证明为定值.【详解】（1）依题意，得，，，故椭圆C的方程为.（2）点与点关于轴对称，设，，设，由于点在椭圆C上，所以，由，则，.由于，故当时，的最小值为，所以，故，又点在圆T上，代入圆的方程得到.故圆T的方程为：（3）设，则直线MP的方程为：，令，得，同理：.故又点与点在椭圆上，故，代入上式得：，所以本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.18．（1）（2）.【解析】

（1）根据，由向量，的坐标直接计算即得；（2）先求出，再根据向量平行的坐标关系解得.【详解】（1）由题，向量，，则.（2），.，，整理得，化简得，即，，，，即.本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型.19．（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】

当时，求函数的导数，判断导函数的单调性，计算即为导函数的零点；

当时，分类讨论x的范围，可令新函数，计算新函数的最值可证明．【详解】(1)的定义域为当时，，，易知为上的增函数，又，所以是的唯一零点；(2)证明：当时，，①若，则，所以成立，②若，设，则，令，则，因为，所以，从而在上单调递增，所以，即，在上单调递增；所以，即，故.本题主要考查导数法研究函数的单调性，单调性，零点的求法．注意分类讨论和构造新函数求函数的最值的应用．20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用零点分段讨论法把函数改写成分段函数的形式,分三种情况分别解不等式,然后取并集即可；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,结合题意,只需即可,解不等式即可求解.【详解】（Ⅰ）当时，，，或，或，或所以不等式的解集为；（Ⅱ）因为，又（当时等号成立），依题意，，，有，则，解之得，故实数的取值范围是.本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值；考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力；属于中档题.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.【解析】

（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求.（Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.【详解】（Ⅰ）（Ⅱ）可能取值为,,,,,的分布列为0123.本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．（1）（2）（i）（ii）分布列见解析，【解析】

（1）先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率，利用事件的独立性即得解；（2）（i）分别计算每个事件的概率，再利用事件的独立性即得解；（ii），利用事件的独立性，分别计算对应的概率，列出分布列，计